关注教学深度 提升教学品质

张跃骜

［摘  要］ 随着新课改的不断深入，课堂的教学模式、组织形式、学习形式都发生了重大转变，“自主探究、合作交流”已成为新课堂主流. 不过，在发生变化的同时也涌现出了许多新问题，如探究过于肤浅，合作流于形式等，从而因教学缺乏深度而影响了教学效果. 文章指出，教学中要注重知识的整合和联系，关注教学技能和策略，强调自我建构和自我创新，以此打造有深度的教学，实现教与学的可持续发展.

［关键词］ 教学；品质；深度；可持续发展

在新课改的影响下，高中数学课堂呈现出了一片“繁荣”. 不过在如火如荼的改革中，各种形式的伪探究、假合作、假交流也充斥着课堂，课堂表面上“热烈高涨”，但课堂依然停留在机械记忆和反复训练的浅层教学上，学生的学习能力和思维能力并没有明显提升. 基于此，深度课堂逐渐走进了师生的视野，其主要目的是实现由“低认知发现教学”向“指导性发现教学”转变，由“无效讲解教学”向“有效讲解教学”发展，深度课堂关注知识建构、迁移和评价的创造，关注知识的整合和联系. 在这样的课堂上学习，学生不仅能够深刻地理解知识，而且能够灵活应用知识，有助于学生发展数学思维能力、形成数学核心素养，落实终身学习目标.

数学思维的发展是由低层级到高层级不断进阶的过程，在这个过程中进阶理论应运而生，为“真学课堂”注入新的活力，使教与学的发展更加自然、和谐. 在进阶理论的指导下，教师应关注思维进阶的连续性和层次性，通过问题的梯度变化实现从现实发展层级向潜在发展层级的升华，以此促进学生高阶思维能力的发展，打造深度课堂，为实现学生的可持续发展架桥铺路.

笔者以“椭圆的几何性质”一课为例，基于学习进阶的视角，谈几点对深度课堂的认识，供借鉴.

教学实录

教学片段1：借助问题，溯本探源

师：学习椭圆前，我们用解析法研究了直线和圆，基于以上活动经验，谈一谈你是如何理解解析几何基本思想的.

生1：它就是用代数思想方法来研究几何问题.

生2：其中蕴含着数形结合思想方法，即将图形问题代数化——将其转化为代数问题，然后运用代数思想方法来计算、验证，从而得到代数结果，反过来将代数结果几何化. “两化”的目的是让问题既直观又准确.

师：说得真好. 在之前学习中，我们依据曲线定义得到曲线方程，由曲线方程得到曲线的几何性质. 现在我们已經学习了椭圆的定义及标准方程，接下来我们要学习什么呢？

生齐声答：椭圆的几何性质.

师：很好，基于以前的学习经验，我们可以利用什么来研究椭圆的几何性质呢？

生齐声答：椭圆的标准方程.

（学生思考、交流）

设计意图 无论学习平面几何还是学习立体几何，乃至研究函数的性质，都是从图形出发，借助直观感知先大胆猜测，然后结合已有知识和经验进行推理和证明. 在本节课的教学中，若先用图形猜想性质，然后用标准方程进行推理验证，则会在椭圆性质的推理上偏离预设，有悖于解析几何的基本思想，不利于知识生成. 因此，从学生认知的进阶起点看，“两化”这样的设计是合理的、科学的，凸显教学立意，为学生指明了研究对象和研究方向，有助于课堂生成.

教学片段2：自主探究，获得抽象感悟

师：很好！观察方程中两变量x，y的取值范围，其几何意义是什么？

生5：说明椭圆分布在x=±a和y= ±b围成的矩形内.

师：是的. 从方程的角度来思考，如果（x，y）是它的解，那么方程还有其他解吗？

生6：有. 方程中出现的是x2和y2，除了（x，y）是它的解，（x，－y），（－x，y），（－x，－y）也是它的解.

师：对的. 这些解与（x，y）有何关系？反映了椭圆怎样的几何特性？

生7：如果（x，y）在椭圆上，那么它关于x轴的对称点（x，－y），关于y轴的对称点（－x，y），关于原点的对称点（－x，－y）也都在椭圆上.

师：由此你知道了什么？

生8：椭圆是关于x轴、y轴、原点对称的图形.

师：不过椭圆的对称中心一定是坐标原点吗？对称轴一定是x轴、y轴吗？

生9：不一定，椭圆是可以平移的，平移后它的对称轴和对称中心自然也就发生变化了.

师：想一想这说明了什么呢？（学生陷入沉思）

生10：这说明椭圆的对称性与坐标系没有关系，这是椭圆的本质属性.

设计意图 该环节以学生发现为主，凸显学生的主体价值. 同时，为了进一步感悟解析几何的本质思想，教师引导学生从代数的角度出发，借助椭圆方程来研究椭圆上点的坐标的取值范围和椭圆的对称性，从而确定研究方向，总结解析法研究几何问题的经验. 在教学中，教师通过层层设置问题，带领学生先研究x，y这两个变量，接下来从其几何意义出发，将其转化为方程的解，继而发现图形的对称关系. 通过以上探究让学生体验由抽象到具体、由繁到简的变化过程，有效地化解数学学习中的抽象感，提升学生思维的活力，为学生由部分到整体的学习进阶打下坚实的基础. 另外，为了避免学生形成片面的认识，在思维的关键节点，教师又适时地进行追问，引导学生总结归纳出了对称性为椭圆的本质属性，与椭圆的位置并无必然联系，以此深化了学生对方程的解的理解，实现了由特殊到一般的转化，使学生的认知结构不断完善.

教学片段3：创设冲突，逐层深化

师：结合椭圆图形及椭圆上点的坐标的取值范围我们知道，对于椭圆方程的解，x和y都有最大值和最小值，那么这些最大值和最小值所对应的点有什么特点呢？

生11：这些点就是椭圆与坐标轴的交点.

师：这样的点一共有几个呢？

生12：四个.

师：是的. 通过解方程的方法能否求出这四个点呢？

师：我们将这四个点称为椭圆的顶点. 现思考这样一个问题：椭圆的顶点是否一定是椭圆与x轴和y轴的交点呢？（教师预留时间让学生交流、讨论）

生14：如同椭圆的对称性，椭圆的顶点与坐标轴无关，而是与椭圆的对称轴有关.

师：说得很好，能够联想到对称性，可见大家对以上内容已经有了深刻认识. 确实，顶点与坐标轴并无直接联系，其为图形的固有属性.

生15：我认为当点P运动到左、右顶点时，距离椭圆中心O最远；当点P运动到上、下顶点时，距离椭圆中心O最近.

师：真的吗？你们是否也是这样认为的呢？（学生点头表示赞成）

師：你们能否进一步验证这一结论呢？（教师预留时间让学生推理验证）

经历以上过程后，教师给出长轴和短轴的概念也就水到渠成了.

设计意图 对于顶点、长轴、短轴等概念的教学，若轻描淡写地直接讲解，则难免让学生片面地认为顶点就是椭圆与坐标轴的交点，难以体现椭圆图形的本质属性. 同时，在教学中通过设疑和验证，让惯性思维与现实理解进行深度对话，深化学生的原认知，培养学生思辨和质疑的能力. 在教学过程中，教师通过巧妙设问与学生深度交流，帮助学生抓住了“长与短”的本质内涵，逐渐引导学生由感性认识上升到理性认识，从而深化了思维深度.

教学片段4：激发思维，突破难点

师：前面我们研究椭圆都是基于确定的a，b值，若a，b的值发生改变，你认为椭圆的形状会发生怎样的改变？（教师引导学生动手尝试）

生17：a，b两个量同时变化很难观察，所以研究椭圆形状时不妨先确定一个量，比如不改变a，只改变b，当a，b非常接近时，椭圆近似一个圆.

师：具体说一说为什么会这样.

师：说得非常好，你能用数学语言进一步准确表达吗？

师：不过由椭圆的定义可知，参数b并非椭圆定义涉及的原始量，而是推导椭圆标准方程时引入的一个辅助量，我们能否用椭圆的原始量来刻画？

师：不错的想法，那么具体如何表达呢？

生21：直接根据椭圆定义也能得出这一结论.

经历以上自主发现的过程，教师再给出离心率及变化范围，可以轻松地突破这一教学难点.

设计意图 让学生理解椭圆的离心率一直是教学难点，而在本节课教学中，通过猜想、类比、转化等教学策略激发了学生探究的热情，学生通过合作、交流、讨论等学习活动体验到了数学学习乐趣. 在教学中，教师从本源出发，即以方程结构为知识发现的生长点，引导学生先用比值来刻画椭圆的圆扁程度，接下来又回归定义，引导学生尝试用原始量a，c进一步刻画，从而揭示影响椭圆圆扁程度的根源是离心率，最后从不同角度认识离心率的变化范围. 基于本源和转化的观点引导学生自主建构，使学生的思维生长更加自然，这彰显了教学的智慧.

教学反思

若想改变表面的浮华，让教学更有深度，教师就应该放权给学生，为学生提供一个民主的、平等的学习环境，让学生的不同思维在碰撞中迸发出耀眼的光芒. 当然，为了使课堂交流更有效，教师要精心设计，抓住时机进行引导和诱发，从而让学生的“学”变得更有价值. 以上教学活动之所以取得了较好的效果，主要因为其立足学生的已有认知，基于最近发展区搭建了思维支架，通过层层递进的问题激发学生的潜能，引导学生自主完成新知建构. 同时，教学中教师搭建了有效的师生互动平台，让不同思维不断碰撞、融合，激发了学生的思维活力，提升了教师的教学效率. 基于以上教学流程，笔者认为教学中教师应关注以下几点.

1. 重视知识间的关联性

进阶顾名思义就是思维能力由低层向高层的逐渐演变和提升的过程，数学学习中既要重视知识的传承，又要关注知识的发展. 例如，对于椭圆的几何性质，表面上看是一个新内容、新挑战，但深思后不难发现其与直线、圆等旧知有着千丝万缕的联系，是学生原有认知基础和学习经验的传承和发展. 在教学中，教师有必要借助问题引导学生回顾旧知，帮助学生确定研究方向和研究方法，为更好地传承和发展奠定坚实的基础. 另外，学生习惯凭借“形的直观”来研究图形的几何性质，而对于椭圆性质的研究需要打破这一局限，故教师通过巧妙设计引导学生由研究方程的解的特性，逐渐过渡到研究曲线上点的特性，从而借助“数的严谨”完成了新知建构，实现了思维进阶，为接下来抛物线、双曲线的研究做好了铺垫，让学生的理性思维得以持续发展.

2. 关注教学中的策略性

若教学只关注知识的理解和掌握，而忽视策略性知识的探究，将会限制教与学的可持续发展. 例如，在教学椭圆几何性质中，将目光聚焦在知识的传授上，教师完全可以通过“讲授”的方式直接将内容灌输给学生，但这样的方式如何引导学生将碎片化的知识联系在一起呢？如何让学生理解解析几何法的价值呢？如何让学生自主完成双曲线、抛物线以及一般曲线的探究呢？只有引导学生重视策略性知识的探究，才能让学生真正理解“学什么”“为何学”“如何学”，全面掌握数学研究的内容和方法，为学生学习能力和创新能力的提升奠基.

总之，数学教学要关注知识间的关联性，通过知识进阶逐渐完善学生的认知体系. 同时，教学中教师要关注策略性知识的研究，通过思维、经验的进阶，培养学生终身学习的能力.