基于稀疏表示的滤波反投影超声层析成像重建算法

罗开，陈 亮，梁 巍，陈勇强

（电子科技大学 机械与电气工程学院，成都 611731）

0 引言

随着现代科学技术的快速发展，以碳纤维复合材料为代表的一系列复合材料由于高比强度、高比刚度、耐高温、化学稳定性好、比重量小等特点在航天航空、机械制造等各个领域应用广泛［1-4］。然而，由于制造工艺复杂、工作环境严苛以及工况多变等因素，碳纤维复合材料易出现孔隙、夹杂、裂纹、疏松、分层等诸多不易识别的损伤类型，其中分层是最主要的缺陷损伤类型，给航天航空装备的性能和结构的完整性以及可靠性带来巨大的安全隐患［5］，因此复合材料试件质量的可靠性与安全性分析十分重要。航天航空装备日益大型化、复杂化，对结构的健康监测、损伤的敏感性与准确性、可视化损伤等方面的要求越来越高。传统的线性Lamb 波无损检测虽然在复合材料损伤的诊断、定位、成像、评估等方面取得了一定的进展［6-10］，但对缺陷位置和形状的检测与识别往往难以满足要求；并且传统的线性Lamb 波无损检测技术往往难以直观地以图像的形式描绘缺陷的实际大小与形状。

电子计算机断层扫描（Computed Tomography，CT）是一种非接触无损检测技术，具有精确度高、重建图像分辨率高、可直接进行数字化处理等诸多优点。CT 技术与Lamb 波无损检测技术的结合可对缺陷进行可视化研究。Wright等［11］结合平行投影方式的断层扫描与Lamb 波检测以实现对微小缺陷的检测与重建成像。Leonard等［12］将超声CT 技术运用于检测板状材料的缺陷与成像。Sugino等［13］使用数值模拟和实验的方法研究了Lamb 波在人体骨骼中传播的规律，并使用扫描激光多普勒振动法测量脱气颅骨中传播的Lamb波，从而得到颅骨相关的诊断和CT 成像数据。对Lamb 波在板状材料中的传播使用有限元进行数值模拟的方法由于出色的性能和能获得与实验相同的结论而被广泛应用。Huo等［14］基于贝叶斯融合算法对复合材料进行损伤识别与定位，并使用有限元数值模拟和实验的方法进行研究，相较于传统的概率重建算法，对缺陷的定位误差由3～240 mm 减小到0～23 mm。Bingham等［10］结合Lamb 波断层扫描技术与有限元仿真，以实现在结构更复杂的飞机纵梁中的腐蚀变薄检测，并对有限元方法结合Lamb 波断层扫描技术进行了实验验证。Zhao等［15］通过对板状缺陷进行数值分析和有限元仿真建模，使用非线性超声Lamb 波断层扫描来检测中早期材料降解情况，拓展了有限元方法的应用范围。Zielińska等［16］提出结合断层扫描的光线追踪方法对钢板进行无损检测，并使用有限元方法进行数值模拟，相较于传统的断层扫描技术，将5 cm 的缺陷误差系数值由11.17%减小到了3.85%。然而，上述方法对复合材料分层缺陷的可视化和精准缺陷定位仍有不足，难以获得高质量的缺陷图像。

图像的超分辨率是当前非常热门的研究领域，它能够克服一些低分辨率传感器因为数据不全、采样率不够等原因导致生成图像分辨率较低的困难。Freeman等［17］提出一种基于实例的学习策略，可用于一般图像，并引入置信度传播（Belief Propagation，BP）算法以求解马尔可夫随机场中节点的概率分布。Sun等［18］使用原始图像作为先验知识扩展了BP 算法，并对图像的边、角进行增强，从而使图像边缘的还原更加精确。Chang等［19］采用局部线性嵌入原理，将低分辨率的部分几何图像映射到高分辨率空间，以生成高分辨率图像。

但是上述研究需要数百万个高分辨率和低分辨率的数据库，因此计算速度很慢。Yang等［20］通过联合训练低分辨率和高分辨率图像块的字典，以增强低分辨率和高分辨率图像块之间稀疏表示的相似性。当图像还原时可以同时采用低分辨率图像的稀疏表示和高分辨率图像的字典，以生成高分辨率图像，相比之前仅对高分辨率图像进行采样，计算成本大幅降低。并且相较于传统算法需要对同类高分辨率图像进行训练，该方法可以使用一般的高分辨率图像进行训练，大幅缓解了高分辨率超声图像获取困难的问题。但在复合材料的超声无损检测领域，由于传统算法仅通过分析波形来判断缺陷的位置，难以获得精确且质量较高的重建图像，并且传统超声探头因结构限制，往往所成图像的像素较低，因此上述图像的超分辨率算法往往难以用于传统复合材料的超声无损检测领域。

针对上述问题，本文提出一种基于稀疏表示的滤波反投影（Filtered Back-Projection，FBP）超声层析成像重建算法，相较于传统的超声Lamb 波检测方法，能够直观且准确地对复合材料的分层缺陷进行图像重建，并且成像质量相较于传统的计算机层析成像更高。同时，本文对高、低分辨率块进行联合训练，以提高与真实字典稀疏表示的相似性。不需要对信号或重建图像进行先验处理，只需要对大量类似的高分辨率图像块进行采样，相较于传统稀疏方式需要先验处理具有显著优势，且成像质量更高。

本文首先使用Abaqus 有限元仿真软件对复合材料缺陷板进行数值模拟仿真；然后将仿真得到的复合材料板的走时数据代入Matlab 软件中进行复合材料分层缺陷的FBP 重建成像和图像的稀疏超分辨率处理；最后将得到的稀疏重建的图像与双三次样条插值和线性插值［20］放大后的图像进行对比分析。研究发现本文方法能获得准确且完整的缺陷位置和形状特征，并且能够提高所成图像的分辨率。

1 模型架构

本文针对碳纤维复合材料板的分层缺陷进行研究与分析，使用Lamb 波的A0 模态对复合材料缺陷板进行探伤，并提取缺陷板的走时数据作为后续重建图像的投影数据。基于稀疏表示的超声FBP 层析成像算法，先对投影数据进行滤波处理，再对原始图像进行恢复，能够有效地修正传统直接反投影滤波进行成像的方法产生较多的伪影以及无法准确定位边缘的问题。为了提高传统FBP 的成像质量，给定单一低分辨率缺陷重建图像X，通过稀疏算法恢复成高分辨率图像Y，建立两个稀疏约束模型：1）重建约束模型，以保证使用稀疏恢复后的图像Y与输入的观测图像X像素点保持一致；2）稀疏先验模型，假设高分辨率的图像块在建立的完备字典中可以稀疏表示，并且进行稀疏表示后的高分辨率图像块能够从低分辨率的观测中恢复。

1.1 超声FBP重建算法模型

Randon 变换是一种积分变换函数，将定义在二维平面的函数f(x，y)沿平面上给定的直线作线积分：

其中：xcosθ+ysinθ=s表示一条距离原点距离为s的直线；θ为投影角；(θ，sk)是投影平面上投影点的极坐标。

FBP 算法已被证明计算时间较短、图像重建的质量较高。FBP 对Randon 变换进行不同角度的反投影再通过求和以重建图像。由傅里叶中心切片定理，密度函数f(x，y)在某方向上的投影函数R(s，α)的一维傅里叶变换，是f(x，y)的二维傅里叶变换F(kx，ky)在(s，α)平面上沿同一方向过原点直线上的值。如果其他投影假设为0，并且傅里叶变换的值被适当地插入到二维傅里叶域中，则可以执行简单的重建。

传统的FBP 算法难以与超声Lamb 波无损检测技术相结合，是因为FBP 往往选用能量作为投影数据，而对Lamb 波传播时能量的提取往往很困难。本文采用的超声FBP 重建算法［21-24］是一种将超声探头等距离等角度分布在试件表面进行测量的投影算法。在投影重建过程中，首先将超声传感器获得的走时数据作为投影数据进行一维傅里叶变换；通过卷积处理滤波，从而得到各个方向的投影数据；最后将滤波后的投影数据进行反投影，即按原路径均匀分布在各矩阵元素上，将所有反投影进行重复叠加得到重建后的投影图像。

如图1 所示，超声探头到原点的距离为D，γ是相邻探头与点源连线的夹角，βi是第i号传感器的投影角度，L(x，y，βi)是点源到探测器的距离，探头收到的投影数据是si(nγ)，N是探测器的个数，对每个投影数据进行加权和卷积滤波的结果记为Si(nγ)，对Si(nγ)进行插值后得到Si(γ′)，重建后的投影图像记为f(x，y)，结果如下：

为了提高重建图像的质量并减少成像的伪影，可以进行插值或者重采样以增加所需的像素点数，因此本文选择使用三次样条插值。使用三次样条插值可以尽可能地保证图像的平滑和连续性［14］，三次样条插值的公式可以写成：

1.2 超声稀疏约束模型

1）重建约束模型。

高分辨率图像X通过模糊降采样得到低分辨率图像Y，计算公式如下：

其中：H表示模糊滤波器；S表示降采样结构算子。超分辨率的求解非常不适定，对于给定的低分辨率输入Y，有无限多的高分辨率图像X满足上述重建约束。考虑到一般高分辨率图像直接进行计算的数据量较大，因此需要把图像X切割成若干小块，对图像块xh进行先验和稀疏处理来恢复丢失的高分辨率信息，以获得局部细节。最后将所获取的图像的局部细节应用于重建约束中的全局模型，去除出现的伪影，使重建后的图像更加自然。

2）稀疏先验模型。

高分辨率图像块xh可以在适当选择的完备字典Dh中稀疏表示，并且它们的稀疏表示形式可以从低分辨率的观测中恢复：

其中，K是矩阵R的维数。

将低分辨率字典Dl与高分辨率完备字典Dh进行联合训练，稀疏表示α将输入图像Y的图像块yl进行重建恢复。

对于一般图像的超分辨率问题，Yang等［20］提出了一种基于稀疏性的通用图像超分辨率算法。为了减少Dl和Dh字典的计算量，训练它们对每一个低分辨率和高分辨率图像块都具有相同的稀疏表示。在对图像进行超分辨率的恢复过程中，每个高分辨率图像块的像素强度由它的低分辨率块的像素强度预测。对于每个低分辨率块yl，寻找它唯一的关于Dl的稀疏表示形式并加入Dh中生成最终的完备字典，输出高分辨率块xh。寻找yl的最稀疏形式计算公式如下：

其中：F是稀疏算法的线性特征提取算子，主要作用是为系数α接近yl的程度提供约束性限制。虽然重建约束的优化问题是非确定性多项式的难题（Nondeterministic Polynomial hard，NP-hard），但只要α足够稀疏仍可以通过ℓ1代替ℓ0作稀疏约束，易于优化求解，故求解形式可改写成：

拉格朗日乘数法提供等效公式：

式（9）中，为了控制解的稀疏性和yl的保真度引入了参数λ。为了进一步减少计算量，并保证相邻像素块之间的稀疏兼容性，使用Onepass 算法［20］强化像素块之间的兼容性。考虑到重建后的Dhα与相邻高分辨率兼容性一致，增加了新的约束条件：

其中：P矩阵为当前目标块与最初的高分辨率图像的重叠区域；ω包含了之前重建的高分辨率图像的值。由拉格朗日乘数法可得：

稀疏重建算法的伪代码如下所示：

输入 训练字典Dl和Dh，低分辨率的原始图像Y；

输出 高分辨率重建图像X*。

1）取Y的每个3× 3 小像素块yl，并从左上角开始保证每个方向上有一个像素点重叠；

2）计算每个yl的平均像素强度m；

3）求解式（10）～（12），得到解α*；

4）生成高分辨率图像块xh=Dhα*，将重建后的高分辨率块xh=xh+m放入高分辨率图像X0中；

5）使用梯度下降法，找到最接近X0且满足重建约束的图像

2 有限元方法的设置

本文采用有限元方法对复合材料层合板中A0 模态的Lamb 波进行了数值分析。所有实验均在Intel Core i7-8750H CPU @2.2 GHz 处理器、16 GB 内存的个人计算机上通过Abaqus/Explicit 6.12 有限元软件和Matlab R2018 软件实现。对14 层碳纤维复合材料不同位置分层缺陷与A0 模态Lamb波的传播之间的相互作用进行了三维有限元模拟仿真。选取一种准各向同性的碳纤维复合材料板T300/5208 进行实验，碳纤维复合板材采用平纹编织，并采用交替分层的方法铺层，如图2 所示。T300/5208 的材料属性如表1 所示。

图2 碳纤维板的铺层示意图Fig.2 Layering diagram of carbon fiber board

表1 复合材料T300/5208的材料属性Tab.1 Material properties of composite material T300/5208

为了获得准确的超声数据，建立了4 个直径为R=160 mm 的碳纤维复合材料圆板。考虑到边界会对超声信号产生反射、折射、模态杂糅等影响，本文设置实际检测区域为以圆板中心为圆心、半径R=400 mm 的区域，其余区域为保护区。使用基于扇扫的成像方法，在R=40 mm 的实际检测区等角度布置了32 个压电陶瓷传感器。当其中一个发射超声波信号时，另外31 个接收。分层损伤模型采用体积分割的方法［18］建立，损伤表面的有限元节点间隔为0.1 mm，在复合材料板的第7 层和第8 层之间设置分层模型。缺陷的直径为5.6 mm，分别位于4 块板的不同位置，实际检测区与缺陷位置的布置图如图3 所示。实验模型具体的参数如表2 所示。

图3 分层缺陷布置图（R=40 mm，圆心坐标（45.0，45.0））Fig.3 Diagram of delamination defect layout（R=40 mm，coordinate of center（45.0，45.0））

表2 模型参数Tab.2 Model parameters

数值研究中使用的Lamb 波的激励信号由200 kHz 的正弦波经过5 周期汉宁窗加窗调制而成，激励信号通过作用于传感器所在位置对应的有限元节点的面外力而引入有限元模型，激励信号可以表示为：

3 实验与结果分析

利用本文提出的基于扇扫技术的FBP 算法提取有限元模拟得到的走时数据并滤波。走时数据为激励信号与损伤信号的第1 个峰值的时间差，作为FBP 算法中的投影值代入Matlab 中进行图像的重建，得到了如图4 所示的复合材料的四种分层缺陷重建图，四幅图像的分辨率均为80× 80。可以看出，FBP 所成的分层缺陷图像较为清晰和直观，分层缺陷的位置与图3 有限元仿真中所设置的位置基本一致。

图4 基于FBP的分层缺陷重建图Fig.4 Reconstruction images of delamination defects based on FBP

为了验证稀疏超分辨率算法的一般性，对互联网上随机抽取的100 000 个图像块进行训练得到高、低分辨率图像块的两个字典，并且将稀疏字典的大小固定为2 048 以保证计算速度和图像质量之间的平衡。将图4 所示的四张复合材料分层缺陷图代入训练好的稀疏图像超分辨率算法中进行采样重建，得到了如图5 所示的基于稀疏超分辨率的复合材料的四种分层缺陷图。

图5 基于本文算法的分层缺陷重建图Fig.5 Reconstruction images of delamination defects based on proposed algorithm

为了验证本文算法的有效性与可靠性并进一步评估稀疏算法对图像质量的提升效果，使用线性插值算法对图像进行抽样，将重建得到4 张图像由80× 80 的分辨率降低到40× 40。将本文算法与在图像处理里经常用于锐化、放大图像和对稀疏重建成像效果进行对比分析的线性插值、双三次样条插值［20］对降像素后的重建图像还原到80× 80 进行比较。

选取峰值信噪比（Peak Signal-to-Noise Ratio，PSNR）、结构相似度（Structural SIMilarity，SSIM）、边缘结构相似度（Edge Structural SIMilarity，ESSIM）作为评价指标。

PSNR 是超分辨率重建的重要指标，表示信号的最大可能功率与影响它的表示精度的破坏性噪声功率的比值，用于衡量经过处理后的图像品质，PSNR 越大代表图像质量越好。PSNR 可以由以下公式计算：

其中：图像的尺寸是m×n；I1(i，j)和I2(i，j)分别代表两幅图像的(i，j)点上的像素强度。

SSIM 是基于结构信息退化［25］的质量评估的替代补充框架，用于评价两幅图像结构上的相似和失真程度。相较于PSNR，SSIM 考虑的要素更多，也更符合人眼对图像的直观感受。SSIM 越高图像质量越好。SSIM 表示如下：

SSIM 主要考虑三个关键因素：亮度对比算子l(i，j)、差异对比算子c(i，j)、结构比较算子s(i，j)，如式（17）～（19）所示。

其中：μf和μg分别是原始图像和滤波后图像的平均像素等级；C1是为了避免分母为0 引起系统误差而引入的小常数。

其中：σf和σg分别是原始图像和滤波后图像的对比标准差；C2是为了避免分母为0 引起系统误差而引入的小常数；f和g为原始图像和滤波后图像的平均像素。

其中：σfg表示f与g的协方差；C3=C2/2 是为了避免分母为0引起系统误差而引入的小常数。

通过对图像边缘特征的研究，在考虑各向异性规则性和不规则性的边缘强度的同时，基于SSIM 的结构性参数特征定义ESSIM［26］，如下所示：

其中：E(f，i)和E(g，i)分别是原始图像和滤波后图像的边缘强度；C4是为避免分母为0 而引起系统误差的一个小常数。

相较于传统对图像结构的相似程度进行比较的评价指标SSIM，ESSIM 则更加关注图像的边缘信息以及还原情况的差异。复合材料的缺陷检测主要观测缺陷的大小、形状和在板上的位置信息，而ESSIM 关注两幅图像的边缘强度及边缘准确度的差异，因此很适用于考察缺陷边缘性差异的影响以及准确度。相较于SSIM，ESSIM 能精确地评价复合材料分层缺陷的边缘信息与它的还原情况。ESSIM 越大，说明两幅图像的边缘信息越相似，还原的效果越好。

表3 是对图5 的复合材料板缺陷重建的原始图降低分辨率到40× 40 再使用线性插值、双三次样条插值以及本文算法对降像素后的重建图像还原到80× 80 后进行三种评价指标的比较，性能最优的结果加粗表示。可以看出，本文的稀疏超分辨率算法对4 幅缺陷图像重建还原的质量最优，3 项指标均取得最优。对于复合材料板分层缺陷的超声重建图像，最关心的就是边缘和位置信息。在本文算法与线性插值和双三次样条插值对超声图像边缘特征的ESSIM 比较中，使用本文算法对超声图像边缘信息的还原质量明显优于传统的线性插值和双三次样条插值算法。

表3 三种不同算法对缺陷图像进行还原的质量的评价指标对比Tab.3 Comparison of evaluation indexes of defect image restoration quality among three algorithms

采用四幅图的评价指标的均值以衡量总体的图像质量。相较于使用线性插值的算法重建的图像，本文算法重建图像的PSNR、SSIM 和ESSIM 分别提高9.22%、2.90%与80.77%；相较于双三次样条插值算法重建的图像，本文算法重建图像的PSNR、SSIM、ESSIM 分别提高4.75%、1.52%与16.5%。

因此本文算法能对复合材料板分层缺陷之后的图像进行优化，相较于传统的线性插值和双三次样条插值法取得了明显的优势，尤其是对图像边缘的还原上，表明本文算法能够有效地应用于超声无损检测的成像上；并且本文算法对四幅复合材料分层缺陷的重建的图像中的缺陷大小和位置与有限元仿真设定的值基本一致，且缺陷轮廓也与设定一致。复合材料分层缺陷的成像图的伪影较少，成像质量较高，表明使用基于稀疏表示的超声FBP 层析成像算法能够很好地处理复合材料板分层缺陷重建困难的问题。

4 结语

针对目前复合材料分层缺陷检测可视化困难以及难以得到质量较高的分层缺陷图像的问题，本文提出一种基于稀疏表示的超声FBP 层析成像算法，使用高、低分辨图像块字典联合训练，以强化高、低分辨率块与真实图像块之间的稀疏相似性，并使用低分辨率块预测重建后的高分辨率块的像素强度以保证整体图像的像素强度不改变。使用有限元仿真获取超声Lamb 波复合材料板分层缺陷的走时信息，并使用超声FBP 对复合材料分层缺陷进行图像重建。将本文算法与其他两种插值算法进行对比。实验结果表明，本文算法的PSNR、SSIM、ESSIM 均取得最优结果，表明本文算法能够得到较为精准的复合材料分层缺陷图，并且成像质量相较于传统的成像算法有一定提高。然而，本文并未对复合材料分层缺陷大小和面积进行定量研究，因此，今后将进一步研究以上问题，对复合材料分层缺陷进行更细致的量化。