Nesbitt不等式的一个新推广及引申

山东省邹平双语学校 (256200)

姜坤崇 高奇媚

这是一个对称、简洁、优美、内涵丰富、应用广泛的经典不等式，历史上曾作为1963年莫斯科数学竞赛题出现过，对它的研究(如证法、推广、加强、加细、应用等)也历久不衰，文献[1]给出了它的一种新推广，本文给出它的一种新推广.

在不等式②中令k=1即得不等式①，所以不等式②为不等式①的一种推广.

命题1中的不等式②是关于三个正数a,b,c的不等式，若将它推广为n(n≥3)个正数的不等式，则有如下命题4成立.

证明从略.

同样的，命题2、3中的不等式也可以推广到n(n≥3)个正数中去，有如下的两个命题成立.

命题5 设xi>0(i=1,2,…,n,n≥3),且

命题6 设xi>0(i=1,2,…,n,n≥3),且

以上两个命题的证明均从略.

由命题1，我们可得一个有趣的无穷长的代数不等式链：

同样，由命题2、3可分别得另两个无穷长的条件不等式链：

由命题8、9，我们也可得任意多的特例不等式.由命题4、5、6我们也可以分别得到无穷长的不等式链和无穷多的特例不等式，限于篇幅，这里不再给出.