2022年高考数学文化试题评析及教学建议

黄邵华

【摘要】本文分析2022年高考数学试卷中涉及数学文化的试题，发现这些试题分别以我国工程建设、环境治理等为背景考查数学知识的应用，以科技创新为背景展示数学与其他学科融合的意义，以及以古代建筑为背景展示数学文化之美，认为高中数学教师有必要学习领会教育改革与高考改革精神，与时俱进地调整教学方式，充分发掘和利用教材中的数学文化内容，重视在复杂情境教学中凸显学生的主体地位，开展数学课外阅读，从而发展学生的数学学科核心素养，落实立德树人根本任务。

【关键词】数学文化 数学高考 试题分析 教学建议

【中图分类号】G63 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2023）14-0048-04

党的教育方针强调要把立德树人作为教育的根本任务，不仅要教会学生知识和技能，更重要的是培养学生正确、科学的道德观念和价值观念。基于此，以情境为依托，使学生坚定“四个自信”，落实立德树人根本任务，成为近年高考的热点，并将是2023年高考命题的核心要旨。

“数学文化”狭义上是指数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展；广义上的“数学文化”除包含上述内涵外，还包含数学家、数学史、数学美、数学教育等。《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》提出，要关注数学学科发展前沿与数学文化，继承和弘扬中华优秀传统文化。本文展示2022年高考数学卷中有关数学文化的试题，分析这些高考数学试题如何通过具体的问题情境來考查数学知识，并提出教学建议。

一、试题评析

（一）以我国工程建设为背景，强调数学基础作用

例1（2022年新高考Ⅰ卷第4题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2，将该水库在两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为（ ）。

A.1.0×109 m3     B.1.2×109 m3

C.1.4×109 m3     D.1.6×109 m3

本题主要考查立体几何板块中棱台体积的求法。而有关台体（包含棱台和圆台）的体积和面积的问题，没有在2022年之前的近十年广西高考试题中出现过。本题的出现，是新高考改革释放的一个信号，即注重对基础知识掌握的全面性和系统性。本题根据水库的形状建立棱台的数学模型，在已知棱台的两个底面积和高的条件下求解棱台的体积，考查和发展了学生数学运算、数学建模、直观想象等数学核心素养。本题建立数学模型的难度不大，关键在于学生要记忆和理解棱台的体积公式这个基础知识，而台体的体积公式比柱体、锥体的要复杂，建议教师在教授新课或高三复习过程中引导学生对公式进行适当的推导，使学生在理解的基础上记忆公式而不是机械地记忆。

（二）以我国环境治理为背景，领悟数学应用价值

例2（2022年全国乙卷理科卷第19题，节选）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得到如下数据（数据略），并计算得

（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

（2）求该林区这种树木的根部横截面积与量的样本相关系数（精确到0.01）；

（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2。已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比。利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值。

这是一道统计板块的解答题，考查的知识包括样本的数字特征、两个变量的相关系数、正比例函数等，考查和发展学生数学建模、数学运算等核心素养。这道题以环境治理为背景，给出树木根部横截面积与树木的材积量这组成对数据的相关样本数据，考查学生对均值、相关系数、估算等统计学知识的理解和应用，使其领悟数学的应用价值。统计学的知识点比较多，分散在必修第二册和选修第三册两册教材的两个模块中，但在高考试题的考查中往往会综合出现。因此建议教师在教学选修第三册中的统计学知识的过程中，多与必修第二册中的统计内容进行对比教学和综合应用，使学生感受收集、整理、分析数据以及利用统计分析进行决策的连贯性和系统性，体会统计学知识的应用价值。

（三）以我国科技创新为背景，体会学科融合意义

例3（2022年北京卷第7题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar。下列结论中正确的是（ ）。

A.当T=220，P=1 026时，二氧化碳处于液态

B.当T=270，P=128时，二氧化碳处于气态

C.当T=300，P=9 987时，二氧化碳处于超临界状态

D.当T=360，P=729时，二氧化碳处于超临界状态

本题以北京冬奥会为背景，展示数学与其他学科的交叉应用，展示我国在科技创新领域取得的成就。本题考查的知识有函数的图象、对数运算、对数函数的单调性等，属于较易题，考查和发展学生的数学运算、直观想象等核心素养。本题中出现的“温度”“压强”“液态”“气态”“二氧化碳”“超临界状态”等名词，是物理、化学等学科中的专业术语，此题体现了高中数学知识中函数的运算、性质以及图象等相关内容与其他学科在科技创新领域中的交叉融合。历史上许多数学新知识，往往是在其他一些实践性较强的学科的发展和应用过程中产生的。因此，高中数学教师在日常教学中，一方面要多利用其他学科的知识背景创设情境，阐述数学知识的形成过程，另一方面也要引导学生将所学的知识运用于解决其他学科的问题，体会数学在多学科交叉融合中的意义。

（四）以我国古代建筑为背景，感受数学文化之美

例4（2022年天津卷第8题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120°，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）。

A.23    B.24    C.26    D.27

本题主要考查立体几何板块中的组合体的体积问题，要求学生从“十字歇山”这个具体的实例中抽象出两个直三棱柱重叠的组合体形象，同时借助空间想象力理解该組合体的对称性，并利用棱柱和棱锥的体积公式进行求解，主要考查和发展学生数学抽象和直观想象的核心素养。立体几体中组合体的体积和面积的求解问题是学生的易错点，学生在解题过程中容易出现遗漏或重复的情况，建议教师在教学过程中利用实物模型让学生获得直观感知，同时鼓励学生多动手作图，提升他们的空间想象力。

2022年的高考数学试题中，除了此题以美轮美奂的中国古代建筑“十字歇山”为背景，与中国传统文化相关的试题的背景还有自然科学、工艺技术及社会历史现象的综合性笔记体巨著《梦溪笔谈》，中国古代建筑的特色结构“举架结构”，发现了“三斜求积”公式的中国古代著名数学家秦九韶……考查的知识覆盖三角函数、数列、立体几何等。中华民族在源远流长的历史长河中，在文化、艺术、科技等方面都有着巨大的贡献，积淀了属于中华民族的智慧结晶和精神追求。这些试题既考查了学生的知识和技能，又让学生感受和领悟数学之美，加深学生对我国数学发展及获得成就的了解，使学生坚定文化自信。

二、启示和建议

《中国高考评价体系》提及的“一核四层四翼”中，“一核”指的是高考的核心功能，即“立德树人、服务选才、引导教学”，回答“为什么考”的问题。2023年度高考蓝皮书《中国高考报告（2023）》中也指出，高考要落实立德树人，鲜明体现时代主题，将立德树人这一根本任务融入高考试题命制中，引导学生坚定“四个自信”，助力培养担当民族复兴大任的时代新人。在教育改革理念的指导下，2022年及近年的高考数学试题充分体现了这方面的要求，也必将成为今后高考试题命题的重点。

鉴于以上分析，针对高中一线数学教师如何把握高考改革趋势，通过数学文化教学落实立德树人根本任务，笔者提出以下教学建议。

（一）学习领会教育改革和高考改革精神，紧跟时代步伐调整教学方式

随着我国教育改革和高考改革的不断深入，将德育渗透于各学科的课堂已经成为趋势和常态。数学是一门强调逻辑分析和理性思维的学科，因此更需要教师学会与时俱进地调整和改进教学方式，落实立德树人根本任务。教师不能只讲数学知识，只强调数学知识的形成和发展，只关注数学运算、推理的过程与结论正确与否，还应该调整和更新教学方式，多创设问题情境切入，重视数学在实际生产生活中的应用，积极展示我国在人类社会发展历程中取得的辉煌成就，使学生坚定“四个自信”。

（二）充分利用和发掘教材中的数学文化内容，渗透立德树人理念

数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分。在现今各个版本的教材中，许多章节或知识板块都会以适当的文化背景为情境进行切入或延伸，教师在教学中应充分利用这些教学资源渗透德育。例如教材中利用“复兴号”动车引入函数概念，教师可以介绍我国高铁的快速发展史；教材中通过“恩格尔系数”引出函数的表示方法，教师则可拓展恩格尔系数的相关知识，让学生感受我国人民幸福指数的不断增长；教材中以我国政府减少水资源浪费为背景提出统计学相关问题，教师可以强调我国在尊重人类社会发展规律方面提出的正确理论；等等。又如教材中由“赵爽弦图”阐述重要不等式的几何意义、由“祖暅原理”推导体积公式等，教师可以强调我国古代数学在世界数学发展历程中的重要地位和作用，使学生坚定文化自信。这样的例子还有很多，教师在以数学文化为背景进行教学的同时，应多尝试发掘其背后的德育价值，渗透立德树人理念。

（三）重视在复杂情境教学中凸显学生主体地位，提升学生数学学科核心素养

有了合适的数学文化作为情境背景，如何将实际问题转化为数学问题便成为教学的关键。复杂的背景情境蕴含了诸多信息，在处理信息的过程中，教师要重视学生的主体地位，尝试让学生自主阅读材料，找到需要解决的关键问题，而不能过多引导或直接给出问题背后的数学模型。在复杂背景情境中，教师要重视培养和提升学生的信息处理能力，一方面，要教授学生在具体问题中学会舍弃无用信息、留下有用信息；另一方面，要注重建立关键信息之间的联系，尝试将这种联系与已有数学知识体系中的概念联系相结合；最后一个方面，更重要的是引导学生进行合理的数学抽象、科学的假设，将实际问题转化为数学问题，通过求解数学问题，获得解决实际问题的办法，提升学生数学抽象、数学建模等核心素养。

（四）提倡数学课外阅读，发展学生综合素养

教师在常规教学活动之余，应鼓励学生多进行与数学相关的课外阅读。阅读的内容可以是数学课上的内容的深化，也可以是数学课外拓展内容；可以是数学发展史，也可以是数学实践应用等。通过数学阅读，学生对数学知识的形成过程有更加清晰的理解；了解数学知识在学科交叉和实际生产生活中的应用，体会数学的价值，培养实践能力和创新能力；了解和学习到更多课本中没有的知识，拓宽数学学习的广度，加深数学学习的深度，培养自主学习能力；发展理解和组织数学语言的能力以及信息处理能力，提升逻辑思维水平；了解中外数学的历史和现状，关注时事，提升政治素养。

（五）开展数学研究活动，加强理论与实践的结合

对学生而言，不论是教材中提供的数学文化背景还是高考题中呈现的数学文化背景，终究都是他人提供的情境信息，而不是学生自主提出和发现的。因此，教师在教学过程中，应注重开展数学研究活动，可以引导学生以个人或小组为单位，设计数学实验，开展学科交叉融合的创新实践课题研究，让学生在参与活动的过程中自主观察、自主思考、自主发现、自主探索、自主解决问题。发现问题到解决问题的过程，可以让学生充分感受数学的应用价值和数学之美，大大激发学生的数学学习兴趣和学习热情，提升学生数学学习成就感，提升学生的创造意识和实践意识。开展数学研究活动，将理论与实践相结合，既让学生学习知识，又在教学中渗透德育，落实立德树人根本任务，为社会主义事业培养德才兼备的高素质人才。

参考文献

［1］顾沛.数学文化［M］.北京.高等教育出版社，2017.

［2］徐尚昆，杨汝岱，郝保伟.中国高考报告（2023）［M］.北京：新华出版社，2022.

［3］教育部考试中心.中国高考评价体系［M］.北京：人民教育出版社，2022.

［4］徐争.2022年高考数学试题中的数学文化［J］.中学数学月刊，2022（10）.

［5］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［6］向立政，周远方，张云辉.深度考查关键能力充分发挥育人功能：2022年高考数学试题命题特点及复习教学建议［J］.中国数学教育，2022（9）.

注：本文系广西教育科学“十四五”规划2021年度广西高考综合改革专项课题“基于中学数学教师核心素养发展的教师新教材实施的实践能力培养研究”（2021ZJY1755）、南宁市教育科学“强基计划拔尖人才培养”专项课题“强基计划背景下培养高中数学竞赛拔尖创新人才的实践研究”（2021QJ002）的研究成果。

（责编 刘小瑗）