随机环境中受控分枝过程的一致Gramer中偏差的上界

吴金华,鲁展,唐鑫萍

(长沙理工大学数学与统计学院,湖南长沙,410114)

受控分枝过程(CBP)是经典分枝过程一个自然而又及其重要的推广。1974 年,Sevast’yanov 等[1]首次引入该过程,它的参与繁衍粒子数是由被控制函数所决定。1977 年,随机环境中的受控分枝过程(CBPRE)被Yanev 在文献[2]中所提出。在这之后,学者们对它进行了深入且有意义的研究探讨。其中,毕秋香等[3]研究了在平稳遍历环境下CBPRE 的灭绝概率,并在做出合理的假设之下推出该过程是否灭绝的一个判别准则;M Gonzalez 等[4]研究了带随机控制函数的上临界受控分枝过程的极限分布,给出了其概率母函数的建立,并证明了Wn收敛到一个非退化且有限的随机变量;M Gonzalez 等[5]研究了带随机控制函数的受控分枝过程的L2收敛,证明了Wn是L2收敛到一个非退化极限;Hung C M 等[6]研究了随机环境中分枝过程的大偏差和中偏差原理,同时也讨论了调和矩的存在性;Grama 等[7]研究了在淬火情形下,随机环境中上临界分枝过程logZn的Gramer 大偏差展式; 方亮等[8]则考虑了有关变化环境中的一些问题,深入研究带随机控制函数的受控分枝过程(CBPRVE),证明了CBPRVE 中规范化过程Wn的收敛速率; 李应求等[9]研究了CBPRE 中Zn的极限定理,并给出规范化过程收敛的几个充分条件;Fan X Q 等[10]为了给出的一致Gramer 中偏差和Berry-Esseen 界,考虑了可观测数据,当前种群粒子数量以及代数的增量n,并通过推广文献[6]已经研究的logZn的一致Gramer中偏差和Berry-Esseen 界建立了相对应的一些定理; 谭珂等[11]利用Jensen’s 不等式,研究了CBPRE 的矩和调和矩,证明了Zn矩的渐近性以及调和矩的存在性;M Gonzalez 等[12]引入了一类具有连续时间的受控分枝过程,并得出临界情况下的一些极限分布,同时也考虑了它相应的渐近性质;M Ramtirthkar 等[13]研究了在上临界情形且Zn≠0时关于带有随机控制函数(φn(k))的受控分枝过程的局部渐近正态性。

本文在文献[4]的研究基础上,探讨了随机环境中受控分枝过程的Gramer 一致中偏差的上界。

1 模型的引入

首先给出模型的定义。令(Ω,F,P)为概率空间,(Θ,B)为可测空间,N={0,1,2...},N+={1,2...}。令{Zn:n∈N+}是(Ω,F,P)上取值于N+的随机变量序列,ξ=(ξ0,ξ1,…)是(Ω,F,P)上取值于(Θ,B)的随机变量序列,{Xn,i:n∈N,i∈N+}是定义在N+上的一族随机序列,对n≥0对应的分布为p(ξn)。{φn(k):n,k∈N+}是定义在N+上的一族随机函数,它表示在第n代粒子繁衍后代的过程中对这些粒子进行控制,即φn(Zn)=k时,则表明当第n代的粒子数为Zn时,参与繁衍机制的粒子数为k,它具有概率分布Q(ξn;k,i)=Pξ(φn(k)=i)。且满足给定ξ,{φn(k):n,k∈N} 与{φn(k):n,k∈N} 条件独立,则称{Zn:n∈N} 是随机环境ξ中受控分枝过程(CBPRE)。其中Xni是一个非负的随机变量(i.i.d.),表示第n代第i个粒子所繁衍的粒子数,对n≥0时所对应的分布为{pnk}k≥0。Zn+1表示第n+ 1代的粒子数。

下面简记X0=X0,1,记(Γ,Pξ)为给定环境ξ下受控分枝过程所处的概率空间,其中称Pξ为淬火分布。随机环境ξn的状态空间记为Θ。总的概率空间可以看作乘积空间（Γ×PN,P),其中P(dx,dξ)=Pξ(dx)τ(dξ),即对任意可测的正函数g,有

此处τ为随机环境ξ的分布,称P为退火分布。同时Pξ可以看作是给定环境ξ时的条件概率分布,而对于Pξ和P的数学期望分别记为Eξ和E。

对任意的n,k≥0,p≥1,定义那么易知是关于(Fn)可测的非负上鞅,故存在非负随机变量,且有EW≤ 1。

在本文中始终假设p0(ξ0)=0。在研究过程中将用到如下分解

这里Xi=logm(ξi-1)τ(ξi-1)(i≥1)是依赖于环境ξ的独立同分布随机变量。logZn的渐近性质是受相关随机游动的影响。

记μ=EX,σ2=E(X-μ)2,假设μ＞0和σ2∈(0,∞)有μ=EX＞0,σ2=E(X-μ)2∈(0,∞)。这意味着随机游动{Qn,n＞0}是非退化的。

对于相关的随机游动,需要Gramer 条件:(A1)随机变量X=logm(ξ0)τ(ξ0)有指数矩,也就是说,存在一个常数λ＞0,使得Eeλ0X=E(m(ξ0)τ(ξ0))λ0＜∞。

2 主要结果及其证明

为了得到最后定理的证明,下面首先给出几个引理。

引理1[9]对n=0,1...,E(Zn+1|Fn)=Znm(ξn)ε(ξn;Zn),a.s.。特别地,。

引理2序列在Pξ下对所有ξ是一个非负上鞅,(Wn)a.s.收敛到一个非负有限的随机变量W, 且EW＜∞,

证明由引理1 有

而由文献[9]的定理3.1 可知,(Wn,Fn)是一个非负上鞅且Eξ W＜∞,那么对两边同时取期望有EW＜∞。

定理1(logZn的中心极限定理)假设成立σ2=Var(logτ(ξ0)m(ξ0))∈(0,∞),那么

证明首先进行分解,对任意的ω,可得

再由引理2,有Wn→W＜∞,此外,由于p0=0 ,则

因此

另一方面,由独立同分布随机变量的经典中心极限定理有

令ω→0,就得到了上界。那么对于下界,显然有

对式(7)取下极限,并令ω→0,可得定理1 得证。

下面给出Gramer 一致中偏差的上界,其中

推论1的中心极限定理)假设成立1),其中表示依分布收敛。

为了证明该结论,下面将充分利用式(4)。

证明由式(8)以及式(1),可得

定理2假设条件(A1)成立,当0n∈N,对n≥2 和时,下列式子是一致成立的并且对于n≥2 和

证明下面给出式(10)的证明。

接下来,给出H1和H2的估计。注意是一列独立随机变量的和。由独立随机变量和的Gramer 中偏差的上界,对

接下来,给出式(9)的证明。通过类似于式(11)的讨论,对于x∈R,则有

并且

再一次类似于式(11)的讨论方法,当x∈R,可得

当0≤x＜1,则有

并且由引理2 有

结合式(17)～(19),对于0≤x＜1,可得成立。