考虑消费者忠诚度的一阶马尔科夫动态定价模型

唐 珏，刘枚莲，程承旗

（1.北京大学 工学院，北京 100871；2.桂林电子科技大学 商学院，广西 桂林 541004；3.北京大学 时空大数据协同创新中心，北京 100871）

一、引言

随着电子商务的发展，价格变换的成本以及消费者获取相关信息的成本逐渐减少，使得动态定价的变化成本不断降低，动态定价逐渐成为电子商务企业常用的定价策略，如滴滴打车、神州专车、Uber 等打车平台依据供求动态调整价格，动态定价策略是其核心。但是，频繁的价格变动可能会引发消费者对产品质量的怀疑，需要控制价格变化的频数[1]。在动态定价模型的研究中，市场特征和消费者特征是重点关注的两类变量[2]。消费者特征的刻画，一般通过消费者的保留价格亦即支付意愿来体现。考虑消费者保留价格的差异性，一般假设保留价格服从均匀分布或者正态分布[3]。消费者对于产品服务与偏好的差异，在于销售商的选择。转换销售商，可能是缘于缺货[4]，也可能是消费者追求服务或者产品多样化，即反映在消费者忠诚度上[5]。消费者在不同销售商之间的选择，这种不确定性往往采用某一概率表示。另外，产品与服务的定价对消费者的选择行为产生影响[6]。鉴于消费者行为特征的差异，一般把消费者分为短视型和策略型两种[3]。对于短视型消费者，只要产品价格低于消费者的保留价格，就会产生购买行为[3]，而对于策略型消费者，则会更多地考虑购买的机会成本，这类消费者如果预测到下一时期商家的定价更低，则会拒绝购买当期的商品，即处于一种观察状态。策略型与短视型消费者行为的差异，可以通过设置不同折扣因子参数来体现[3]。

由于产品与服务都是在市场中进行交易的，所以市场特征对动态定价产生影响。关于市场特征的假设，主要是从垄断和竞争两种视角考虑。一种是假设垄断市场的最优动态定价机制。管理科学文献中垄断环境下的动态定价模型，比较经典的是由Kalish（1983，1985）、Lazear（1984）提出。这些模型的共同特点是：假设销售额会随时间发生变化，不同交易时间的垄断者定价策略影响销售额的变化。对于垄断环境下的动态定价，收入管理领域的研究成果比较丰富，例如Kalyan Talluri 和Garrett Van Ryzin（2004）[7]的研究。另一种是考虑竞争对动态定价的显著影响[3]，或者竞争和消费者同时对动态定价的影响，例如假设消费者到来服从泊松分布，消费者是相同类型的[8]或者是异质性的[9]。不过大多研究是假设在多阶段固定库存收入管理的背景下，竞争效应受到的关注相对较少。

然而，目前所研究的动态定价模型一般只涉及单一的因素对定价的影响，如仅考虑定价策略与市场特征的关系，或只考虑定价策略与消费者某种特征的关系（策略行为特征、对产品和服务的偏好等），而且交易周期局限在两个阶段[10]。事实上，消费者和销售商之间是一个多阶段的博弈过程，需要考虑多周期交易期限、市场特征和消费者特征等的动态定价问题。文章基于两种消费者行为特征，研究了风险中性销售商的一阶马尔科夫动态定价模型，研究贡献主要有两点：第一，突破了以往动态定价模型研究中仅仅考虑单一影响因素的局限，将交易期限、市场特征和消费者行为特征等同时纳入动态定价模型进行多周期动态分析，将两周期交易期限扩展到了多个周期，厘清了目前学术界一直存在争论的企业最优定价策略与交易期限、消费者行为特征以及消费者忠诚度之间的动态关系，进一步丰富和发展了马尔科夫动态定价模型；第二，创新性地将消费者忠诚度引入多周期动态定价模型，拓展动态定价模型的研究范畴。

二、文献综述

（一）马尔科夫模型与动态定价决策

动态定价是一种商业策略，目的是通过及时调整产品的价格，将商品以最优的价格在最合理的时间售卖给顾客，以获取最大化的收益[11]。学术界最早给出动态定价的正式定义的是Gallego 和Van Ryzin[12]，他们提出动态定价是一种从小的、静态的价格合成一系列最优价格以响应不断变化的需求函数的尝试。在动态定价的研究中，学者们聚焦在策略型消费者的动态定价问题。如刘晓峰、黄沛[13]通过运用经典的Stackelberg 博弈模型和机制设计理论，研究了在确定和不确定需求下垄断性厂商面对策略型消费者最优的动态定价和库存决策。官振中、任建标[14]将消费者的策略型行为和参考价格效应结合，描述了消费者在历史和预期价格影响下零售商的动态定价策略并建立了多阶段动态定价策略模型。但是也有少数研究成果考虑不同的消费者类型，Cachon 和Swinney[15]研究了策略型、短视型和逢低吸纳型消费者同时存在于市场中的情形，指出动态降价策略为企业最优的价格路径。

动态定价常用的方法是Stackelberg 博弈模型以及算法设计[13][16]，也有将马尔科夫模型应用于动态定价的研究成果。Elias 等[17]首次将两状态马尔科夫状态转移模型应用于气温衍生品定价。张小强等[18]应用最大凹向包络理论，建立了离散时间马尔科夫多维决策模型对高铁客运进行动态定价决策。徐豪和刘钢[19]运用马尔科夫链进行降雨状态的划分和预测，在降雨量预测的基础上进行水期权交易相关费用的确定。

（二）消费者忠诚度

消费者忠诚度是指消费者在未来会重复购买心仪品牌的产品的行为[20]，主要表现为未来购买的可能、服务契约的延续、转换品牌的可能性及正面的口碑宣传。Dick 和Basu[21]认为消费者忠诚是一个复杂的多维概念，只有当重复购买行为伴随着较高的态度取向时才产生真正的消费者忠诚。影响消费者忠诚度的因素，主要有品牌钟爱[22]、服务满意度[23]和感知有效性[24]等。

消费者忠诚度是以市场导向作为核心战略的服务型企业重点关注的方面[25]，研究发现消费者忠诚度对公司定价有影响。张新鑫[26]等依据策略性和忠诚性两个维度，将市场中的消费者分为策略型忠诚者、策略型转换者、短视型忠诚者和短视型转换者四种类型，研究了在同时考虑竞争者进入威胁和消费者行为时，公司应该如何为易逝品进行合理定价。Wang[27]探索了两家客户忠诚度不对称的制造商基于不同渠道结构的价格竞争和质量竞争。每个制造商都通过分散式渠道或集成式渠道向客户出售产品，并根据质量、零售价和客户忠诚度来面对需求。而后将市场分为两种类型：价格敏感型市场和质量敏感型市场，发现均衡取决于市场类型。

将消费者忠诚度和马尔科夫动态定价模型结合，在多周期情况下考虑不同消费者类型的动态定价模型的研究成果缺乏，非常有必要考虑企业的最优定价策略与交易期限、消费者行为特征以及消费者忠诚度之间的动态关系。

三、模型构建

在市场交易中，销售商争取客户以获取最大的利益，而消费者选择合适的销售商以使消费者福利达到最大化。消费者根据销售商的定价做出购买还是放弃的决策，销售商根据消费者的购买决策做出价格调整，而且竞争环境下的销售商无法对未来价格做出有约束力的承诺，这样的均衡定价策略必须是子博弈完美纳什均衡。这意味着在给定的任何时期的市场状态以及消费者预期情况下，销售商在那个时期的定价必须是最优的[3]。

针对竞争环境下的销售商和消费者的多周期博弈，在不同消费者忠诚度和交易期限下，分别针对短视型消费者和策略型消费者构建销售商的动态均衡定价模型。

（一）模型假设

1.关于销售商的假设

考虑到消费者往往是在两个销售商提供的产品或服务之间进行比较后进行决策，假设市场上有两个销售商i 和j。在任意时间点t，销售商i 发布的价格用表示，另一个则是，为了计算方便，假设销售商的销售成本为0。销售商并不知道特定消费者的保留价格具体是多少，但是可以推断消费者保留价格的分布范围。在任意交易时点t，任何一个销售商均知道前t-1 个交易时点的定价历史，并根据消费者的购买决策，动态发布价格。

2.关于消费者的假设

假设任何一个消费者在一个交易期限T 内，只能选择一个销售商的一个产品或者服务，如购买某一时间的机票、酒店住宿等。消费者的初始保留价格R 服从均匀分布，消费者可能是短视型，也可能是策略型[3]。在任何一个时间点t，消费者以某一概率访问某个销售商，如果消费者购买该销售商的产品或服务，则交易结束。如果消费者没有购买，在消费者忠诚度为P 的情况下，则在t＋1 的时候再次访问该销售商的概率为P（0＜p＜1）。假设消费者事先对两个销售商提供的产品与服务偏好没有差异，则第一次访问两个销售商的概率均为1／2。假设消费者的初始保留价格服从均匀分布，随着销售商的定价变化，消费者不断修正保留价格。

3.关于交易市场的假设

假设交易市场是竞争性市场，交易期限为T。任意一个销售商在任意的交易时期t，能够了解前面各个时期销售商的历史定价信息。只要消费者做出了购买决策，交易结束。在交易期限T，即使消费者没有做出购买决策，交易也结束。考虑到两个销售商之间的竞争，在任意时间点t，两个销售商的定价。

（二）主要变量设置

表1 变量设置

（三）针对短视型消费者的动态均衡定价模型

当消费者是短视型的时候，意味着只要销售商的定价低于消费者的保留价格，消费者就会做出购买决策。

上式中，r表示在T时期，消费者访问销售商i 的概率。由于在初始时期，访问i 和j 的概率均为，设在时间T，访问销售商i 和j的概率分别为γ 和1-γ。

T 时期的消费者均衡福利ωT＝（消费者保留价格-访问的销售商i 的定价）×T 时期作出购买决策概率，即：，将代入得：

参照T 时期销售商均衡定价的推导，可得在任意时期t 消费者的保留价格、销售商均衡定价、利润、消费者福利。

（四） 面向策略型消费者的动态均衡定价模型

T 时期的消费者的均衡福利ωT＝（消费者保留价格-销售商i 的定价）×T 时期作出购买决策概率，即：，将。

四、相关命题提出

命题1：在交易周期为T 的时间范围内，不管是短视型消费者还是策略型消费者，在消费者忠诚度一定的情况下，其保留价格均随着交易时间的延长而减少。

命题2：在交易周期为T 的时间范围内，市场上消费者的行为特征无论是短视型还是策略型，在任一时间t，消费者的保留价格会随消费者忠诚度的增加而增加。

命题3：在消费者忠诚度一定的情况下，在交易周期为T 的时间范围内，当市场上消费者的行为特征为短视型时，销售商的定价会随着交易时间的增加而减少，当市场上消费者的行为特征为策略型时，销售商的定价不随交易时间变化而变化。

证明：在消费者忠诚度一定的情况下，当市场上消费者的行为特征是短视型时，销售商在任意时期t 的定价为：由于，所以。

在消费者忠诚度一定的情况下，当市场上消费者的行为特征是策略型时，销售商在任意时期t 的定价为：，可以看出与交易时期t 无关。

命题4：在交易周期为T 的时间范围内，市场上消费者的行为特征无论是短视型还是策略型，任一时间t销售商的定价会随消费者忠诚度的增加而增加。

证明：当市场上消费者的行为特征是短视型时，销售商在任意时期t 的定价为：由于任意时期t，，由于Bt＜1，随着P 的增加，Bt增加，进而RT*增加。

当市场上消费者的行为特征是策略型时，销售商在任意时期t 的定价为：，任意时期t，，由于，所以当P 增加时，Bt增加，Bt-1增加，根据Bt的表达式可以看出，Bt-2也随着增加。依此类推，随着P 的增加，BT增加，进而RT*增加。

命题5：在交易周期为T 的时间范围内，当市场上消费者的行为特征是短视型时，任一时期t＋1 的消费者保留价格R*t＋1是销售商t 时期的定价Pt*。

证明：对于T 时期的销售商而言，不管是销售商i 还是销售商j，其均衡价格都是消费者保留价格的函数，为了使，销售商i 的均衡价格，又因为，当消费者为短视型，。由此可得。

命题6：在交易周期为T 的时间范围内，当市场上消费者的行为特征是策略型时，任一时期t 的销售商定价均等于在T 交易时期均衡时消费者保留价格的一半。

证明：对于T 时期的销售商而言，不管是销售商i 还是销售商j，其均衡价格都是消费者保留价格的函数，为了使，均衡价格，又因为，当消费者为短视型，δ＝1。由此可得＋1。

在交易周期为T 的时间范围内，无论市场上消费者的行为特征是短视型还是策略型，在消费者忠诚度一定的情况下，销售商的均衡利润均随着交易时间的增加而减少。

证明：在消费者忠诚度一定的情况下，对于短视型消费者，在任何时期t 的销售商的均衡利润为，且保留价格，由于任意时期t，，，BT＋2＝0，所以，Bt＜1 时有，从而得出。

在消费者忠诚度一定的情况下，对于策略型消费者在任何时期t 的销售商的均衡利润为且，由于任意时期t，所以Bt＜1，则有，从而可以得出。

五、算例分析

对于消费者的初始保留价格，假设服从（0，1000）的均匀分布[3]。对于消费者忠诚度，不失一般性，消费者忠诚度P 分别取0．1，0．3，0．5 和0．7 四种值，市场上有短视型和策略型两种类型的消费者。考虑到不同交易期限的影响，对于交易期限的取值，参考Mak 等的研究，将交易期限T 设置为8[3]，采用开源软件R3．5．2，模拟分析消费者的保留价格、销售商的均衡定价和消费者均衡福利的变化规律。

（一）消费者保留价格分析（如表2 所示）

表2 交易期限T＝8时消费者的保留价格情况表

从表2 可以看出，在交易期限T＝8 时，在消费者忠诚度一定的情况下，消费者的保留价格随着交易时间的增加而减少，命题1 得到验证。在交易时间一定的情况下，消费者的保留价格随着消费者忠诚度的增加而增加，命题2 得到验证。即在一定的交易期限范围内，无论消费者的行为特征是短视型还是策略型，其保留价格均受交易时间和消费者忠诚度的双重影响。

（二）销售商均衡定价分析（如表3 所示）

表3 交易期限T＝8时消费者的保留价格情况表

从表3 可以看出，在交易期限T＝8 时，在消费者忠诚度一定的情况下，当市场上的消费者行为特征是短视型消费者时，销售商的定价随着交易时间的增加而减少；而当市场上的消费者行为特征是策略型时，销售商的定价不随交易时间的变化而变化，命题3 得到验证。

（三）消费者均衡福利分析（如表4 所示）

表4 交易时期期限T＝8时消费者均衡福利情况表

从表4 可以看出，在消费者忠诚度一定的情况下，消费者的均衡福利随着交易时间的延长而减少。而在交易时间一定的情况下，消费者的均衡福利随着消费者忠诚度的增加而减少。当市场上消费者的行为特征是策略型时，前6 个时期消费者的均衡福利随着交易时间的延长和忠诚度的增加而减少，但是在最后2 个时期（即t＝7，8），策略型消费者的均衡福利变化比较复杂。由于在交易末期的策略型消费者，如果没有做出购买决策，交易就结束了，无法下一次返回到相应销售商进行购买，因此其均衡福利在最后时间呈现明显的波动。

（四）结果分析与管理含义

研究结果表明：在消费者忠诚度不变的情况下，消费者的保留价格总是随着交易时间的延长而减少。在交易时间不变的情况下，随着消费者忠诚度的增加，消费者保留价格随之增加。当市场上的消费者类型不同时，销售商采取的最优定价策略不同。当消费者为短视型时，不管交易期限如何，销售商在t 时期的最优定价总是等于短视型消费者在t＋1 时期的保留价格。当销售商与策略型的消费者博弈时，销售商的最优定价不受交易时间的影响。当消费者忠诚度增加时，销售商的最优定价随之提高。这也可以解释为什么存在“大数据杀熟”的现象。

对于短视型消费者，均衡福利下降速度很快，而策略型消费者，其均衡福利下降则慢。因此，缩小交易时间是关键所在。

在竞争性市场条件下，消费者的均衡福利受消费者忠诚度和交易时间的双重影响。不管怎样类型的消费者，都随着交易时间的延长，均衡福利减少。但是针对不同行为类型的消费者，销售商最优定价策略是不同的。考虑到交易时间对销售商最优均衡定价和消费者均衡福利的影响，必须缩短交易期限。途径有两种：一是通过技术创新，缩短产品的生命周期，不断推出新的产品；二是通过服务创新，提升消费者体验，加强与用户的交流与沟通，例如传统零售业的线上线下平台整合。“双十一”和“双十二”的电商促销节，一般都规定一天的促销时间。销售商在制定定价策略时，需要针对短视型消费者与策略型消费者，采取不同的定价策略，以获得更大的利润。消费者忠诚度对销售商均衡定价以及消费者均衡福利均产生影响，销售商应该尽可能提高消费者忠诚度，加强忠诚度管理，最大限度留住消费者，并将重点放在交易前期，不仅有利于提高销售商的均衡利润，也有助于提升消费者的均衡福利。

六、结论

本研究在对现有的动态定价研究成果进行梳理的基础上，构建了考虑消费者行为特征的一阶马尔科夫动态定价模型，分析了销售商在面对两种不同类型的消费者时，在不同的交易期限以及消费者忠诚度时的动态均衡，发现了消费者均衡价格、销售商均衡定价、销售商期望利润和消费者均衡福利的变化规律。在消费者忠诚度不变的情况下，不管是短视型的消费者还是策略型的消费者，消费者的保留价格都是在前期减少速度最快，在后期短视型消费者的保留价格曲线逐渐趋于平缓。销售商的定价策略随着消费者策略行为特征的变化而变化，当市场是策略型的消费者时，销售商的最优定价策略是保持价格不变。而当市场是短视型的消费者时，销售商的均衡定价不仅受消费者忠诚度的影响，而且受交易时间的影响。本研究是在假设商品和服务充足的情况下进行研究的，对于可供商品和服务的有限情况下的消费者竞争问题，有待于进一步的研究。