解三角形的最值问题

马扬博 王桢宇

(北京市第一七一中学 100013)

1 试题呈现

图1

2 试题解析

思路1 向量法.

结合图形，构造向量表达式，平方可以将向量运算转化为模长运算，得到三角形边的关系，通过均值不等式求解即可.

解法1向量图形运算.

得b2+c2+bc=36.

又因为b2+c2≥2bc,

所以bc≤12,当且仅当b=c时取等号.

解法2 向量图形运算.

两式平方相减，得

即2bc=36-a2.

所以b2+c2=bc+a2.

代入a2可得b2+c2+bc=36，后同解法1.

解法3极化恒等式.

所以a2=36-2bc.

后同解法2.

极化恒等式是将向量点积运算转化为三角形边长运算的重要课本结论，尤其是本题这种涉及中线长的问题，通过该式可以快速建立运算表达式.

思路2 以角为纽带联系边长.

解法4 互补的角.

设∠ADC=θ,∠ADB=φ，

且cosθ+cosφ=0，

所以2b2+2c2=36+a2.

所以b2+c2=bc+a2.

化简可得b2+c2+bc=36，后同解法1.

互补两角的正弦值相等，余弦值相反在解三角形中是很常用的，比如证明“角分线性质”时就可以用该方法.问题如下：

已知：a,b,c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，AD是∠A的平分线.

同学们快来试试吧.

解法5 算两次.

所以2b2+2c2=36+a2.后同解法2.

△ABC与△ADC内都有∠C，分别在两个三角形中应用余弦定理，以∠C为纽带联系边长关系属于“算两次”的思想.该方法适用于有两个不同的三角形共用其中的边或角的情况，既可以通过角算两次，也可以通过边算两次.

思路3 利用教科书结论直接寻找边长关系.

人教A版教科书必修二第39页例2证明了“平行四边形对角线平方和等于四条边平方和”.本题可以“倍长中线”构造一个ABEC，再利用上面结论解答.

图2

解法6如图2，延长AD至点E使AE=2AD.

由上述课本结论得

2AB2+2AC2=AE2+BC2.

即2b2+2c2=36+a2，后同解法4.

该课本结论，证明简单、应用方便，其变形形式即为“中线长定理”.人教A版教科书必修第二册53页15题给出了该公式：

△ABC的三边分别为a，b，c，边BC，CA，AB上的中线分别记为ma，mb，mc，利用余弦定理证明

证明略.

思路4 坐标法.

由AD=3，

所以x1x2≤6，

当且仅当x1=x2时取等号.

综上所述，本题在△ABC是等腰三角形时取到最大值，解题方法众多，但也可以看出，向量方法明显是更为行之有效的，可能这就是教科书没有把解三角形的知识放在必修一中，而是放在必修二的向量章节中的原因吧.

四种解题思路也是处理解三角形问题的常用方法，另外，同学们还要关注教科书中的常用结论，宝藏多多，等待大家挖掘.