从“圆的面积”教学中培养学生几何直观能力

朱文静

［摘  要］ 几何直观是《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出的核心素养的主要表现之一，文章主要结合“圆的面积”这一课，从动手操作实验，积累直观经验；利用信息技术，感悟直观想象；建立知识网络，构建几何框架这三方面，谈谈如何通过课堂教学来落实学生的几何直观的能力，发展学生的空间观念。

［关键词］ 几何直观；空间想象；极限思想

《义务教育数学课程标准（2022年版）》中，将核心素养的表现分为数学眼光、数学思维、数学语言三个维度，其中，将几何直观放在了发展学生的数学眼光中来达成。几何直观主要是指“运用图表描述和分析问题的意识与习惯……几何直观有助于学生把握问题的本质，明晰思维的路径”。它可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。作为一线教师，该如何在课堂上落实几何直观这一核心素养呢？本文尝试着做一些探索。

【教学情景描述】

“圆的面积”的教学是小学阶段最后一个平面图形面积的教学。在前面的学习中，学生已经学习过长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形的面积计算，积累了一些有关面积转化、公式推导的学习经验和方法。因此，对于平面图形面积的学习，学生是不陌生的。但是，前面学习的平面图形都是直线图形，而圆是曲线图形，从研究直线图形到研究曲线图形，思想上和方法上都有变化，对学生而言是一种能力的跨越。

一、动手操作实验，借形明理，积累直观经验

如何将曲线图形转化为以前学过的知识进行研究，这是本节课的重点与难点，教师要让学生在动手操作中去实现转化，直观地展示新图形转化为旧图形的全过程，借形明理，进而经历整个过程。

片段一：交流探究思路，明确“转化”的方法

教师将圆形纸片贴于黑板。

师：同学们，结合你们以前的学习经验，想一想，你们准备怎样去研究圆的面积呢？

生1：把圆转化为其他图形进行探究。

教师环顾全班，大部分学生点头同意，达成共识。

师：回忆一下，我们已经学过了哪些平面图形？

生2：长方形、正方形、三角形、梯形、平行四边形……

师：对。那我们在转化的时候是不是可以朝着这些图形去思考呢？

生（齐）：是的。

师：不错，你们已经知道了一种重要的数学思想方法，就是把新知转化为旧知来进行学习。

这时，教师稍作停顿，故作很为难的样子。

师：同学们，看看圆，再看看这些图形，想把圆形转化成学过的这些图形……

学生也陷入思考，感觉有困难。一位学生大声说出了大家的心声。

学3：有困难。

师：什么困难？

生3：圆的边是圆圆的，而以前学过的图形的边都是直的。

师：你们的意思是把圆这个曲线图形转化成直线图形，感觉有困难。

教师在黑板上板书：曲—直？

师：这样，同学们，老师为你们准备了一张圆片，咱们可以先自己试一试、折一折，看能不能解决这个难题。

学生用圆片自己尝试“化曲为直”，并上台展示自己的思考过程。

师：我们一起来看看这两位同学的。

生1：我通过折，把圆转化成了直线图形，打开一看，面积发生了变化，变小了，所以这种方法行不通。

生2：我是沿直径对折、对折，再对折，得到了一个图形，很像三角形。

师：对呀，这个同学沿着直径对折、对折，再对折，就可以把这个圆分成偶数等份，打开后，大家观察，他得到了一个什么图形？

生（齐）：得到了许多三角形，准确说是许多近似的三角形。

这时，教室里气氛活跃起来，学生都觉得将圆转化为以前学过的图形是可行的。

师：咱们再打开看看，这样就把圆平均分成了很多个近似的三角形，面积没有变，但还不是直线图形。接下来，怎么办？

一位学生踊跃站起来，提出他的想法。

生4：可以把这些近似的三角形，剪下来，重新进行拼组，看能不能拼成直线图形。

师：根据这位同学的思路，我们再继续研究下去，可能会有新的发现。

设计意图：理论和实践都告诉我们，小学生生成几何直观观念的主要途径是观察与操作。学生先通过观察发现圆与以前学过的平面图形的不同，再通过自己动手折一折去找到将曲线图形转化为直线图形的可行办法，从而突破难点。

二、利用信息技术，直观想象，感受极限思想

在学生动手操作完成后，会发现将圆沿着直径分出的份数越多，拼出的图形越接近平行四边形。于是，教师利用信息技术，带领学生展开直观想象，感受極限思想。

片段二：直观想象，感受极限思想

课件展示8等分拼图、16等分拼图、32等分拼图、64等分拼图。

师：其实刚才同学们做的是把圆等分成8份和16份后拼成的图形。

师：如果分的份数更多一些呢？

师：先看看把圆平均分成32份，再看看把圆平均分成64份。

学生看着课件上的图形变换，发出阵阵惊叹声。

师：看看这些拼成的图形，你有什么新的发现吗？

生5：分的份数越多，拼起来就越像长方形。

师：刚才你们拼出的是近似的平行四边形，现在怎么看起来越来越像长方形了。

生6：分的份数越多，拼成的上下两条线越来越直。

师：你的观察真细致，感受到了上下两条线的变化趋势。

生7：左右两条线倾斜度越来越小。

师：你感受到了左右两条线的变化趋势，你真行。

师小结：分的份数越多，拼成的图形的上下两条曲线越来越接近一条直线，左右两条线也在慢慢发生变化，所以越来越接近一个长方形。

师：但现在是一个长方形吗？它还只是一个近似的长方形。

师：如果再继续等分下去，请大家闭眼想象，它会拼成一个什么图形？

全班学生闭眼想象。

师：把一个圆平均分成128份，拼成了什么图形，256份呢？无限等分下去，分成无数份，拼出了什么图形？

有的学生回答：长方形；还有的学生认为：近似的长方形。

学生辩论起来。

生（齐）：如果分的份数越多，上下两条边就越来越直了，最终都会成为一条直线。

师：同学们太了不起了，你们体会到了越分越多的精髓，慢慢地它会越来越接近一个长方形。也就是说把圆等分成无限多份，再重新组合，它就会成为一个长方形了。

……

师：同学们，刚才大家先通过动手操作，再通过闭眼想象，把圆进行无限分，就将其转化成了一个长方形，这样，我们便成功地解决了“化曲为直”的困难。这种“无限分”和“化曲为直”的极限思想对你们以后的学习有重要的帮助。

设计意图：利用现代教育技术手段将圆沿着直径无限等分后拼成近似长方形的过程演示出来，将转化的过程可视化，生动的画面让学生脑洞大开。紧接着，让学生闭眼想象，在学生头脑里形成无限分割并拼成长方形的画面，这发展了学生的空间想象能力和几何直观能力，同时让学生初步感受了极限思想的本质。

三、建立知识网络，厘清脉络，构建几何框架

片段三：全课小结，思维提升

师：同学们，现在你们已经学完了小学阶段所有需要学习的基本平面图形的面积，请看屏幕。

师：透过这个图（图4），你们有什么想说的吗？

生8：从这个图中，我知道了长方形是我们学习所有平面图形的基础。

生9：我觉得在学习这些平面图形的面积时，都运用了转化的思想。

生10：我们在学习这些图形的面积时，课堂上都进行了操作，有时拼、有时剪，非常有意思。

师：是啊，我们在探究这些图形面积的过程中，都运用了各种操作实验，经历了“先转化为以前学过的图形—再观察比较，找出图形之间的关系—最后根据关系推导公式”的探究过程。你们真了不起。

师：同学们，任何学习都不是一蹴而就的，都是在不停观察、比较、发现中，将新知识转化为旧知识，化曲为直，化繁为简，化难为易。学知识就像盖房子，愿同学们不停地添砖加瓦，打造出自己心中最美的知识宫殿。

设计意图：本节课是图形与几何部分的内容，本身就有利于培养学生的几何直观能力。在全课小结时教师让学生体会知识之间的内在联系，感受平面图形面积公式推导的一般方法：转化图形—寻找联系—推导公式。这样将所有学过的平面图形面积的知识结构化，串成线，连成线，结成网，能帮助学生构建几何知识框架，掌握数学思想方法，提升综合学习能力。

【教学反思】

在“圆的面积”公式推导的过程中，学生通过操作活动去探明数学本质，通过直观想象，积累几何直观的经验。

一、关联知识链接，建立几何网络图

在谈收获时，教师设计了一张所有平面图形转化的思维导图，让学生观察体会知识的关聯。通过知识网络图，教师表达两层意思：第一，长方形是我们学习所有平面图形的基础；第二，我们在探究这些图形面积的过程中，都经历了“先转化为以前学过的图形—再观察比较，找出图形之间的关系—最后根据关系推导公式”的探究过程。学生恍然大悟，不仅学习了圆面积这单一知识，还总结了这一类知识的学习方法，将知识串成线，铺成面，立成体，培养了几何直观能力。

二、动手操作，直观想象，突破重难点

学生只有将直线图形转化为直线图形的学习经验，没有将曲线图形转化为直线图形的学习经验，这造成了他们学习上的困难。如果学生没有提前学习，就很不容易想到要把圆沿直径剪开，再拼成一个长方形。不过，学生有“化曲为直”的经验（比如认识周长这节课）。基于这个经验，教师适当引导，让他们在两次动手操作中找到研究的方向，并沿着这个方向探究下去。操作实验让学生有了直观的认识和过程的感悟，把抽象的数学变得“可视”起来，发展了学生的几何直观能力。

极限思想的渗透是这节课最难突破的点，学生看不着、摸不着，不好用语言来表述，也不好用肢体来表达，是一种只能意会不能言传的东西。但是，教师却不能放弃，哪怕让一部分学生感受到这种极限思想，也会为他们今后进入初中学习打下坚实的基础。