基于博弈论-未确知测度理论的围岩稳定性评价

彭意飞，张义平，2，黄 薇，侯天亮，蒋云莱

(1.贵州大学 矿业学院，贵州 贵阳 550025；2.贵州一和科技有限公司，贵州 贵阳 550025)

0 引言

随着我国经济和工程技术的迅速发展，隧道、水电站和地下硐室等建设规模不断扩大数量日益增加，围岩稳定性分类方法也从定性到定量，单一到综合发展，围岩稳定性关系到工程的设计和支护，故合理可靠的评价围岩稳定性等级备受关注，评价围岩稳定性受多种不确定性因素的影响，对其进行准确评价有一定难度。对此，学者们基于不同理论建立各种评价围岩稳定性的模型方法如可拓方法、粗糙集理论、集对联系数、模糊可变集合、改进物元可拓模型、SVM-GIS模型、PCA-Fuzzy-PSO-SVC模型、模糊综合评判法等[1-9]。这些方法在评价围岩稳定性方面都取得了一定进展，但由于工程地质的复杂性和每种方法的侧重不同，可能导致评价结果存在差异，如：可拓方法采用的最大隶属度原则不能全面反映待评价样本模糊性，信息容易丢失导致结果出现偏差；粗糙集理论在约简时可能会删掉影响较大的评价指标；主成分分析在特征值分解上有一定局限，在不属于高斯分布情况下，得到的可能不是最优主元；粒子群算法和地理信息系统需要掌握专业的计算机知识；模糊数学的隶属度函数不易确定；一些评价方法受限于需要大量的样本数据，以上方法不能很好解决评价指标的不确定性，为合理评价围岩稳定性分级。在前人的研究基础上，本文建立博弈论-未确知测度理论的围岩稳定性评价模型，通过博弈论对主、客观权重进行最优线性组合，权衡专家主观性和数据的客观性，针对评价过程中诸多因素的不确定性，利用未确知测度理论和置信度判别准则对围岩稳定性进行综合评价。博弈论权衡主、客观因素同时对指标进行优化组合，未确知测度则可处理各种不确定性并将指标定量化，上述方法无需进行繁琐计算和掌握专业软件技能，亦无需大量样本数据。研究结果表明此模型较为简单准确，为类似围岩稳定性评价提供参考。

1 博弈论确定指标权重

指标权重确定是决策者综合主观经验和客观因素所得，反映指标对评价结果的重要性，为使所选指标能够最好地反映客观事实，本文分别采用主客观赋权法确定评价指标的权重，通过博弈理论将所得的2种权重进行赋权得到最终的组合权重。

1.1 G1法

G1法[10]是郭亚军学者提出的主观赋权法，能够很好地反映专家的经验，主要是根据指标间的重要程度进行排序，然后比较相邻指标的重要度从而确定指标权重。

rk=wk-1/wk，k=n，n-1，n-2…，3，2

(1)

c.计算权重系数wi。

计算第n个评价指标的权重：

(2)

而，wk-1=rk·wk,k=n，n-1，n-2，…，3，2

(3)

根据步骤a中的顺序关系得到评价指标{X1，X2，…，Xn}的权重向量wi。

1.2 变异系数法

变异系数[11]是一种客观赋权的方法，变异系数法是根据实测值的差异程度来赋权，差异程度越大则该指标的重要度越高，即权重值越大。

a.计算各指标的标准差Sj。

b.计算各评价指标的变异系数Vj。

(4)

式中：Xi表示各指标的平均值。

c.计算各指标权重。

(5)

1.3 博弈论组合赋权

主观赋权很大程度上受决策者的主观意识影响，而客观赋权是基于实测数据，往往忽略主观意向，单一使用其中一种都不可避免的存在片面性。故本文采用G1法和变异系数法分别计算出围岩稳定性评价指标的主观权重和客观权重，结合博弈理论，在G1法和变异系数法所求得的权重之间寻求权重最优解，从而得到围岩稳定性影响评价指标的组合权重[12]。

设有L种方法对指标赋权，得到权重集wk={wk1，wk2，…，wkn}，其中k=1，2，…，L。记L个权重向量的任意组合为w：

(6)

式中：αk为线性组合系数；w表示可能的权重向量集。根据博弈论的思想，可得对策模型：

(7)

由矩阵的微分性质，得式(7)的最优一阶导数条件[9]：

(8)

式(8)对应如下的线性方程组：

通过求解线性方程组可得(α1，α2，…，αL)，用式(9)对(α1，α2，…，αL)进行归一化处理，代入式(10)可得到组合权重。

(9)

(10)

2 未确知测度理论计算

假设m个评价对象Ri(i=1，2，…n个评价指标x1，x2，…xn)，指标集合X={x1，x2，…xn}，若Xij表示评价对象Ri的第j个评价指标的测量值。设每个评价指标Xij有p个评价等级，组成向量C=[c1，c2，…ck，…cp]，同时设ck为围岩稳定性等级，规定ck>ck+1表示k等级比k+1级高。若{c1，c2，…，cp}满足c1>c2>…>cp，则称{c1，c2，…，cp}是评价空间C的一个有序分割类[13]。

2.1 单指标未确知测度

令μijk=μ(Xij∈ck)表示测量值Xij属于第k个评价等级ck，当μ满足0≤μ(xij∈ck)≤1，且μ满足归一和可加性。则称μ为未确知测度，简称测度。矩阵(11)为单指标未确知测度矩阵[14]：

(11)

2.2 多指标未确知测度

令μik=μ(Xij∈ck)表示围岩Ri属于第k个评价等级ck，有:

(12)

则多指标测度评价矩阵为[15-16]：

(13)

这里引入置信度判别准则对评价对象进行评价[17]，若c1>c2>c3>…>cp，令：

(14)

设λ为置信度(λ>0.5，常取0.6)，则可确定评价对象Ri属于第k0个评价等级ck。

3 博弈论—未确知测度评价模型

3.1 选取评价指标和等级划分

为验证所构建模型的准确性和合理性，本文以汪明武、周智勇等[18-19]提供的广州抽水蓄能电站隧洞1洞段围岩样本研究对象，选定的岩石质量指标RQD/%(X1)、岩石单轴抗压强度/MPa(X2)、岩石完整性系数(X3)、结构面强度系数(X4)、地下水渗水量/L·(min·10 m)-1(X5)等因素为评价指标，结合《工程岩体分级标准》[20]和文献[18]、文献[19]将围岩稳定性记为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ级，即对应稳定、较稳定、一般稳定、不稳定、极不稳定，如表1所示，样本实测数据见表2。

表1 围岩稳定性等级划分[18-20]Table 1 Classification of stability of surrounding rock[18-20]指标分级岩石质量指标(X1)/%单轴抗压强度(X2)/MPa岩石完整性系数(X3)结构面强度系数(X4)地下水渗水量(X5)/[L·(min·10 m)-1]Ⅰ90～100120～2000.75～10.8～10～5Ⅱ75～9060～1200.45～0.750.6～0.85～10Ⅲ50～7530～600.30～0.450.4～0.610～25Ⅳ25～5015～300.20～0.300.2～0.425～125Ⅴ0～250～150～0.200～0.2125～300

表2 各评价指标原始数据样本[18-19]Table 2 Sample raw data of each evaluation index[18-19]样本X1X2X3X4X5P126.036.00.220.355P250.040.20.500.5010P352.025.00.200.505P471.090.00.350.3018P575.095.00.700.500P677.590.00.570.4510P750.070.00.500.255P850.934.00.320.3521

3.2 确定组合权重

利用G1法和变异系数法分别求出各指标的主、客观权重，随后基于博弈论的组合赋权求5个评价指标的综合权重，结果如表3所示。

表3 各评价指标组合赋权值Table 3 Weighting value of each evaluation index combinati指标wiwjα1α2w′iX10.233 6 0.135 9 0.812 60.187 40.215 3X20.166 8 0.218 60.812 60.187 40.176 5X30.086 9 0.188 0 0.812 60.187 40.105 8X40.139 0 0.112 1 0.812 60.187 40.134 0X50.373 7 0.345 40.812 60.187 40.368 4

3.3 构建单指标测度函数

(15)

式中：ai、ai+1表示指标等级的取值范围。

根据式(15)将表2中的样本数据代入未确知测度函数，得出指标的测度矩阵。本文以岩石质量指标(X1)为例，其测度函数为：

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

同理，可得各评价指标的单测度函数如图1所示。

将表2中5个评价指标的实测值分别代入图1中，得到单指标测度评价矩阵为：

(a)岩石质量指标的测度曲线

(21)

3.4 计算多指标测度评价向量

根据表2中样本1的指标组合权重，结合式(12)和单指标测度矩阵(21)得样本1的多指标测度评价向量：{0.368 4，0，0.139 4，0.230 6，0.261 6}。同理，可得其余样本的多指标测度评价向量，如表4所示。

表4 各个样本评价等级Table 4 Evaluation grade of each sampe样本c1c2c3c4c5本文评价模糊可变集合可拓方法[18]联系云[18]物元分析法[19]P10.368 400.139 40.230 60.261 6ⅣⅣⅣⅣⅣP200.335 10.519 60.145 30ⅢⅢⅢⅢⅢP30.368 400.278 50.247 30.105 8ⅢⅢⅢⅢⅢP400.271 20.573 60.155 20ⅢⅢⅢⅢⅢP50.468 40.316 90.214 700ⅡⅡⅡⅡⅡP600.706 00.260 50.033 50ⅡⅡⅡⅡⅡP70.368 40.156 80.233 10.174 70.067 0ⅢⅢⅡⅢⅢP800.022 40.644 30.333 30ⅢⅢⅢⅢⅢ

采用置信度准则对评价对象作最后的等级评定[17]，一般取λ=0.6，此时c1，c2，c3，c4，c5分别表示Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ。从c1到c5：0.368 4+0.139 4+0.230 6=0.738 4>0.6，故样本P1围岩稳定性等级为Ⅳ。同理可得其余实测样本的围岩稳定性等级(见表4)：样本P2、P3、P4、P7、P8属于Ⅲ级，样本P5、P6属于Ⅱ级。将博弈论-未确知测度模型与模糊可变集合、可拓方法[18]、联系云[18]和物元分析法[19]的结果进行对比，得该模型与模糊可变集合、联系云、物元分析法的评价结果一致，表明基于博弈论-未确知测度模型评价围岩稳定性是可靠的。而可拓法在计算关联度时可能存在遗漏重要约束条件导致样本P7的评价结果出现误差，本文采用博弈思想组合主、客观权重，避免单一赋权使评价结果不准确，既考虑决策者的主观经验，又反映原始数据的客观性，一定程度上消除了评价指标间的差异性，同时以未确知测度为基础引用置信度判别准则对围岩稳定性进行评价，解决评价指标的不确定性，使得评价结果准确。博弈论-未确知测度模型比可拓方法的评价结果准确，且该模型原理和计算过程较联系云的可拓模型、物元分析云模型简单，故博弈论-未确知测度模型具有较好的实用性。

4 结论

a.针对影响围岩稳定性因素的不确定性，运用博弈论组合权重的思想将G1法的主观权重和变异系数法的客观权重进行组合，减少了主观人为影响和避免了客观数据差异，使得各指标权重更为可靠。

b.对岩石质量指标、单轴抗压强度、岩体完整性系数、结构面强度系数和地下水涌水量等5个评价指标建立单指标测度函数，结合博弈论组合权重求出多指标测度向量，引入置信度准则，建立综合评价模型对围岩样本进行等级判定，避免了可拓方法遗漏重要信息的缺陷。

c.将构建的博弈论-未确知测度模型与模糊可变集合、可拓方法、联系云的可拓模型、物元分析云模型的评价结果进行对比，本文模型与模糊可变集合、联系云的可拓模型和物元分析云模型的评价结果一致，表明博弈论-未确知测度模型用于评价围岩稳定性是可行的，且无需收集大量样本数据就能反映围岩稳定性情况，相比之下该评价模型更便于实际应用。