Heisenberg模顶点代数的单商代数

2023-07-03 00:57李思佳
关键词:代数顶点命题

李思佳

(黑龙江工业学院)

1 引言与预备知识

素特征域上的顶点代数也称为模顶点代数.目前对于素特征域上的顶点代数的研究较少.文献[1]和文献[2]分别对素特征域上顶点代数的零化子和幂零元的性质进行了研究.文献[3]研究了素特征域上Heisenberg 顶点代数及其不可约表示.文献[4]研究了素特征域上一类顶点代数的对称不变双线性型,给出了H-模顶点代数的定义.H-模顶点代数是一类重要的顶点代数.该文在文献[3]和文献[4]的基础上研究了素特征域上Heisenberg 顶点代数,证明了Heisenberg模顶点代数的单商代数是H-模顶点代数并且存在唯一的非退化对称不变双线性型.

则A是H-模李代数.

2 主要结果

设H是域F上具有非退化双线性型〈·,·〉的有限维向量空间,把H 上看成交换李代数,则〈·,·〉是H的非退化不变双线性型.于是有仿射李代数H^=H ⊗F[t,t-1]⊕Fk,其中k 是中心元,并且对任意的m,n ∈Z,α,β ∈H,满足李乘关系

引理1对于任意的r ∈N,n ∈Z,α ∈H,定义

由文献[4]的命题5.2可得:

命题1顶点代数(l,0)是H-模顶点代数.

令J (l,0 )是由

生成的VH^(l,0 )的理想.

引理2令α ∈H,k,r ∈N,n ∈Z+.则

证明因是交换李代数,所以

因此,当płk时,

当p |k时,假设k =rp,由费马小定理可得

同理可证得:

引理3令α ∈H ⊗,k,r ∈N,n ∈Z+,则当płk时,

当k =rp时,

命题2J (l,0 )是(l,0 )的H-子模.

证明令α ∈H,k,r ∈N,n ∈Z+.当p |k时,由引理1可知

由引理2和引理3可知,当płk时,有

另一方面,当p |k时,令k =rp,有

当płk时,有

定理1(l,0)是H-模顶点代数.

由文献[4]中的命题5.3和推论4.11可知:

推论1(l,0)上有唯一的对称不变双线性型(·,·)使得(1,1) = 1,并且双线性型(·,·)非退化.

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