折叠求值　三面突破

陈超

在四边形折叠中求有关线段的长度或比值问题是中考常考内容之一。虽然此类问题会出现多种情境求值情况，但是解决这类问题还是有法可寻的。除了利用四边形本身的性质以外，重点应从三方面进行思维突破：全等、勾股和相似。

一、折叠中求长度值的问题

例1 如图1，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处。若点E在边AB上，AB=3，BC=5，则AE=。

【解析】由矩形的性质可得，∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=3，AD=BC=5。

设AE=x。由折叠可知，△EFC≌△EBC，

则EF=EB=3-x，FC=BC=5，

∠EFC=∠EBC=90°。

在Rt△CDF中，∠D=90°，

则DF=[CF2-CD2]=[52-32]=4，

AF=AD-DF=5-4=1。

在Rt△AEF中，∠A=90°，

则AE2+AF2=EF2，

即x2+12=（3-x）2，解得x=[43]。

所以AE=[43]。

【点评】本题利用了矩形的性质，从折叠得到全等，再利用勾股定理求解，这也是常规的解题思路。除此之外，我们还可以利用相似求解。从图中易得相似的基本图形“K”型图，即Rt△AEF∽Rt△DFC，则[AEDF]=[AFCD]，据此亦可求出AE。

二、折叠中求距离值的问题

例2 如图2，在矩形ABCD中，AD=12，AB=8，E是AB上一点，且EB=3，F是BC上一动点。若将△EBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为。

【解析】由折叠可知，△EBF≌△EPF。虽然点F在BC上运动时，点P也随之运动，但始终有EP=EB=3，所以点P在以E为圆心、EB为半径的圆上，如图3所示。

易知当点E、P、D共线时，PD的值最小。

在Rt△AED中，∠A=90°，

AD=12，AE=AB-EB=8-3=5，

所以ED=[AE2+AD2]=[52+122]=13，

则PD=ED-EP=13-3=10，

即点P到点D的最短距离为10。

【点评】本题是折叠中的“单动点”求距离最值问题，其本质是利用转化思想求线段长度值的问题。依据“动”中求“静”的思想，由折叠可知全等，动点、定长可判斷运动轨迹，从而根据取最值时的动点位置，运用勾股定理求解。可见全等、勾股是本题重要的知识点，也是解题的重要思维突破口。

三、折叠中求比值的问题

例3 如图4，在矩形ABCD中，[ABBC]=[23]。动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN。动点M、N同时出发，点M运动的速度为v1，点N运动的速度为v2，且v1＜v2。当点N到达点C时，M、N两点同时停止运动。在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形MA′B′N。设A′B′与AD交于点E，若在某一时刻，点B的对应点B′恰好与CD的中点重合，则[v1v2]的值为。

【解析】因为四边形ABCD是矩形，所以∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，AD=BC。由翻折可得四边形MA′B′N≌四边形MABN，所以∠A′=∠A=90°，∠A′B′N=∠B=90°，A′M=AM，A′B′=AB，B′N=BN。由[ABBC]=[23]，可设AB=2x，则AD=BC=3x，CB′=B′D=[12]CD=x。设BN=y，则B′N=y，CN=3x-y。在Rt△B′CN中，B′C2+NC2=B′N2，所以x2+（3x-y）2=y2，得y=[53]x，则CN=[43]x。由题意易得△B′CN∽△EDB′，利用三边对应成比例，可求得DE=[34]x，B′E=[54]x，所以A′E=A′B′-B′E=2x[-54]x=[34]x，则A′E=DE。易证△A′EM≌△DEB′（ASA），所以A′M=DB′=x，则AM=A′M=x。所以[v1v2]=[AMBN]=[x53x]=[35]。

【点评】本题是折叠中的“双动点”求比值问题。题目中没有给出线段的具体长度，故可以采用设参数的方法，将线段数值化。解决本题的关键是能从几何直观中发现由折叠得到一个直角三角形（Rt△B′CN）、两个四边形全等、两个三角形相似和两个三角形全等，再利用勾股定理、线段相等、线段成比例等获得所要求的线段的数值，最终将速度比转化成线段比。

（作者单位：江苏省宿迁市宿豫区保安中心学校）