基于响应面模型的锚支护机组立柱多参数优化

徐诗虎,邓海顺 ,苏国用 ,王文善

(1. 安徽理工大学 机械工程学院，安徽 淮南，232001；2. 安徽理工大学 深部煤矿采动响应与灾害防控国家重点实验室，安徽 淮南，232001)

随着煤矿智能化目标的提出，学者们在掘锚支一体化系统理论方面开展了大量研究，并研制了多款国产掘锚联合机组[1-2]，但受制于掘进工作面空间狭小、巷道底板潮湿易下陷等问题，迈步式锚支护机组的普及具有局限性，而立柱作为核心部件，其动态性能直接决定了整机的工作稳定性[3]。若立柱采用较轻质量，在移动过程中能够减少运动惯性和变形，有效降低井下作业的危险性，因此，在投入生产前优化结构尺寸，对于设备的运行性能极为重要。

对于立柱的优化设计，王雷等[4]采用响应面与遗传算法相结合的优化设计方法，得到了Pareto最优解集；蒲凡等[5]建立了立柱动静态特性的联合拓扑优化数学模型，利用 ANSYS 软件对其结构进行多目标拓扑优化设计；童水光等[6]利用起重机刚性支腿的参数化有限元模型和BP神经网络，采用混合遗传算法引导遗传算法的搜索方向；孙晓俊等[7]对立柱进行模态分析，通过灵敏度分析得到关键尺寸参数;陈静等[8]对立柱进行拓扑优化分析，依据分析得到的最佳分布和立柱设计经验改进原立柱结构；方阳等[9]利用Python语言编写计算程序，采用多岛遗传算法进行优化，建立一套迭代优化立柱结构的分析流程。

由于大多方法使用的数值模拟复杂且耗时，给优化过程带来过多工作量，基于此，本文对迈步式锚支护机组立柱的结构尺寸参数进行多目标优化，通过灵敏度分析筛选出对体积、最大总位移和一阶模态频率影响最大的4个待优化参数，通过最优空间填充设计法建立响应面模型，利用遗传算法进行循环迭代优化，最后，将优化后的模型进行对比验证。

1 基于响应面模型的参数确定

1.1 立柱的模态分析

某迈步式锚支护机组立柱为套筒式结构，上顶端与机身进行铰支连接，另一端与地面接触。立柱采用304不锈钢材质，密度ρ为7 930 kg/m3，泊松比μ为0.29，弹性模量E为1.99×1011Pa，许用应力[σ]为137 MPa，采用SolidWorks进行三维建模，在建模时，圆角、倒角、小直径孔等特征会增加后续仿真计算量，因此，需要对整体结构进行简化，通过设置参数调试网格，网格尺寸设置为5 mm；对顶板、侧壁开孔处、底板和筋板等应力集中处进行细分网格，设置尺寸为4 mm的面网格，最后生成234 326个节点和125 666个单元，立柱实物图和生成的有限元网格模型见图1。

图1 迈步式锚支护机组立柱

立柱通过螺栓孔与机身相连，因此，对上套筒顶板的螺栓孔添加固定约束来模拟边界条件进行模态分析，得到立柱前四阶固有频率和振型，见图2。整机是个具有多自由度的振动系统，其运动都可以由各低阶固有振型的线性组合来表达，高阶振型阻尼较高，则其动态特性的影响明显低于低阶振型，因此，模态分析集中在对结构影响较大的低阶模态上[10]。

1.2 立柱参数的灵敏度分析

在对结构尺寸进行优化设计时，设计变量的灵敏度可反映其与目标函数的关联，对于优化过程的求解效率、可行性设计都有影响[10]。该立柱尺寸参数较多，为了减少优化时的计算量，需要在ANSYS的参数相关性模块(parameters correlation)进行一次灵敏度筛选[11]，找出对立柱性能影响大的关键尺寸。本次优化只考虑约束函数对目标函数的影响，采用K-T条件进行计算，即：

(1)

式中：x*为约束最优点；gu(x*)为不等式约束；hv(x*)为等式约束。其中不等式约束和等式约束可写成：

(2)

式中：φv(x*)和φu(x*)为常数；bv和du是约束条件中发生变差的参数，则约束条件对目标函数的灵敏度可写成：

(3)

采用spearman法对12个输入变量各生成200个样本点，输出参数选择体积、最大总位移和一阶模态频率，设置好后计算样本点参数，运行程序后得到的敏感度分析结果见图3。

图3 设计变量灵敏度分析结果

对立柱体积影响最大的是P2上套筒开口长度、P3上套筒开口宽度和P7套筒厚度；对立柱最大总位移影响最大的是P1顶板厚度和P7套筒厚度；对立柱一阶模态频率影响最大的是P1顶板厚度。灵敏度分析结果为正表示设计参考点处梯度为正，输入变量与输出变量呈正相关关系，灵敏度为负则相反。根据灵敏度分析结果选择4个待优化设计点参数P1(x1)、P2(x2)、P3(x3)和P7(x4)，结构尺寸参数见图4。

图4 立柱待优化参数示意图

1.3 立柱响应面模型的拟合

响应面模型分析法的核心就是用特定试验设计方法，得到目标函数和约束函数的响应面模型，并预测非试验点的响应值[12-13]，可采用不同阶次多项式表达目标与设计参数之间的关系，其近似模型为

(4)

式中：y为输出变量；a为多项式系数；xi为设计变量；n为设计变量个数；待定次数a0、ai、aii、aij个数为(n+1)(n+2)/2。

检验响应面模型拟合精度的常用准则是相对均方根误差(root mean squared error, RMSE)，其可表示响应面模型得出的仿真值与实际值之间的差异程度，差值越小则拟合精度越高[14]，其定义如下：

(5)

为得到准确合理的试验点，采用响应面最优空间填充设计(optimal space-filling design)在整个设计空间均匀抽取分布点，每个参数生成40个样本进行计算，以立柱体积、最大总位移和一阶固有频率为输出目标函数，得到对应的输入变量约束条件，计算后采用无交叉项的标准二阶响应面评估样本点拟合情况，由图5可知，各设计点生成的响应面与试验设计的样本点之间拟合精度较好，基本都分布在对角线附近，可以进行下一步优化。

图5 响应面拟合优度曲线

2 基于遗传算法的参数优化

2.1 建立立柱数学模型

本次优化的首要目标是立柱轻量化，首先，将多目标函数转化为单目标函数，进行归一化处理，建立权衡函数[15]为

(6)

式中:ti表示

(7)

式中：n为设计变量个数；f*和f(x)分别代表第i个目标函数的理想可行解和实际值；fmax和fmin分别代表目标函数最大值和最小值。

对立柱的优化目标是在满足性能要求的前提下，实现轻量化设计，以此构建目标函数和特征参数约束(筋板等非影响因素不考虑)：

minV(x)=V上+V下=Sx1-x2x3+H1[L2-(L-2x4)2]+H2[(L-2x4)2-(L-4x4)2]=3.2x1-x2x3+45.6x4-74x42

(8)

式中：V上和V下分别为上套筒和下套筒的体积；S为顶板截面积；H1和H2分别为上套筒和下套筒的长度；L为套筒外侧壁宽度。设置好后，进行各参数的优化。

2.2 立柱优化过程及结果

使用MATLAB工具箱的遗传算法(genetic algorithm，GA)对以上优化方案进行求解，能够对多变量优化问题进行全局寻优。设置种群规模为60个，交叉概率为0.7，变异概率为0.01，最大进化代数为60代，设置完毕后进行迭代得到Pareto最优解，各代最佳适应值和平均适应值变化曲线见图6。

图6 目标函数与遗传代数的关系

目标函数在第39代时最佳适应值曲线和平均适应值曲线都收敛，达到最优方案，设计变量优化值取整后见表1，优化后的立柱顶板与套筒厚度有所减少，侧壁开口增大，总体质量减小22.45%，因此，对立柱的优化达到了轻量化的目标。

表1 优化变量对比

3 立柱动态特性对比分析

通过ANSYS Workbench对优化后的立柱添加相同的边界条件进行模态分析，并与优化前立柱模态分析结果进行对比，见表2，由表2可知，优化后的立柱各阶振型形式相同，前三阶固有频率都有较大提升，分别提高了48.97%、52.17%和66.76%，大于立柱发生最大振幅时的激励频率，表明立柱结构更加稳定，因此，对立柱的优化达到了增加低阶固有频率的目标。

表2 固有频率对比与振型描述

接下来探测立柱在收到周期性载荷时的振动特性，在ANSYS中打开谐响应模块对优化前后的立柱施加相同简谐激振力，得到受迫振动下立柱的三向位移-频响曲线[16]。由图7可知，优化后的立柱在X向、Y向的位移峰值下降明显，Z向由于侧壁开口增大，其位移增加不可避免，但是增量较小。工作时应尽量避免50～70、490～510和740～760 Hz的3个位移响应比较大的频率区间，总体来看，改进后的立柱动态性能较好，因此，对立柱的优化达到了改善动态性能的目标。

图7 三向位移-频响曲线

4 结语

1)根据模态仿真分析和灵敏度筛选结果进行立柱响应面的拟合，通过RMSE准则验证拟合精度；采用最优空间填充设计在设计空间内抽取样本点，结果表明:各设计点生成的响应面与试验设计的样本点之间拟合精度较好，可以进行下一步优化。

2)建立立柱优化数学模型，使用MATLAB工具箱的遗传算法对其进行迭代求解，在第39代时得到最优方案，此时总体质量减小22.45%，因此，对立柱的优化达到了轻量化的目标。

3)对优化前后的立柱进行动态特性仿真，优化后的立柱各阶振型形式与优化前相同，前三阶固有频率分别提高了48.97%，52.17%和66.76%，大于立柱发生最大振幅时的激励频率，表明立柱结构更加稳定，因此，对立柱的优化达到了增加低阶固有频率的目标；优化后的立柱在X向、Y向的位移峰值下降明显，且预测到工作时应尽量避免50～70、490～510和740～760 Hz的3个位移响应比较大的频率区间，因此，对立柱的优化达到了改善动态性能的目标。