解决动态问题有方法
——从平行四边形的动点问题出发

2023-03-14 02:23静宁县第三中学
中学数学杂志 2023年4期
关键词:动点四边形线段

静宁县第三中学

赵芳宁

平行四边形中的动点问题是初中几何动态问题中的一类,在很多省市区中考压轴题的动态问题中是比较典型的代表[1].解决动态问题,可以从研究平行四边形的动点问题出发.这是本文中研究解决动点问题方法的基本思路.希望通过这样的研究,一方面对教师教学产生有利影响,另一方面对学生学习起到一定的促进作用.

1 平行四边形动点问题的解决思路

要想解决平行四边形中的动点问题,离不开平行四边形的性质和判定.纵观平行四边形的性质和判定,都与其边有莫大关系,所以解决思路主要集中于平行四边形的边.

由于动点问题中常会出现一个或两个甚至多个动点,因此随着这些点的不断运动,由点构成的图形形状和大小都会发生变化.故而,动点问题首先需要弄清楚点的运动情况,并且要学会用字母表示出线段的长度,或用字母表示出角的大小,然后利用平行四边形的性质建立方程并求解[2].

如此看来,平行四边形动点问题可通过以下四步解决:

(1)找两边相等.根据平行四边形的性质和判定,可知平行四边形的一组对边平行且相等.通常情况下平行是已知,因此只需找出相等的两边.

(2)写表达式.找出相等的两边后,结合动点的运动情况,写出这两边的表达式.

(3)分类讨论.一个点的运动情况比较简单,但两个或多个点的运动情况比较复杂,所以需进行分类讨论,且每种情况都应画出相应的图形.

(4)列方程求解.分类讨论后,根据线段相等列出方程并求解.当然,列出的方程一定要符合题意,对于不符题意的值则需舍弃.

2 例题解析

上述内容谈到,解决平行四边形动点问题的思路一共分为四步.为了让这一思路得以更直观地体现,从而帮助学生理解和掌握,现结合相关例题进行分析和说明.

图1

例1如图1,在四边形ABCD中,AD∥BC且AD=9cm,BC=6cm,点P,Q分别从点A,C同时出发,点P以1cm/s的速度由A向D运动,点Q以2cm/s的速度由C向B运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.问多长时间后线段PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形?

分析:根据平行四边形动点问题的解决思路,可作如下处理.

(1)找两边相等.由于讨论的是平行四边形,所以根据其性质找出相等线段.

(2)写代数式.根据P,Q两点的运动情况,设时间为ts后,用含t的代数式分别表示线段AP,BQ,PD,CQ的长.

图2

(3)分类讨论.根据点的运动可分为两种情况,即AP=BQ(如图1),PD=CQ(如图2).

(4)列方程求解.分类讨论后,每种情况列出相应的方程并求解.

解:设ts后线段PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形.

依题意可知,AP=t,BQ=6-2t,PD=9-t,CQ=2t.

①当AP=BQ时,t=6-2t,解得t=2.

②当PD=CQ时,9-t=2t,解得t=3.

综上所述,2s或3s后线段PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形.

图3

例2如图3,点F在ABCD的边AD上,连接BD,BF,已知AF=8cm,BF=12cm,∠FBD=∠CBD,E是BC的中点.若点P以1cm/s的速度从点A出发,沿AD向点F运动,点Q同时以2cm/s的速度从点C出发,沿CB向点B运动,点P运动到点F时停止运动,点Q也同时停止运动.当点P运动多久时,以点P,Q,E,F为顶点的四边形是平行四边形?

分析:根据平行四边形动点问题的解决思路,可从以下四步进行分析.

(1)找两边相等.平行四边形ABCD中AD和BC互相平行,那么只需找出相等线段,即可判断出以点P,Q,E,F为顶点的四边形是平行四边形.

(2)写代数式.根据P,Q两点的运动情况,设时间为ts后,用含t的代数式分别表示AP,PF,CQ,EQ的长.

(3)分类讨论.根据点的运动分为两种情况,如图4、图5所示.

图4

图5

(4)列方程求解.分类讨论后,对每种情况画出相应的图形并列方程求解.

解:设ts后线段PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形.

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD∥BC,AD=BC.

∴∠ADB=∠CBD.

又∵∠FBD=∠CBD,

∴∠FBD=∠ADB.

∴BF=DF.

∵AF=8cm,BF=12cm,

∴AD=BC=20cm,DF=BF=8cm.

∵E是BC的中点,

∴BE=EC=10cm.

∵以点P,Q,E,F为顶点的四边形是平行四边形,

∴PF=EQ.

设当点P运动ts时满足条件,根据题意分析有如下两种情况.

①如图4所示,PF=EQ,即8-t=10-2t,解得t=2,即当点P运动2s时,以点P,Q,E,F为顶点的四边形是平行四边形.

②如图5所示,PF=QE,即8-t=2t-10,解得t=6,即当点P运动6s时,以点P,Q,E,F为顶点的四边形是平行四边形.

综上所述,当点P运动2s秒或6s时,以点P,Q,E,F为顶点的四边形是平行四边形.

3 解决动点问题的注意要点

动点问题的类型有很多,虽然动点所处的几何图形不同,但解决这样的问题都遵循四个步骤,上面通过两道例题已经做出了较详细的说明.在解决动点问题时需注意以下几个要点.

首先,熟练掌握分类讨论思想,学会如何分类讨论.以上两道例题的动点运动状态虽不一样,但都存在一定的规律,学生在分析过程中只需深入挖掘这一规律,并在此基础上用含字母的式子表示出相应的线段.需说明的是,分类讨论时一定要根据情况画出相应的图形以帮助学生理解问题[3].如上述两个例题中,都画出了相应情况的图形,使得动点的运动状态非常直观,更有利于学生分析问题.

其次,牢固掌握相关图形的性质和判定及计算方法.包括平行四边形动点问题在内,所有的动态问题都需要掌握两个方面的内容,一方面是相关图形的性质和判定,另一方面是方程等的计算.学生只有掌握这些基础内容,才能更高效地解决初中几何中的动态问题[4].

综上所述,要想解决动态问题,不仅要牢固掌握基础知识,还应熟练运用一些解题思想与方法.所以,对初中生而言,只有不断强化知识和提升学习品质,才能为日后的数学能力提升奠定基础.

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