圆中之“险”——“弦”

陆玉霞

圆的基本概念比较多，知识点之间综合性强，解题时稍有疏忽，便会出现漏解、错解等错误，其中，与弦有关的题目更易出错。下面，通过整理同学们的易错题，我们共同分析错误原因，帮助大家建立更完善的知识体系，加深对圆中弦的理解。

一、弦、弧、圆周角，夯实基本功

例1 现有以下命题：①平分弦的直径垂直弦，平分弦所对的弧；②等弧所对的弦相等，所对的圆周角相等；③在同圆或等圆中，弦相等所对的圆周角也相等；④在同圆或等圆中，弦相等则弦所对的弧相等。正确的有。

【错因分析】对弦的基本概念模糊不清或忽视弦的一些性质定理成立的前提条件，都会造成对这种文字型命题判断的失误。

【正确解答】①平分非直径的弦的直径才垂直弦，平分弦所对的弧，故原命题错误；②等弧所对的弦相等，所对的圆周角相等，正确；③在同圆或等圆中，弦相等所对的圆周角相等或互补，故原命题错误；④在同圆或等圆中，弦相等则弦所对的优弧或劣弧对应相等，故原命题错误。因此，正确的只有命题②。

二、弦对圆周角，两角为互补

例2在半径为2的圆中，弦AB长为[22]，则弦AB所对圆周角的度数为 。

【错因分析】一条弦所对的圆周角有两个，且这两个角是圆内接四边形的一组对角，所以这两个角互补。这个知识点很容易理解，但在本题中，与“圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半”知识点综合应用时，能力要求提高了，解题时就容易出现错误了。

【正确解答】连接OA、OB，C为优弧AB上一点，D为劣弧AB上一点，如图1。

∵AB=[22]，OA=OB=2，

∴OA2+OB2=AB2。

∴△AOB为直角三角形。

∴∠AOB=90°。∴∠ACB=[12]∠AOB=45°。

∴∠ADB=180°-∠ACB=135°。

综上所述，弦AB所对圆周角的度数为45°或135°。

三、直径与弦，特殊与一般

例3 如图2，AB是圆O的弦，AB=[23]，点C是圆O上的一个动点，且∠ACB=60°，若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN长度的最大值是。

【错因分析】根据三角形中位线性质得到MN=[12]AC，所以AC长度的最大值决定了MN长度的最大值。题目中∠ACB=60°，同学们很容易想到等边三角形，误认为当△ABC为等边三角形时，AC的值最大，导致答案错误。

【正确解答】连接AO并延长，交圆O于点D，连接BD，如图3。

∴∠ADB=∠ACB=60°。

∵AD为圆O的直径，

∴∠ABD=90°。

∴AD=4。

∵点M、N分别是AB、BC的中点，

∴MN=[12]AC。

当AC为直径时，AC的长度最大。

∴MN长度的最大值为2。

四、两弦位置，圆心是关键

例4 在半径为2的圆中，弦AB、AC的长度分别是2、[23]，则弦BC的长度是 。

【错因分析】由于题目没有给出图形，很多同学在做题时忽略了两条弦与圆心的位置关系，自动将两条弦与圆心的位置默认为其中的一种进行计算，导致漏解的现象。

【正确解答】分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E，连接OC、OB，如图4。

∴AE=[12]AC=[3]，AD=[12]AB=1。

∴∠AOE=60°，∠AOD=30°。

∴∠AOC=120°，∠AOB=60°。

①當弦AB、AC在圆心O的异侧时，∠BOC=∠AOC+∠AOB=120°+ 60°=180°，∴BC是直径，BC的长度为4。

②当弦AB、AC′在圆心O的同侧时，∠BOC′=120°-60°=60°。

∵OB=OC′，∴△OBC′是等边三角形。

∴BC′=OA=2。

综上所述，弦BC的长度是2或4。

同学们，在解决圆中弦有关问题时，要仔细读题，多画图，利用数形结合等思想方法解决问题。对于典型的错题要加以剖析并反思总结，加深对知识点的理解，提高自己的解题正确率。

（作者单位：江苏省盐城市康居路初级中学）