Clifford 代数Cℓ2 的相似类

2023-08-03 06:19曹慧慧郑荣兰曹文胜
关键词:代数命题定理

曹慧慧,郑荣兰,曹文胜

(五邑大学 数学与计算科学学院,广东 江门 529020)

1 引言与预备知识

Clifford 通过Grassmann 的外代数引入如下Clifford 代数.

定义1[1]Clifford 代数Cℓp,q由一组实空间中的正交基{i1,…,in}生成,其乘法法则为:

近年来,Clifford 代数在微分几何、理论物理、经典分析等方面取得了辉煌的成就,是研究现代理论数学和物理的核心工具.

本文主要研究Clifford 代数Cℓ2:=Cℓ2,0上的相似类及其性质. 为方便计算,我们在Cℓ2上记其在实数域上的基为

并满足运算

定义2对,其中,i=0,1,2,3,4,我们定义如下的概念.

在Clifford 代数上相似类及其性质是一个重要的研究议题. 文献[2-4]已经研究了分裂四元数相似、合相似及伪相似的充要条件. 唐哲[5]研究了分裂四元数伪相似的充要条件. Zheng 和Cao[6]研究了Clifford 代数Cℓ2相似与伪相似的充要条件. Cao[7]还研究了四维Clifford 代数Moore-Penrose 逆,求出线性方程与的解,并得出来Clifford 代数Cℓ0,3相似与合相似的充要条件.

下面给出Cℓ2中两个元素相似与伪相似的定义.

定义3i)令,如果存在一个元素使得

则称元素a,b相似.

则称元素a,b伪相似.

引理1[6]i)两个元素相似的充要条件是:

本文给出了Cℓ2中两元素t-相似、t-伪相似和半相似的概念.

定义4令,两个元素是t-相似,如果存在一个元素使得

定义5令,两个元素是t-伪相似,如果存在一个元素使得

本文将得到了t-相似与t-伪相似的充要条件以及相关性质.

2 t-相似的证明

由定义2,有如下结论.

命题1对任意的有

定理1i)t-相似的充要条件是:

证明由定义2 知,两个元素是t-相似的当且仅当ta与tb是相似的,由引理1i)知定理1 的i)成立. 同理可证定理1 的ii).

引理2令a≠0,则当且仅当存在一个,使得.

证明必要性显然成立,只需要证明充分性. 如果,则,. 这表明. 令

若b∈[a]t,则因此

现在找到一个b,使得b满足式(3)但不满足式(4). 这表明. 证毕.

举例说明:

在上面的16 种情况中,有8 种情况是可由t-相似诱导的,这8 种情况由下面的命题给出.

由定理1,有以下定理:

定理2i)元素,相似当且仅当以下条件之一成立:

自从黄诗传入,朝鲜诗人便对其渊源、风格、用典等展开探讨。如崔恒《山谷精粹·序》云:“至宋奎聚,诗道一大中兴。于是欧、王、苏、黄辈铿戛相与鸣,称为大家,而涪翁诗尤自出机杼,瑰奇绝妙,度越诸子,遂号为江西诗祖。”[2](9辑,P191)“自出机杼,瑰奇绝妙”是对黄诗的笼统评价,更多评论家对此予以补充、注释,更具体地总结了其创作特色。

证明根据定理1,是e1-相似的充要条件是以下两个条件之一成立:

3 t-伪相似的证明

下面讨论t-伪相似的情况. 有如下命题.

命题3对,有

结合命题2 知式(5)中的16 种情况是由t-相似和t-伪相似诱导的.

根据定理2,得到下面的定理.

定理3i)元素伪相似当且仅当以,下条件之一成立:

iv)元素

vi)元素

下面列出几个t-伪相似的例子:

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