量子计量学理论背景

丁 国,郭 胜,朱敬华,邓鹏波

(西安航天计量测试研究所,西安 710100)

1 引言

测量是将一个量的测量状态Ax和它的参考状态Aref进行比较。因此,测量精度比标准精度低。

多年来,计量学家一直致力于研究仅依赖于基本物理常数和原子常数的标准。有了这样的标准,就可以在量子现象的基础上实现测量单位。计量学的研究方向之一是建立基于量子和原子标准的新测量系统,从而取代传统的SI 系统。所以,作为计量工作的从业者,有必要对量子现象的理论背景进行初步的了解。

量子现象是用量子力学的概念来描述的。量子力学的开端于1900 年,马克斯·普朗克在他的分析中提出了一个新的电磁辐射强度公式,该公式比传统物理学模型更好地描述了电磁辐射。量子力学在20 世纪20 年代由埃尔温·薛定谔和维尔纳·海森堡发展起来,前者提出了薛定谔方程,后者提出了测不准原理。路易·德布罗意、梅克斯·玻恩、尼尔斯·玻尔、保罗·狄拉克和沃尔夫冈·泡利也为此做出了重大贡献。与经典物理学不同,量子力学经常会颠覆人们对物理现象的常识性理解,例如最近研究人员在电路中观察到电流以相同的方式同时向两个方向流动[1]。

任何理论都离不开实际应用,计量工作也是如此。在国际计量局(BIPM)编辑的SI 手册第9册[2]中写道:“计量学是测量及其应用的科学。无论测量不确定度和应用领域如何,计量包括测量的所有理论和实践”。量子力学应用到计量中就产生了量子计量学,量子计量学至少包含量子物理的三个领域:

①海森堡测不准原理确定测量精度的物理极限;

②构建物理量单位的量子标准:电压、电阻或电流等电量标准,以及非电流标准,包括原子钟和激光长度标准;

③极其敏感的电子元件的构造:简称SQUID(超导量子干涉器件)的磁通传感器和基于单电子隧穿的SET 晶体管(单电子晶体管)。

2 几个重要定律及原理

2.1 普朗克定律

马克斯·普朗克根据黑体辐射强度的测量,推导出一个公式,该公式在粒子和辐射之间以不连续的方式交换能量,并以与常数成比例的量子形式发射。

式中:E——粒子的能量;h——普朗克常数;f——辐射频率。

在光谱的红外、可见和紫外范围内(波长由200 nm至10 μm),作为温度和频率的函数,辐射能量密度的测量结果不能用传统物理学的规则来解释。建立在传统物理学基础上的Rayleigh-Jeans 能量密度公式,虽然在形式上是正确的,但只精确地描述了远红外光谱范围,即波长在5 μm 以上的研究现象。对于更短的波长,从Rayleigh-Jeans 能量密度公式获得的结果与测量数据偏离太多,以至于人们将该范围内预测无限能量密度的理论关系命名为“紫外灾难”。只有普朗克在假设能量被量子化的基础上推导出的公式在整个波长范围内与测量数据吻合得很好,普朗克定律表示了光谱辐射量频率f与温度T的依赖关系u(f,T),也就是光谱辐射量波长λ与温度T的依赖关系u(λ,T)。

式中:u(f,T)——理想黑体的光谱辐射发射量;T——黑体的绝对温度;kB——玻尔兹曼常数;c——真空中的光速。

爱因斯坦通过对光电效应和固体比热的研究,无疑对量子力学的发展做出了贡献。在关于比热的出版物中,爱因斯坦将量子理论的思想引入到传统的金属导电和导热理论中。路易·德布罗意在1924 年提出了整个物质具有粒子波的假设,那时,人们已经知道光显示出粒子和波的特性。实验提供的证据包括对恒星引力场中光线弯曲的观察,这是爱因斯坦预言的一种效应。德布罗意的假设提出,如果光除了具有波的特性之外,还具有粒子的特性,那么构成物质的基本粒子可能也具有粒子和波的特性。根据德布罗意的说法,一个物质粒子的运动与一个波的波长λ和频率f有关。

式中:λ——对应于粒子位置的波长;M——粒子的矩;m——粒子的质量;v——粒子的速度。

由式(3)可以计算得出,以速度v=103m/s 运动的电子与波长λ≈7 ×10-7m(紫外辐射)有关。以相同速度(103m/s)运动的中子与波长λ≈4×10-13m有关。换句话说,以同样速度运动的中子可认为是波长λ≈4×10-13m的德布罗意波,类似的波长是宇宙射线的特征。

证明物质具有波-粒二象性的例子是电子,它是由约翰·J·汤姆逊在1896 年发现的一种带有电荷的粒子,后来确定电子的电荷e=1.602×10-19C,质量m=9.11×10-31kg。电子的波动特性通过实验证明:电子束通过金属线圈后发生衍射现象,这是由乔治·P·汤姆逊、P.S.塔尔塔可夫斯基[3]等分别发现的。

2.2 薛定谔方程及其波函数的物理解释与泡利不相容原理

作为物理学史上的里程碑之一,薛定谔方程是由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔在1926 年通过类比当时已知的波和粒子的描述,在推测的基础上制定的[4]。如果说海森堡测不准原理为确定粒子参数的精度设置了限制,那么薛定谔方程则描述了基本粒子的状态。

薛定谔方程的特征是一个称为波函数或状态函数的函数,表示为ψ,表达了对时间和粒子位置坐标的复杂依赖关系[5,6]。

式中:ψ——波函数;A——时间和粒子坐标的函数;t——时间;∇——拉普拉斯算子简化的普朗克常数;j——虚数单位。

当函数A与时间无关时,它表示粒子的势能。在这种情况下,薛定谔方程采用

梅克斯·玻恩在1926 年首先给出了波函数的物理解释。波函数描述了粒子出现在某一区域的概率,特别是在体积为dV的区域,其概率与波函数模的平方成正比。

式中:p——概率;k——比例系数;V——粒子可用的空间体积。

泡利不相容原理认为,在一个原子中,没有两个电子可以具有相同的量子态,也就是说,没有两个电子可以具有相同的四个量子数。当分析原子或纳米结构时,必须考虑泡利不相容原理。

2.3 海森堡测不准原理

德国物理学家维尔纳·海森堡在1925 年提出了一个基本粒子的描述,它相当于薛定谔方程。两年后,海森堡阐明了测不准原理,这是量子力学的基础之一。现在表示测不准原理的关系由海森堡在1927 年的论文[7,8]中提出。测不准原理与物质的波-粒二象性密切相关。它定义了确定粒子状态的精度极限。不确定性原理与用于测量的仪器的精度无关。当一个电子的位置为x,这个电子认为是粒子,它用不确定度(或计量语言中的误差容限)Δx表示,该电子的状态也可以在波图像中表示为由不同波长的波组成的波束。电子被赋予一个波长λ,其值与电子的动量有关。根据公式(3),即德布罗意公式,沿着对应于粒子位置不确定度的线段Δx,一个波具有n个最大值和相同数量的最小值。

超过线段Δx的零振幅波束必须包括沿该线段至少有n+1 个最小值和最大值的波。

式中,Δλ——粒子波长的不确定度;Δx——粒子位置的不确定度。

由式(8)和式(9)可得

由德布罗意公式可得

式中:Δp—粒子动量的不确定度。

最终,我们得到测不准原理的公式。

根据式(11)可知,即使使用最精确的测量或计算的同时确定粒子的位置x及其动量p,若Δx降低,则Δp必然增加,反之亦然。当粒子的位置由坐标x、y、z在三维空间中定义时,应用一组三个不等式来代替单个不等式的公式(11)。

测不准原理在纳米结构中有很大的实际意义。例如,若确定电子位置的不确定度为2 ×10-10m(对应于原子尺寸的数量级),由公式(9),可用不确定度Δv确定电子速度。

这个范围很宽,大约是电子速度的三倍,vth与室温下的热能kBT有关。(vth≈105m/s)

如果我们放弃同时确定粒子的运动参数,并假设其位置是固定的,公式(14)将提供粒子能量的不确定度ΔE和粒子寿命或观察时间的不确定度Δt的极限。

例如,我们可用ΔE计算Δt。

2.4 测量分辨率的限制

使用量子器件测量微弱电信号时,测量的能量分辨率是否存在极限[9,10]是一个值得考虑的问题。这里所说的能量分辨率是指可以用测量仪器测量的能量或能量变化,没有规定测量分辨率的极限。其物理限制源于:

①确定基本粒子参数的海森堡测量不准原理;

②被测物体的量子噪声,其发射和/或吸收电磁辐射;

③被测物体的热噪声。

绝对温度T下物体的热噪声功率谱密度由普朗克方程描述。

式中:P(T,f)——物体在绝对温度T、频率为f时的热噪声功率;Δf—物体频率的不确定度。

普朗克方程依据kBT和电磁辐射能量的量子hf之间的关系采取两种极端形式。由于kBT≫hf,普朗克方程仅包括热噪声分量,采用奈奎斯特公式的形式。

式中:E(T)——物体在绝对温度T时的能量;P(T)——物体在绝对温度T时的热噪声功率。

由于kBT≫hf,普朗克方程仅包括量子噪声,即

式中:E(f)——物体在频率f时的能量;P(f)——物体在频率f时的热噪声功率。

可以注意到,热噪声在低频下的谱功率描述中起主导作用,而量子噪声在高频下占主导地位。f与温度相关,该频率下频谱噪声功率的两个分量相等,即kBT=hf,例如,温度T=300 K 时,f=6.2×1012Hz,T=2.7 K 时,f=56 GHz,这就是空间[11]的温度。

式(15)还将能量描述为一个用等式(其不确定度由测量频率的不确定度决定,目前为10-16的数量级)量化的物理量,以及确定h的精确度(目前数量级为10-9)。

电流I是电子在导体中的强度,将其定义为流动电荷Q(t)对时间t的导数,或者说恒定时间内电荷Q与电荷转移时间t的比值。

在微观尺度上,我们可以考虑记录单个电子的流动,并计算相关电流的强度。

举例来说,109个电子在1 s 内的流动将产生1.6 ×10-10A 的电流,即160 pA。我们可以用电流表,有时甚至用万用表来测量如此强度的电流。电荷以低得多的速度流动,例如每秒一个电子或每小时一个电子,将不再认为是电流。在这种情况下,最好考虑单个电子的传输并计算流动电荷。

测量物理量的传感器对信号能量或能量变化产生响应。因此,测量的灵敏度受到海森堡测不准原理的限制。SQUID 传感器实现了迄今为止最好的能量分辨率;其值等于0.5 h,达到了物理极限。在线性位移测量中,X 射线干涉仪获得了10-6Å=10-16m 的最佳线性分辨率[12],这一计量的伟大成就达到了原子量级。例如,测量金原子和铜原子的半径为135 pm。在位移和几何尺寸的测量及固体表面原子排列的研究中,用扫描隧道显微镜(STM)获得了最佳的线性分辨率,在垂直和水平测量中分别为Δa=10-12m=1 pm 以及Δb=10 pm(STM 的工作原理基于电子隧穿势垒的量子效应)。

2.5 量子现象在新国际单位制中的作用及缺点

通过多年的研究,计量学家发现使用量子和原子标准的新测量系统至少比实物标准器系统稳定一百万倍,随着“千克原器”退出舞台,SI 迎来了历史性时刻。

修订后的2018 版SI 是人们期待已久的单位制,其中依赖于材料特性的单位标准已被基于物理常数和量子效应的标准所取代,这是它的巨大优势,但也存在一些问题:

(1)为了实施修订后的SI,对于每一个新定义的基本测量单位,必须找到宏观标准与物理常数之间的联系。相关的物理常数虽然在弱作用的物理现象中得到证明,但标准中的信号必须是宏观尺度的。

(2)修订后的SI 首先是为大众制定和建立的。然而,修订后的SI 只有少数的科学家和计量学家群体理解,广大用户并不理解,因此很难被称为实用的单位制。

(3)任何系统都应该包括各分量之间的相互关系。修订后,SI 的定义看起来更像一组物理常数,各分量之间的相互关系是隐藏的。

(4)实现千克新标准有两种方法:瓦特平衡和XRCD(X 射线晶体密度技术),虽然这些方法可以达到测量结果相对标准不确定度Ur＜5 ×10-8的量级水平,但是实施的价格非常高。其结果导致世界上只有大约10 个实验室能够安装和操作千克的新标准。

虽然,2018 版SI 存在着种种不足和缺点,但基于基本物理常数和量子标准单位系统的发展已成定局,基本单位的新定义将逐渐被物理学和计量学界所接受,新版标准的实施使计量工作从宏观走向微观迈进了一大步,我们目前正处于量子和数字化变革的开端,用物理常数定义测量单位意味着这些定义将适应下一代科学发现的需要。

3 结束语

量子计量在频率标准、弱磁场探测、引力波探测以及原子钟等研究领域中起到了极其重要的作用。近年来,研究者发现合适的量子输入态(比如量子纠缠态),理论上可以使参数估计的误差涨落达到海森堡极限,这将远远高于使用可分离态进行估计所能达到的上限(标准量子极限),这为人们如何得到更高的参数估计精度打开了一扇新的大门。