发展型p-Laplace方程边界最优控制的存在性

张瀛月, 杜润梅

(长春工业大学 数学与统计学院, 长春 130012)

0 引 言

考虑如下发展型p-Laplace方程的初边值问题:

其中Ω是N中一个有界闭集, ∂Ω是光滑的,n是∂Ω上的单位外法向量,c∈L∞(QT),p>2,u0∈L2(Ω)是一个非负有界函数,h是热传导系数, 也是控制函数.定义成本泛函为

1 预备知识

定义V=W1,p(Ω),V′表示V的对偶空间.〈u,v〉(u∈V′,v∈V)表示V′-V的对偶积.

定义1如果∀φ∈C(0,T;L2(Ω))∩LP(0,T;V)∩L2(0,T;V′), 如下积分等式成立：

则非负函数u∈C(0,T;L2(Ω))∩LP(0,T;V)称为问题(1)-(3)的弱解, 其中τ∈(0,T).

引理1[1]对任意u,v∈LP(0,T;W1,P(Ω)), 下列不等式成立：

则fn在C0([0,T],X-w)中相对紧.

2 主要结果

定理1对任意非负函数u0∈L2(Ω),h∈UM, 问题(1)-(3)存在唯一弱解u, 满足

‖u‖L∞(0,T;L2(Ω))+‖u‖LP(QT;n)≤C1‖u0‖L2(Ω),

其中C1是一个与u0和M无关的常数.进一步, 有ut∈L2(0,T;V′), 并且‖ut‖L2(0,T;V′)≤C2, 其中C2是一个仅依赖于u0和M的常数.

‖ck‖L∞(QT)≤‖c‖L∞(QT), ‖hk‖L∞(∂Ω×(0,T))≤‖h‖L∞(∂Ω×(0,T)), ‖u0,k‖L2(Ω)≤2‖u0‖L2(Ω).

考虑问题：

由分部积分公式, 得

则有

(7)

由Grönwall不等式, 有

(8)

由式(7)和式(8), 可得

(9)

其中C1是一个与u0和M无关的常数.对于∀φ∈L2(0,T;V), 有

由分部积分可得

其中C2为一个与u0和M有关的常数.因此,

‖(uk)t‖L2(0,T;V′)≤C2.

(10)

由嵌入定理可知,

且‖ut‖L2(0,T;V′)≤C2.

由于uk是问题(4)-(6)的弱解, 因此对于∀φ∈C(0,T;L2(Ω))∩LP(0,T;V)∩L2(0,T;V′), 有

在式(11)中令k→∞, 并利用uk的收敛性, 得

因此,u是问题(1)-(3)的弱解.

下面证明对任意h∈UM, 问题(1)-(3)存在唯一解u.假设u1,u2为问题(1)-(3)的两个解, 做差得

对所有的τ∈(0,T), 令φ=u1-u2, 有

对所有的τ∈(0,T), 由引理1有

则

即

定理2若Zd∈L2(QT),u0∈L2(Ω), 且满足兼容性条件

则存在一个最优控制h*∈UM, 使得成本泛函J(h)最小.

‖uk‖L∞(0,T;L2(Ω))+‖uk‖LP(QT;n)+‖(uk)t‖L2(0,T;V′)≤C,

在式(13)中令k→∞, 并利用uk的收敛性, 得

因此,u*是问题(1)-(3)当h=h*时的弱解.由J(h)的弱下半连续性, 有

因此,h*是J(h)在UM上的最优控制.