复杂行星传动系统强迫扭转振动特性分析

刘万里

（招商局检测车辆技术研究院有限公司 国家客车质量检验检测中心，重庆 401329）

扭转振动是车辆传动系统中振动的主要形式，过大的扭转振动不仅影响乘坐的舒适性，还会导致传动系统传动元件的损坏，这对车辆的安全构成了巨大的威胁。车辆传动系统是由多个元件构成的复杂、连续有质量的系统，为了便于对系统进行研究分析，在进行扭转振动研究时，需要对传动系统进行简化，常用的建模方法主要有分布参数模型和集中参数模型[1-3]。集中参数模型是把系统分为若干集中质量块，每个质量块之间用无质量的理想弹簧和阻尼构成质量-弹簧-阻尼系统，这种模型具有建模简单、便于分析和计算的优点，在系统扭转振动研究中应用最为广泛[4-6]，本文也采用此方法进行建模。

现有文献对行星传动系统强迫振动研究主要集中于风力发电传动系统[7]、船舶推进系统[8-9]、直升机传动系统[10]、车辆传动系统[11]，这些研究的行星齿轮传动系统都是只有一两级简单行星排。也有文献[12-14]研究了含有三级、四级行星排的传动系统，但是基本都是只含有简单行星排且传动系统主要为行星变速部分，整个传动系统比较简单。本文以包含4级简单行星排和1级复合行星排的复杂行星传动系统为研究对象，建立了系统的集中参数扭转振动动力学模型，并利用数值方法进行求解。研究了各固有频率下行星排的振型特点，以及发动机激励下的行星排时域、频域振动特性。

1 传动系统动力学模型

1.1 系统集中参数模型

采用集中参数法建立了包含一级复合行星排、四级简单行星排的复杂行星传动系统集中参数模型，如图 1所示。建模时不考虑支撑轴承的影响，认为系统各元件在传动时始终保持在平面内而不发生偏移，齿轮间的啮合刚度和阻尼取平均值，不考虑齿轮轮齿间间隙、安装误差的影响，考虑系统在稳态工况时的扭转振动。

图1 复杂行星传动系统扭转振动模型

本文所研究的多级行星变速器齿轮传动系统中，含有两种类型的行星排结构——简单行星排、复合行星排，简单行星排中含有 4个相同的行星轮，复合行星排含有两类各三个行星轮，在进行行星排动力学分析时，分别对两种类型的结构进行分析。在建模时，坐标系的设定为，太阳轮、行星架和齿圈建立在绝对坐标系上，行星轮的坐标系取随行星架同步旋转的转动坐标系。分析中设定所有元件逆时针为正方向，轮齿的相互压缩方向为变形的正方向，图2、图3给出了简单行星排和复合行星排各元件的正向旋转方向及相互啮合关系。

图2 简单行星排动力学模型

系统中第1、2、5、6行星排为简单行星排。

系统中行星排3为复合行星排。

1.2 建立系统数学方程

本文采用 Lagrange方程建立系统的微分方程，分别列出系统所有元件总的动能T、各部分弹性势能Ui和阻尼逸散能Di，系统总的弹性势能系统总的阻尼逸散能行星传动系统所有元件总的动能T为

各级行星轮连接件的扭转弹性势能U1为

变速器各行星轮齿啮合弹性势能U2为

左右汇流排及左右输出端轴段弹性势能U3为

系统的阻尼逸散能D表达形式与弹性势能U类似，这里不再列出。

根据Lagrange方程得到系统强迫振动微分方程为

其矩阵形式为

式中，θ为系统各元件扭转角位移向量；M为发动机各气缸激励向量；J、C、K分别为惯量、阻尼及刚度的对称矩阵；分别表示为

上述式中的KD、Kp1...Kp6等分别为定轴元件、第 1—6个行星排部分的子块矩阵；JD、Jp1...Jp6和CD、Cp1...Cp6等子块矩阵与K矩阵类似；K与C矩阵中的K1...K6与C1...C6分别表示其中非对角线上元素。

1.3 发动机激励

发动机工作时燃气的爆发力和活塞连杆机构往复运动产生的往复惯性力，使得发动机输出的扭矩具有很强烈的波动，这也是车辆传动系统扭转振动的主要激励源。本文仅考虑发动机为激励作用下的扭转振动，发动机激励主要包含燃气爆发压力力矩和往复部件惯性力矩，如图 4所示。

图4 8缸发动机集中参数模型

该模型中所用发动机为 V8 四冲程柴油机，共曲柄的两个气缸集总为一个转动惯量，图 4中Je1、Je2表示发动机自由减振器主被动端转动惯量，Je3～Je6表示发动机各缸等效转动惯量，Je7表示飞轮等效转动惯量，Je8表示发动机到传动系统中间传动部分等效转动惯量。ke1～ke7和ce1～ce11为对应的扭转刚度和扭转阻尼，Te为发动机输出扭矩，计算得到的扭矩通过Te传递到传动系统输入端。其激励进行叠加至最高转速2 450 r/min，根据发动机单缸的转矩特性，经过傅里叶变换后得到发动机单缸各个谐次的转矩，图5为其在1 500 r/min时发动机单缸转矩特性图，图 6为叠加后单缸转矩傅里叶变换后各谐次转矩。采用集中参数法可容易算出发动机输出到传动系统的转矩Te。

图5 单缸转矩特性

图6 单缸各谐次转矩

2 系统时频特性分析

2.1 系统固有频率与振型

利用系统强迫振动微分方程式（1），不考虑发动机激励力矩M以及系统阻尼矩阵C，计算出系统的固有频率，考虑到发动机的最高转速以及各谐次的激励力矩，取系统的前20阶固有频率，表1为系统前16阶固有频率。

表1 系统前16阶固有频率

系统固有频率中，1阶、2阶固有频率值很小，在实际工作中不会对系统产生振动影响，因此，考虑系统第3—16阶固有频率，图7给出了行星排在第 3阶到第 9阶固有频率下复合行星排各元件的振型，可以看出，在该范围行星排为全局振动模式，即行星排中同类行星轮的振动保持同步。

图7 复合排行星排第3—9阶固有频率下各元件振型

2.2 行星排振动频域分析

对发动机输出转矩进行傅里叶变换，可将发动机激励分解为无数阶简谐分量，系统某一固有频率在不同转速下，将与不同谐次的发动机激励力矩发生共振，因此在发动机转速范围内，系统有可能产生多个共振点，由于各阶简谐分量的幅值随谐次的增加迅速降低，高阶谐次对系统影响很小，取其前20谐次作为输入激励，既减少计算量又满足工程精度。文中发动机实际与计算转速均在800 r/min～2 450 r/min。

该综合传动系统中行星变速器是最复杂的结构，也是最容易产生扭转振动和破坏的结构，因此，本文对行星变速器中行星排进行频率响应分析。图 8为变速器部分第三排复合行星轮排的频域响应曲线，从中可以知道复合行星排在外界激励作用下所有元件均在系统第四谐次激励作用所对应的1 160 r/min产生峰值发生共振，对应于系统的固有频率为 38.58 Hz，各元件幅值大小和行星复合排于该转速下与其对应的固有频率的振型吻合得很好，如图 9(a)所示。除此之外，系统对应于第四谐次固有频率为61.07 Hz所对应的共振转速1 835 r/min处产生共振，该阶共振时各构件的幅值与其对应固有频率的振型复合度也比较高。由图 9(b)各构件扭振幅值变化趋势可以看出复合排行星轮系的内圈小行星轮与太阳轮在第一个峰值处的幅值最大，其次为外圈大行星轮及齿圈，行星架振动不明显，且所有构件的振幅都随转速的增加而降低，行星轮幅值降低速度快于太阳轮。

图8 第3排复合行星排频域响应

图9 第6阶、8阶系统固有频率下复合行星排振型

图10(a)、图10(b)分别为变速器中第1、2排行星排扭转振动的频域响应，振动峰值出现的转速与第三复合排相似，均在 1 160 r/min与1 835 r/min处，且1、2排的行星轮振动幅值于2 420 r/min处产生峰值，其原因是其转速靠近系统第四谐次下的80.44 Hz所对应的2 413 r/min的共振转速。不同之处在于第1、2排行星排的振动稍弱，第1、2排行星排的行星轮振动最弱，第 1排行星排中太阳轮和行星架振幅相同，第 2排行星排太阳轮振动最严重，行星架和齿圈振动稍弱。

图10 第1、2行星排频域响应

2.3 复合行星排时域响应与轮齿啮合力

变速器部分位于第 3排的复合排处的共振幅值较大，因此，本文分析了该行星排的时域响应和轮齿啮合力，由于发动机转矩的周期性变化，使得系统各元件的扭转振动也呈现出周期性。其值直接体现出扭转振动的大小，而且变动速度也会对轮齿啮合力的大小有直接关系，对其轮齿啮合力的分析可以得到轮齿的受力情况。

图11为发动机转速为1 835 r/min时第3排行星排中各元件扭转振动时频响应，从图11(a)中可以看出，外圈大行星轮的幅值较大，内圈小行星轮的振幅较小，前者大概是后者的3倍。从图12(b)可以看出，太阳轮的振幅是内齿圈的 3倍，行星架的振动较小。所有元件的振动周期相同，幅值的波动量较小。

图11 第3排复合行星排时域响应

图12 复合行星排轮齿啮合力

复合行星排内圈行星轮p3j与外圈行星轮p4j之间的啮合力、外圈行星轮p4j与外齿圈r4之间的啮合力、内圈行星轮p3j与内齿圈r3之间的啮合力、内圈行星轮p3j与太阳轮s3之间的啮合力分别为

图12为发动机转速为1 835 r/min时第3排复合行星排中各齿轮啮合力，对复合排处内圈行星轮p3j与内圈齿圈r3、太阳轮s3及外圈行星轮p4j与外圈齿圈r4、内圈行星轮p3j啮合的动态啮合力进行分析可以看出，内圈行星轮与外圈行星轮的动态啮合力Fn3p4p与外圈行星轮与外圈齿圈动态啮合力Fn4pr4大小相近，内圈齿圈与内圈行星轮的动态啮合力Fn3pr3与内圈行星轮与太阳轮的动态啮合力F3ps3大小相近，且与外圈行星轮相关的动态啮合力Fn3p4p、Fn4pr4大小基本为内圈行星轮相关动态啮合力Fn3pr3、Fn3ps3的二倍，四个动态啮合力都为交变力。

3 结论

通过建立含有多个行星排的复杂行星传动系统的强迫振动集中参数模型，利用Lagrange方程建立系统微分方程并求解。通过分析得出发动机第 4谐次对各行星排的振动影响最大，系统变速中行星排的共振转速为1 160 r/min与1 835 r/min，其中在1 160 r/min扭转振动达到最大值，对应系统固有频率为38.58 Hz。第3排复合行星排中太阳轮和内圈行星轮的振幅比较严重，而第1、2排行星排中行星轮振动反而最弱。复合行星排中元件的时频响应幅值波动量较小，外圈行星轮与外齿圈以及与太阳轮的啮合力相同，内圈行星轮有同样的特性，前者的值为后者的两倍。