圆中线段计算的两个解题策略

朱国华

计算圆中线段的长度是中考常考题型，是对圆的性质、三角函数、相似三角形、勾股定理等知识的综合运用。此类题目屡考屡新，但我们只需掌握两个解题策略，便能以不变应万变。

策略一：借助解直角三角形

1.利用勾股定理求解

例1 如图1，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，点O是AC上一点，以O为圆心，OC为半径作⊙O，⊙O与AB相切于点D。求AO的长。

【解析】如图2，连接OD。在Rt△ABC中，AB=[82+62]=10。因为OC⊥BC，所以BC是⊙O的切线。又因为BD也是⊙O的切线，所以BD=BC=6，所以AD=10-6=4，且∠ADO=90°。设AO=x，则有OD=OC=8-x。在Rt△ADO中，有AD2+OD2=AO2，所以42+（8-x）2=x2，解得x=5，所以AO=5。

【點评】将已知量和未知量集中到直角三角形中求解，是求线段长度常用的方法。本题由切线产生直角，形成直角三角形，建立线段关系，为用勾股定理求线段长度提供了可能性。

2.利用三角函数求解

例2 如图3，四边形ABCD内接于⊙O，AD是⊙O的直径，连接AC，sin∠BAC=[13]，AD=6，求BC的长。

【解析】如图4，作直径BE，连接EC。因为BE是直径，所以∠BCE=90°，且BE=AD=6。因为sin∠BAC=[13]，所以sin∠BEC=[13]。在Rt△BCE中，sin∠BEC=[BCBE]，则有BC=BE·sin∠BEC=6×[13]=2。

【点评】本题通过“直径所对的圆周角是直角”构造直角三角形，建立边角关系，再利用三角函数求解。例1由切线产生直角，例2由直径产生直角。其实，“垂径定理”“切线长定理”中也有直角，希望同学们注意。

策略二：借助相似三角形

例3 如图5，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作DP∥BC，与AC的延长线交于点P。当AB=5，AC=12时，求线段PC的长。

【解析】在Rt△ABC中，BC=[AB2+AC2]

=13。由AD平分∠BAC，可知BD=DC，进而可求得BD=DC=[1322]。因为DP∥BC，所以∠ACB=∠P。又因为∠ACB=∠ADB，所以∠P=∠ADB。由于四边形ABDC是⊙O内接四边形，则有∠DCP=∠ABD，所以△ABD∽△DCP，得[ABCD]=[BDCP]，即[51322]=[1322CP]，解得CP=[16910]。

【点评】把已知线段和未知线段集中到两个相似三角形中，利用对应边成比例列方程求解，是求线段长度常用的方法。和圆有关的图形中，经常隐藏很多等角，存在着相似三角形，这就需要同学们用敏锐的眼光去发现、构造相似三角形，建立线段之间的关系，寻求问题的解决方法。

对于较复杂的圆中线段求解问题，常需对求解线段进行转化，灵活运用这两种策略，分而破之。希望同学们手持这两把利剑，让圆中线段求解问题迎刃而解。

（作者单位：江苏省盐城市初级中学）