“真”之功能与说谎者悖论*

赵 震

（安徽大学哲学学院，合肥 230039）

“真” 这个概念在日常生活中的用法和含义有很多，“真”还有一些社会历史意义。 这里并不是在此意义上讨论“真”之功能，即不讨论“真”在实际生活中的功用。 这里讨论的是“真”这个词在逻辑-语言学（logico-linguistic）意义上的功能及其与说谎者悖论之间的关系。 通过区分“真”的两种功能并使之分别与“真”的两种用法匹配，既可以保留“真”的功能，又可以避免说谎者悖论之类的悖论，同时也没有削弱逻辑推理能力和语言表达力。 为了方便讨论，下文统一用“句子”当作真之载体（1）。

一、“真”理论与“真理”论

日常谈论的“真理论”这个词有两种不同的理解方式，一种是“真”理论，一种是“真理”论。 一个句子有两个“真”：一是“说”这个句子是“真的”，一是这个句子确实是“真的”。 两个“真”并不是一回事，前者“说”一个句子为真并不等于这个句子确实为真，而后者是明确给一个句子的赋值为真；前者是语形方面的言说，后者是语义层面的赋值。

为了方便讨论， 需要引入 “广义语义值”概念。 广义语义值是相对狭义语义值而言的，我们为某个特定的形式语言提供一个严格的形式语义赋值，根据该语义赋值，就可以确定该形式语言中每个句子的（狭义）语义值。 针对形式语言而作的严格赋值就是狭义语义值。 为了避免混淆，分别用“1”和“0”来表示狭义语义值为“真”或“假”。 “狭义语义值”概念可以推广到自然语言，得到一个不太严格的“广义语义值”概念。 自然语言，通常以某种全体“事物”或“事实”为定义域，然后根据某种理论或者方法确定自然语句的真值。 为了避免混淆，用“T”表示一个自然语言中语句的（广义）语义值为“真”，用“F”表示一个自然语言中语句的（广义）语义值为“假”。（2）

在形式语言中，通常不会给一个语义值为“1”的句子再赋值为“0”（3），反之亦然。 同样，在自然语言中，通常也不会给一个被断定为“T”的句子再赋值为“F”，反之亦然。 但是不论在形式语言还是自然语言中，都可以随便“说”一个句子是“真的”，而不管其语义值是“1”还是“0”，或是“T”还是“F”。 比如“乌鸦是黑的”和“乌鸦不是黑的”这两个句子，通常只能有一个句子的语义赋值为“T”，不可能两个句子的语义赋值都是“T”。如果“乌鸦是黑的”的语义值为“T”，通常不会再给“乌鸦是黑的”赋值“F”，“乌鸦不是黑的” 也类似。 但是可以随便说“‘乌鸦是黑的’是真的”和“‘乌鸦是黑的’不是真的”，也可以随便说“‘乌鸦不是黑的’是真的”和“‘乌鸦不是黑的’不是真的”，只不过这两组句子的语义值不能同时为“T”。关于如何确定自然语言语句的广义语义值是否为“T”的理论称作“真理”论，关于语形上“真”这个词的功能及其一致性使用的理论称作“真”理论。

传统上常见的一些实质真理论（substantial theory of truth），比如符合论、融贯论、实用主义真理论等都是关于“真理”的理论。它们讨论的是“真（理）的本质”，关心的是“真（理）是什么”，即如何找到或确定自然语言中语句的广义语义值是否为“T”。 比如，符合论认为一个真之载体是“真的”在于其与使真者相符合。（4）这里所说“真的”就是在“真理” 意义上说的自然语言语句的广义语义值为“T”。

“真”理论主要研究“真”这个词的功能及其一致性使用，这种一致性使用主要体现就是T-模式或其变形。 关于一致性的证明有证明论和模型论两类方法， 因此也可以从语形和语义两个角度讨论“真”的一致性使用。 公理化真理论主要是从语形方面讨论“真”的一致性；另外一些形式真理论，比如弗完备真理论、 弗协调真理论、 修正真理论等，虽然也讨论形式语言中狭义的语义模型赋值，但目的是从语义方面保证“真”这个词的一致性使用，因此也可以看作关于“真”这个词的理论，只不过是从语义方面保证“真”的一致性。

塔斯基的真理论是从传统的“真理”论到“真”理论研究的转折点，尤其是他提出的T-模式，被后来的“真”理论研究者奉为圭表。 所以，有人把这种转向称作“塔斯基转向”。 “塔斯基的理论根本上完全不同于所有之前的理论且完全不可比较……塔斯基是第一个提出完全精确说明的真理论的人，这个理论不同于之前的理论。”［1］15塔斯基关心的不再是“真是什么（或者真的本质是什么）”，相反他关心的是“真如何使用”“真如何发挥功能”以及“如何描述其功能”等。［1］15-16由于20 世纪哲学史上发生了著名的语言学转向，也有人把这种从“真理”论到“真”理论的研究转向称作“在真理论研究的基础上，发生了从本体论或认识论到语言学的转向”［2］。

“真”与“真理”当然是有关系的。 “真理”是对客观事物及其规律的正确认识，而“真”是一个词，是对“真理”（或真值）的一种言说。 虽然“说”一个句子为“真”时的动机可能是想说这个句子所表达的是对客观事物及其规律的某种正确认识， 但动机与实际所表达的并不一定完全一致：（1）动机本身并不可靠， 很多人说一个句子为真的动机可能并不是表达对客观事物及其规律的正确认识，他完全可能出于别的动机说一个句子为真，比如，有人可能为了欺骗或戏谑而故意说“‘雪是黑的’是真的”。 （2）即使说一个句子为“真”的动机确实是要表达对客观事物及其规律的正确认识， 但客观上所能表达的也不一定如此。 比如古代很多人都认为太阳围着地球转，因此当他们说“‘太阳围着地球转’是真的”时确实是认为“太阳围着地球转”是正确的认识，但事实上这并不是真的。 （3）还有人说一句话为“真”的时候并没有任何动机。 比如，一个不懂中文的外国人跟一个中国人学说了一句话“‘雪是白的’是真的”，但他并不懂这句话的意思是什么，只是鹦鹉学舌般说出了一串文字符号，没有任何动机。 如果是看动机的话，这几种情况下说一个句子是“真的”是什么意思呢？ 是想表达这些句子是对客观事物及其规律的正确认识吗？ 所以，从动机上讨论说一个句子为“真”并不客观。 正确的讨论方式不是看说一个句子为“真”时想要表达什么，而是看其实际上能够表达什么，即“真”这个词实际表现出来的功能。

二、“真”与T-模式

当“说”某个句子为“真”的时候，实际能表达什么功能呢？ 人们可以说任何一个句子是真的，比如可以说“‘雪是白的’是真的”，也可以说“‘雪是黑的’是真的”。 说这些句子是“真的”的并没有断定这些句子的语义值，但是，显然说一个句子是真的与这个句子的语义值有关系。 不论出于什么动机，也不论一个句子的语义值是“T”还是“F”，当说这个句子为“真”的时候，这个句子与这个句子为真具有相同的语义值。 比如，“雪是白的”的语义值为“T”，“‘雪是白的’是真的”的语义值也是“T”，因此，“雪是白的”与“‘雪是白的’是真的”具有相同的语义值。 对一个语义值为“F”的句子来说也一样，比如，“雪是黑的”语义值为“F”，“‘雪是黑的’是真的”的语义值也是“F”，因此，“雪是黑的”与“‘雪是黑的’是真的”也有相同的语义值。 也就是说，任给一个句子p，即使不知道其语义值，也可以知道，如果p的语义值为“T”，说“p是真的”这个句子的语义值也是“T”；如果p的语义值为“F”，说“p是真的”这个句子的语义值也是“F”。换句话说，任给一个句子p，p的语义值与“p是真的”的语义值始终相等，不论出于什么动机，也不论是否知道p的语义值，更不论如何断定p的语义值。 这对形式语言来说也适用。

因此，“说”一个句子为“真”，所表达的就是在语形中刻画其语义值。 对形式语言来说，“真”是在形式语言中刻画其狭义语义值；对自然语言来说，“真” 是在自然语言中刻画其广义语义值。 所以，“真”的第一个功能就是语义刻画功能。 所谓语义刻画，有弱刻画和强刻画之分：

一个一元谓词F 弱刻画一个语义值Δ，当且仅当：任给句子φ：F（“φ”）取值为1，当且仅当φ取值为Δ。 其中“φ”是句子φ的名字

一个一元谓词F 强刻画一种语义值Δ，当且仅当：任给句子φ：F（“φ”）取值为1，如果φ取值为Δ；否则，⊙（φ）取值为0。 其中“φ”是句子φ的名字

在二值情况下，弱刻画与强刻画是等价的。弱的语义刻画概念可以用塔斯基的T-模式来表达：

塔斯基的T-模式中， 右边的p是一个句子，左边的X是这个句子的名字。 有人认为塔斯基的T-模式表达的是符合论思想，但这显然是误解。塔斯基一再强调，T-模式表达的是当断定或否定一个句子p的时候，也断定或否定这个句子是真的。所以，T-模式是在“真”理论意义上讨论“真”这个词的使用，而不是在“真理”论意义上讨论如何确定一个句子的语义值是否为“T”。当然，严格来说，塔斯基讨论的是形式语言中的“真”，相对应的是形式语义中的语义值为“1”。 但是可以把塔斯基的T-模式推广到自然语言中， 在自然语言中说一个句子为真与这个句子具有相同的语义值。

根据“真”不可定义性定理，在不修改相关条件的情况下， 只要语言表达力和逻辑推理能力达到一定程度，表示语义刻画的“真”会导致悖论。 所以对“真”的一致性研究主要就是在避免悖论的基础上，尽可能多地保留T-模式或者其变体。

既然“真”的语义刻画功能表达的是说一个句子为真与这个句子本身等值， 而通常情况下等值可以相互置换，那么，通常“真”这个词出现的句子可以用不包含“真”这个词的句子置换。 比如可以用“雪是白的”置换“‘雪是白的’是真的”。 所以，有人据此认为这种功能的“真”是冗余的。

但是， 等值可置换并不意味着被置换一方是冗余的。 第一，这种置换只能在外延语境中适用，在内涵语境中并不能进行置换， 因此并非在所有情况下都可以等值置换。第二，这种观点只看到了句子之间的逻辑等值关系，而忽略了“真”作为一个语义刻画词的哲学意义。 使用“真”这个词，是在语言中“说”一个句子的语义值，而单纯地说一个句子并不能表达刻画语义值这种意思。 比如“p↔p”只简单的同一句，只需要有基本的逻辑思维就可以在两个p之间加上等值符号。 但“‘p’是真的↔p”并不是简单的同一句，需要对“真”这个词有所理解，需要知道“真”有语义刻画功能，然后才能在“‘p’是真的”和p之间加上等值符号。 第三，语言中有很多等值句， 但这并不意味着其中的任何一个是多余的，总有它们适用的场合，不能因为他们具有相同的语义值就认为任何一个句子是多余的。 第四，如果认为等值可置换就是冗余的，那么最后只能剩下两个句子，一个是语义值为“T”的句子p，一个是语义值为“F”的句子q，其他句子都因为或者语义值为“T”而与p等值，因而可被p置换；或者因为语义值为“F”而与q等值，因而可被q置换，从而所有其他句子都是冗余的，这显然是不能接受的。 说“真”是冗余的只是从两个句子等值的角度谈论的，但是，一个句子除了等值之外，还有其他意义和功能。 从公理化真理论的角度看，一些关于真谓词的真理论系统（比如CT、FSN 等）有非保守性， 即它们可以推出其基础理论（base theory）自身无法推出的基础理论中不含真谓词的定理。［4］106，161因而不能用不含真谓词的句子等值置换真谓词。 第五，有的情况只能使用带有真谓词的句子表达，而无法找到可与之等值置换的句子，因此在很多情况下“真”有其不可被替代的功能。

当然，对T-模式有不同的理解方式，比如真理紧缩论者认为，T-模式是一种不被定义的公理或原则［5］［6］。 它不是“真”的功能，但决定着“真”的功能。 但是，这里不把T-模式当作初始公理或原则，而认为它体现的是“真”的语义刻画功能。 之所以不像紧缩真理论者那样把T-模式当作初始公理或原则，理由如下：

第一， 如果把T-模式当作一个公理或原则，则很难说明为什么“真”有这样一个模式，以及这个模式表达了什么意思。 把“真”理解为语义刻画词并不是要去定义“真”，而只是去解释“真”的意思。 换句话说，这只是从内涵的角度解释关于“真”的T－模式表达了什么意思、为什么能实现这种意思（功能）。

第二，把T-模式当作公理或原则在一定条件下无法实现，否则会导致说谎者悖论等悖论。但是如果把它理解为一种功能， 则可以有不同的实现方式。 一种实现方式会导致问题不代表所有的实现方式都会导致问题， 可以通过不同的实现方式来实现语义刻画功能， 因而不用限制或修改这种功能， 而且不用改变或修改其他逻辑推理能力和语言表达能力。 所以，把T-模式理解为一种语义刻画功能有助于解决相关问题。

三、“真”与概括

“真”除了语义刻画这个功能之外，还有另一类功能：概括。 用“真”表示概括有几种不同的情况。

第一种情况是对无穷合取进行概括。 比如断定所有PA 定理，但是PA 定理有无穷多个，无法知道所有PA 定理都是什么； 即使知道所有这些PA 定理，也无法把它们分别都表达出来，因为这需要无穷多个句子； 日常语言以及通常的逻辑都无法表达无穷合取语句，但是可以用“所有PA 定理都是真的” 这个有穷长的句子来表达这种无穷多个句子的情况。

这种用有穷长语句表达无穷长语句的合取是如何实现的呢？ 一种观点认为有穷长语句是无穷长语句的缩写。［7］3形式的说， 如果把所有句子用p1，p2，p3……来表示，然后用φ（x）表示“x是PA 定理”，就可以用如下无穷合取句表达上述无穷多个句子：

这里的“”是句子“pi”的名字。 进而利用T-模式，任给i，都有pi↔T。 所以，上述无穷合取可等值置换为：

然后，可以用下面这个句子表达上述无穷合取：

即可认为这个有穷长的全称概括语句与上述无穷长语句是等价的。

但是把带真谓词的有穷长语句与无穷长（合取）语句之间这种“表达”关系理解为缩写关系，将面临如下几个问题：第一，一个语言中有穷长句子的基数小于该语言中无穷合取或析取句子的基数，因为（在不考虑等值的情况下）无穷长语句的基数等于该语言中有穷长句子的幂集的基数，因此无法用有穷长概括语句表达所有无穷长语句。［5］第二， 认为有穷长概括语句与无穷长语句是等价的，意味着二者能够互相推出。 但是在有些情况下二者却不能互相推出，比如在非标准模型下，由于ω-不一致性， 不能从表示每个对象都具有某种性质的无穷长语句推出所有对象都有某种性质的全称语句。 第三，用有穷长概括语句作为无穷长语句的缩写还会产生一些新问题， 比如无穷长语句不能（作为子公式）成为自身的一部分，而概括语句却可能（作为代入例）成为自身的一部分。 因此，用有穷长概括语句作为无穷长语句的缩写导致了原先无穷长语句不具有的某些新特性。［8］331

哈尔巴赫（Halbach）认为，用带真谓词的有穷长语句表达无穷合取的意思是二者能推出相同的不含真谓词的语句，即任给某个语言L中一个不含真谓词的句子φ，如果它能从该语言中某个无穷合取语句推出，则它也能从该语言中与该无穷长语句相对应的含有真谓词的有穷长语句推出，反之亦然。［4］57－62［5］但是这种观点也有一些问题， 比如它所涉及的后承只是不含真谓词的语句，而不涉及含有真谓词的语句，否则，一个包含真谓词的有穷长的语句也是其自身的后承，但是由于ω-不一致性，它不能从与其对应的无穷合取语句推出。［8］331

所以，不能把带有真谓词的有穷长语句与无穷合取语句的表达关系理解为等价关系，把二者的关系理解为能推出相同的不含真谓词的语句后承也有局限性。 有人认为，它们之间是概括关系，以上述无穷合取为例，每一个合取支都是如下形式：

利用T-模式可以把它等值置换为“φ（）→T”。 因为“”是句子的名字（即项）而不是句子，可以把“”用变项x代换，再对其概括就可以得到：

这种概括关系是全称概括语句与其代入例之间的关系，而不是无穷合取语句与其合取支之间的关系。［8］332

第二种情况是真谓词可以表达不确定的情况。比如有人想断定苏格拉底说的第一句话，但是无法知道他说的第一句话是哪句话， 要想直接表达就只能用如下方式：首先把所有句子用p1，p2，p3……来表示，用φ（x）表示“x是苏格拉底说的第一句话”，然后用下面的无穷析取语句表达：

这里的“”是句子pi的名字。 由于通常情况下无穷长语句不是合式公式， 所以要改用有穷长语句表达，因此可以用“苏格拉底说的第一句话是真的” 这句话来表达对苏格拉底说的第一句话的断定。 有人把“真”的这种功能叫做盲目归属（blind ascription）。［9］与前一种情况类似，不能把这句话当作对无穷析取的缩写， 而应理解为对个别语句的概括。 每一个析取支都是如下形式：

利用T-模式（任给i，pi↔T）对上式进行等值置换可得：

因为“”是项，可以用变项x代换，再对其进行存在概括就可以得到：

所以， 真谓词的盲目归属功能也可以看作概括功能。

还有人认为“真” 的另一种功能是盲目演绎（blind deduction）。 比如考虑下面这个有效论证：

艾米说的都是真的。 艾米否定了贝丝的主张（即， 艾米的一个主张是否定贝丝的主张）。 凯西认为黛比的主张蕴涵着贝丝的主张。贝丝、凯西和黛比每个人都恰好只说了一句话。 因此，如果凯西的主张是真的，那么黛比的主张就不是真的。［10］

这个例子只使用逻辑推理就可以给出最后一个句子的演绎论证，而无需具体表达这些句子是什么。 这种演绎推理就是所谓的盲目演绎，有效的盲目演绎称作盲目论证（blind argument）。［10］换句话说，盲目论证是包含盲目归属的论证，而不需要精确刻画它们是什么。［10］

盲目演绎其实也可以理解为多个盲目归属之间的关系，因为上述例子中包含“真”的句子都可以用无穷合取句或无穷析取句来表达， 也可以用前面提到的方式对其概括。因此，也可以把这种演绎或论证理解为“真”的概括功能。

蒯因也讨论过类似的问题：“我们不需要谈论句子的真就可以对‘汤姆是有死的’‘迪克是有死的’ 等进行概括， 我们可以说‘所有人都是有死的’。 我们同样可以对‘汤姆是汤姆’，‘迪克是迪克’，‘0 是0’等进行概括，得到‘所有事物都是其自身’。 但是当我们想要对‘汤姆是有死的或者汤姆不是有死的’‘雪是白的或雪不是白的’ 等进行概括时，我们上升到谈论句子和真，说‘每一个“形如p或非p”的句子都是真的’。”［11］11那么，这种概括是如何实现的呢？ 以下面这个句子为例：

雪是白的或者雪不是白的

从这个句子如何得到：

每一个“形如p或非p”的句子都是真的

概括这个句子最简单的方式是直接概括“雪是白的”，得到

任给一个X，X或者并非X（5）

但是这种对句子的直接概括是二阶逻辑的处理方式，而二阶逻辑有很多问题，因而通常在一阶逻辑中讨论问题。 实现概括的方法是借助“真”，通过T-模式先对“雪是白的”这个句子进行语义上升（semantic ascent），得到下面这个句子：

“雪是白的”是真的

这时“‘雪是白的’”就是“雪是白的”这个句子的名字，即它变成一个项而不再是句子。然后用一阶变项x来代替这个句子，得到下面的开语句：

x是真的或者x不是真的

再通过全称概括得到：

任给一个x，x是真的或者并非x是真的

这个句子恰好表达了“每一个‘形如p或非p’的句子都是真的”。有人把“真”的这种功能叫做“模拟语句量化”（mimicking sentential quantification）［8］333，但其实这也是利用“真”进行的概括。

受此影响，有人认为“真”不仅可以模拟语句量化，还可以模拟谓词量化（mimic quantification into predicate position），即“真”可以实现对谓词的概括。 考虑下面的句子：

汤姆是有死的

一阶逻辑无法实现对这个句子中的谓词进行概括。通常情况下要想概括谓词需要用到二阶逻辑，将其表示为：存在一个X，汤姆具有X这种性质（即∃X X（汤姆））。 但是借助“真”可以在一阶逻辑中对其概括，根据T-模式，“汤姆是有死的” 等价于“‘汤姆是有死的’是真的”。因为“汤姆是有死的”是由主语“汤姆”和谓语“是有死的”结合而成的，因此，“汤姆是有死的”就等价于下面的句子：

“汤姆”与“是有死的”的结合是真的

这里的“‘是有死的’”是被提到而不是被用到，因此是一个项。进而可以用变项x替换，然后用量词概括得到：

存在一个x，使得“汤姆”与之的结合是真的这个句子就是上面二阶逻辑所表达的意思 “存在一个X， 汤姆具有X这种性质 （∃X X（汤姆））”［8］333-334。 当然，与前面的讨论类似，这也是利用“真”的概括功能。

四、“真”与说谎者悖论

在一定的逻辑推理能力和语言表达能力条件下，“真” 作为语义刻画词的一致性使用会导致说谎者悖论及相关悖论。 以最经典的说谎者悖论为例，考虑下面这个说谎者语句L：

L导致悖论的推理过程如下：首先假设“L”，由T-模式可得“‘L’是真的”；但是“L”就是“L是不真的”的缩写，矛盾。 假设“并非L”，因为“L”就是“L是不真的”的缩写，替换可得“并非L是不真的”，即“L是真的”；根据T-模式，代入“并非L”可得“并非L是真的”，矛盾。

类似的推理还可以推广到其他一些与“真”这个词的使用相关的语义悖论，比如卡片悖论、库里悖论、雅布罗悖论等。说谎者悖论的构造步骤或者与语言构造（即语言表达力）有关，或者与逻辑推理相关，或者与“真”的语义刻画功能（表现为T-模式）有关。对说谎者悖论及其相关悖论有很多种理解和处理方式，这里不讨论它们之间的优劣。但是， 如果一种处理方案能够同时保留语言表达力和经典逻辑的推理能力， 同时还能保留和实现“真”的主要功能，那么这个方案应该是一种不错的方案。 是否有这样一种能不错地处理说谎者悖论及相关悖论的方案呢？

为了更好地说明这个问题， 先要讨论一下“真”之功能的实现方式问题。上文提到，“真”主要有两类功能，一是语义刻画，一是概括。 那么“真”的这两个主要功能是如何实现的呢？ 传统的“真”理论认为这都是真谓词的功能， 也就是通过真谓词来实现的， 比如T-模式是用真谓词表达的模式，概括是真谓词实现的概括。 但是，在日常语言中“真”这个词有谓词用法也有算子用法，比如，英语中有“‘Snow is white’ is true”和“It is true that snow is white”（6）。 前者中的“is true”是谓词用法，因为从语法上说， 其前面主语部分是作为主语的项；后者中的“It is true that”是算子用法，因为从语法上说，其后面跟的是句子（that 从句）。 一般情况下，“真”的谓词用法与算子用法可以等价转换，比如 “It is true that snow is white” 与 “‘Snow is white’ is true”这两个句子可以等价转换。 但在有些情况下，这两种用法并不等价，一种用法不可归约为另一种用法。（7）

首先， 不是所有谓词用法都可以归约为算子用法，比如“Every PA theorem is true”这个句子无法等价转换为算子用法 “It is true that every PA theorem”，因为作为算子的“It is true that”后面跟的是句子而不是短语。

其次， 通常认为所有真算子用法都可以归约为真谓词用法，但其实并非如此。利用上面提到的说谎者语句（1），可以构造下面的句子：

如果认为真算子用法都可以归约为真谓词用法，则下面的句子与（2）等价：

但是，因为L是“‘L’ is not true”的缩写，对（2）和（3）分别做同一代入之后可得：

和

（5）与（1）形式上是矛盾的。但是，在不预设真谓词等价于真算子的情况下，（4）与（1）在形式上并不矛盾（因为（4）中是真算子，而（1）中是真谓词）。在二值逻辑下，（5）与（1）不可能取相同值，但是（4）与（1）却有可能取相同值。 因此，真算子并不能归约为真谓词，至少这是可能的。 因而，真算子与真谓词不可互相归约。

通常把“真”之功能都理解为真谓词的功能。但是，如前所述，“真”有两种语法形式，为什么要把真谓词当作“真”的两种功能的实现方式呢？ 既然真谓词与真算子不能相互归约， 真谓词的语义刻画功能又可以导致悖论， 那么是否可以通过让“真”的两种功能与“真”的两种语法形式分别对应，即用“真”的算子用法来承担语义刻画功能、用“真”的谓词用法来承担概括功能，以此来处理说谎者悖论及相关悖论呢？

为了讨论方便，用To表示真算子，用Tp表示真谓词。 作为语义刻画词，用真算子的To模式替代真谓词的Tp-模式（即塔斯基的T-模式）来表达语义刻画功能。 算子意义上的语义刻画可以定义如下：

一个一元逻辑算子⊙弱刻画一个语义值Δ，当且仅当： 任给句子φ：φ取值为1， 当且仅当⊙（φ）取值为1

一个一元逻辑算子⊙强刻画一种语义值Δ，当且仅当：任给句子φ：⊙（φ）取值为1，如果φ取值为1；否则，⊙（φ）取值为0

易见在二值情况下，弱刻画与强刻画是等价的。由此，真算子的语义刻画功能可以表达如下：

这里的φ是句子本身而不是句子的名字。 用算子表达语义刻画功能可以实现对任意句子的语义刻画，即任给一个句子φ，φ的语义值与To（φ）的语义值相同。

在通常条件下，（To）模式不会导致悖论，因为在经典逻辑中，（To）中的真算子等价于双重否定。如果（To）模式可以导致悖论，那么经典逻辑中双重否定也可以导致悖论， 但是经典逻辑是一致的，所以（To）模式不会导致悖论。

另外，“真”的谓词用法被保留了，因此真谓词的表达力也得以保留， 说谎者语句依然可以构造出来。 那么，“真”的语法概括功能可以实现吗？ 前面提到对句子的概括需要用到谓词意义上的Tp-模式，现在把这个模式变成了算子意义上的模式，是否还可以进行语法概括呢？ 这里需要一个导出模式：

易见，只需假设等值传递规则，（Top）就可以从（To）推出。 （Top）表达的是，真谓词语句与真算子语句的等价是谓词意义上的（Tp）模式成立的充分必要条件。 有了（Top）模式就可以实现对句子的概括，以下面的概括句为例：

每一个“形如p或非p”的句子都是真的

如何才能得到这个句子呢？首先有“雪是白的或雪不是白的”，令φ表示“雪是白的”，因为To（φ）等价于Tp（<φ>）（即对于“雪是白的”这个句子来说，真谓词与真算子是等价的），所以可以使用谓词意义上的（Tp）模式，进而可以先对“雪是白的”这个句子进行语义上升，得到“‘雪是白的’是真的”。这里的“‘雪是白的’”是一个项，进而可以用变项x代换“‘雪是白的’”这个项，得到“x是真的或者并非x是真的”，然后对其量化概括得到：

任给一个x，x是真的或者并非x是真的

而这个句子表达的恰好就是“每一个‘形如p或非p’的句子都是真的”。

所以，从“真”之功能的角度来理解“真”会发现，“真”有两种主要功能，恰好“真”也有两种不同的语法形式，完全可以把“真”的两种功能拆分开并分别与“真”的两种语法形式匹配。 这样既可以保留和实现“真”的功能，还可以避免说谎者悖论及相关悖论， 同时还没有修改逻辑推理能力和语言表达能力。 一种同时包含真算子与真谓词的“混合”真理论是理解“真”以及解决说谎者悖论及相关悖论的不错方案。（8）

五、结 语

语义刻画功能是“真”的首要功能，语法概括功能是“真”的另一个功能。 一种关于“真”的理论必须在某种意义上能够实现“真”的这两种功能。常见的一些“真”理论往往无法使“真”的两种功能（尤其是其语义刻画功能）与语言的表达力和经典逻辑的推理能力同时成立， 否则会导致说谎者悖论之类的悖论。 但是，“真”在日常语言中有谓词和算子两种不可相互归约的语法形式。 可以区分“真”的两种用法，并使它们分别对应“真”的两种功能，即用真算子来实现语义刻画功能、用真谓词来实现语法概括功能， 这样既可以保留和实现“真”的两种主要功能，同时还可以在不修改逻辑推理能力和语言表达能力的前提下避免说谎者悖论之类悖论的产生。