张卫明：专题复习　图形的认识

张卫明

圆的概念和性质多，图形之间位置复杂。同时，圆与三角形、四边形的综合应用能力考查要求高，如果对圆的概念本质理解不够透彻，便会在应用时混淆相似的性质；对性质条件内容疏忽，就不能形成正确的数学几何思维。下面举例剖析圆中常见的几个易混淆的概念，希望对同学们掌握圆的内容有所帮助。

一、对圆轴对称性理解模糊

例1 下列命题中，正确的是（）。

A.平分弦的直线，必垂直于弦

B.垂直于弦的直线，必经过圆心

C.垂直平分弦的直线必平分弦所对的弧

D.平分弦的直径必垂直于弦并且平分弦所对的两条弧

【解析】对于本题，可以在纸上画出草图，利用排除法或举反例进行判断。平分弦的直线不一定垂直于这条弦，故A错误；垂直于弦的直线不一定过圆心，故B错误；当这条弦为直径时，两条直径不一定垂直，故D错误；由垂径定理可得C正确。故选C。

【点评】本题考查垂径定理的运用，需要借助圆的轴对称性才能真正理解垂径定理。对于一个圆和一条直线来说，如果一条直线具备：①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦（弦不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，这五个条件中的任何两个，那么也就具备其他三个条件。

二、圆中位置关系分类不清

例2 已知⊙O的直径CD=10，AB是⊙O的弦，AB=8，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（）。

A.[25] B.[45]

C.[25]或[45] D.[23]或[43]

【解析】连接OA。

∵AB⊥CD，

∴AM=BM=4。

在Rt△OAM中，OA=5，

∴OM=[OA2-AM2]=[52-42]=3。

如图1，CM=8，

∴AC=[AM2+CM2]=[82+42]=[45]；

如图2，CM=2，

∴AC=[AM2+CM2]=[42+22]=[25]。

故选C。

【点评】由AB⊥CD，根據垂径定理易得AM=4，再根据勾股定理计算出OM=3。由于题目没有给出具体的图形，对于点C与点M的位置需要分类讨论：点C与点M位于圆心异侧；点C与点M位于圆心同侧。

三、切线判定方法选择偏颇

例3 如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D，说明：直线AB是⊙O的切线。

【解析】如图4，连接OD、CD。

∵∠ACB=90°，∠B=30°，

∴AC=[12]AB，∠A=60°。

∵D为AB的中点，

∴BD=AD=[12]AB。

∴AD=AC。

∴△ADC是等边三角形。

∴∠ADC=∠ACD=60°。

∵∠ACB=90°，

∴∠DCO=30°。

∵OD=OC，

∴∠ODC=∠DCO=30°。

∴∠ADO=∠ADC+∠ODC=90°，

即OD⊥AB。

又∵OD过圆心O，

∴直线AB是⊙O的切线。

【点评】切线的证明是中考必考题型。对于圆的切线的证明，主要有以下两种方法：一是切线的判定定理，二是借助“d=r”。两种方法要注意区分，当题目提到有公共点时选判定定理，连半径，证垂直；当条件或图形中没有公共点时（或没有标注字母），则过圆心作直线的垂线段，证“d=r”。

同学们在平时的学习中，要重视概念的学习，理解概念形成和应用的条件，掌握概念之间的转换条件，这样才能做好知识点之间的融会贯通，学数学会越学越轻松。

（作者单位：江苏省盐城市鹿鸣路初级中学）