上非自治Schrdinger 格点系统的随机一致指数吸引子

2023-03-09 15:44张金璐
关键词:格点确定性维数

林 柔,赵 敏,张金璐

(温州大学数理学院,浙江 温州 325035)

动力系统实际上会受随机因素的影响,随机动力系统(Random Dynamical Systems, RDS)引起了广泛研究,如自治随机动力系统的随机吸引子[1-4]、非自治随机动力系统(Non-autonomous Random Dynamical Systems, NRDS)的随机拉回吸引子[5-8]和随机一致吸引子[9].这些吸引子吸引轨道的速度可能很慢,维数可能是无穷维的,不利于数值估计和应用.为解决这些问题,有学者研究了RDS 的随机指数吸引子的存在性[10-15],该吸引子指数率吸引随机集且分形维数有限.Shirikyan 等在文献[10]中研究了自治RDS 的随机指数吸引子的存在性.Zhou 在文献[11]中给出了NRDS 的随机指数吸引子存在性条件并应用于一阶格点系统.Han 等在文献[12]中给出了NRDS随机一致指数吸引子的存在性准则并应用于一阶格点系统.

非线性Schrödinger 方程可以描述微观粒子的状态随时间变化的运动规律,是量子力学中基本方程之一,广泛应用于固体物理与核物理等领域[16].本文主要考虑ℤN上带拟周期外力和可乘白噪声的Schrödinger 格点系统(1)的随机一致指数吸引子的存在性.

其中,i 表示虚数单位;σ∈Tl,σ~(t) =(xt+σ)mod( Tl)∈Tl,x=(x1, …,xl)∈Rl是固定向量,x1, … ,xl是有理独立的;a,b∈R;A是线性耦合算子,A=A1+A2+ …+AN,(A ju)k=2u(k1,k2,…,kN)-u(k1,…,kj-1,…,kN)-u(k1,…,kj+1,…,kN),j= 1,…,N;k=(k1,k2, …,kN)∈ℤN,λk> 0,u k,gk∈C,表示uk的模长,∈ R.W(t)是概率空间( Ω, F, P)上的双边实值维纳过程,其中Ω={ω∈C( R , RN):ω(0) =0}.F 是Ω 的紧开拓扑诱导的Borel-σ代数,P为F 上的维纳测度[1].对∀ω∈Ω,W(t,ω)=ω(t).u k◦W˙表示Stratonovich 意义下的随机项.

当系统(1)中k∈ℤN,即N= 1时,对于自治确定性系统(1)(gk(σ(t))=gk∈R,a=b= 0),Karachalios 等在文献[17]中证明了其全局吸引子的存在性,周盛凡等在文献[18]中进一步证明了其指数吸引子的存在性,Chen 等在文献[19]中得到了其带时滞项时全局吸引子的存在性.对于非自治确定性系统(1)(gk(σ(t))=g k(t)∈C,a=b= 0),周盛凡等在文献[20]中证明了其拉回指数吸引子和一致指数吸引子的存在性.对于自治随机系统(1)(gk(σ(t))=gk∈R,a∈R,b= 0),崔红珍等在文献[4]中证明了其随机吸引子的存在性.对于非自治随机系统(1)(gk(σ(t))=g k(t)∈C,a∈R,b= 0),江旭莹等在文献[13]中证明了其随机指数吸引子的存在性.对于非自治随机系统(1),Zhang 等在文献[15]中证明了其随机一致指数吸引子的存在性.当系统(1)中k∈ℤN(N≥2)时,对于自治确定性系统(1),Karachalios 等在文献[21]中证明了其全局吸引子的存在性.对于受到非线性噪声扰动的系统,Wang 等在文献[8]中证明了其弱拉回随机吸引子的存在性.对于 ℤN(N≥2)上系统(1)的随机一致指数吸引子未见任何研究.

本文结合文献[12]来证明系统(1)在 ℤN(N≥2)上存在随机一致指数吸引子,得到该吸引子的分形维数上界,该上界与N有关.

1 系统(1)的随机一致指数吸引子

系统(1)可以写成如下等价的向量形式:

为了方便,在下文中将Ω~ 记为Ω.

2)对任意ω∈Ω,

其中, Γ ()· 是Gamma 函数,E 表示期望.

对(1)中的kλ,gk,f,a作如下的假设:

其中,D是 ℓ2的随机有界集.

接下来证明连续余圈φ的D-随机一致指数吸引子的存在性.

2 一致吸收集

其中,

3 解在 ℓ 2中的尾估计

对任意ω∈Ω,令T*(ω)=T(ω,B0),记:

其中,π 是由φ和ϑ生成的斜积余圈.

其中γ1,I在下文中给出.

在[0,t] 上对(12)式应用Gronwall 不等式,结合(9)式,有:

4 随机一致指数吸引子

对任意ω∈Ω,s≥0 和e>0 ,记:

为得到φ的随机一致指数吸引子的存在性,需要证明π 存在随机指数吸引子.接下来验证π的Lipschitz 连续性.对任意r≥ 0,ω∈Ω,{σi}×∈B(θ-tω),i=1,2,令:

引理4 说明了π 在B 上的Lipschitz 连续性.

引理4 对任意r≥ 0,t≥ 0,ω∈Ω 和{σi}×∈B(θ-tω),i=1,2,存在随机变量C1(ω) ≥ 0,使得下面的不等式成立.

证明:在 ℓ2中对(18)式和y(r)取内积,可得:

由B 的性质1)―3),可得:

由(20)式―(24)式可知:

证毕.

引理5 对任意t≥ 0,ω∈Ω 和I( ≥ 1)∈ N,存在随机变量C2(ω),C3(ω) ≥ 0和投影Pl+(8I+1)N:Tl× ℓ2→ Tl×,使得对任意{σi}×∈B(θ-tω),i=1,2,有:

在 ℓ2中对(18)式和q取内积,有:

计算可得:

由(15)式和(17)式,对I( ≥ 1)∈N 有:

因此,对M≥2I,可得:

由(25)式、(27)式―(31)式,对M≥2I,有:

证毕.

根据(3)式―(4)式和(34)式,有:

证毕.

定理1 假设(A1)―(A4)、(34)式和(35)式成立,则{φ(t,ω,σ)}t≥0,ω∈Ω,σ∈Tl存在D-随机一致指数吸引子{M (ω)}ω∈Ω,并具有以下性质:

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