基于T-S模糊模型的下肢关节运动鲁棒跟踪控制

张巍巍,梁 婷,潘俊涛,张 白

(1. 北方民族大学电气信息工程学院,宁夏 银川 750021;2. 宁夏医科大学总医院,宁夏 银川 750004)

1 引言

近些年来,在全球范围内,获得性神经损伤患者(如脑卒中、脑外伤和脊髓损伤等)数量越来越大,与之伴随的是对康复的需求也越来越大[1,2]。功能性电刺激(Functional electrical stimulation,FES)是临床应用中主要的肢体智能康复技术之一[3]。其利用低频电流脉冲诱发肌肉收缩,使瘫痪的肢体再学习和重组,完成相应的运动功能。相比其它康复治疗技术,FES还可以促进肌肉再学习,加强血液循环,防止肌肉萎缩,具有很高的研究价值。然而,成熟的FES产品的开发还面临许多问题,例如,电刺激-关节运动之间的动态关系本质为一类具有强干扰和不确定等特征的高阶非线性系统[4],考虑到患者个体差异和运动后肌肉疲劳等干扰因素,FES控制系统可能无法完成预期的关节运动。

为实现高精度的功能性电刺激控制,各国研究学者都展开了深入的研究,先后出现了多种基于不同控制理论的控制算法。最早的FES系统控制算法是Chizeck等提出的手动开关控制[5]。Shimada等人使用加速度传感器检测足下垂患者的步态,用加速度信号触发电刺激仪器产生指定刺激电流来校正足下垂患者的步态[6]。这类开环控制系统中,采用固定的脉冲序列进行刺激,难以达到理想的康复效果。为实现刺激量的精确调节,文献[7-10]使用自适应PID控制器和模糊PID控制器,系统存在干扰时也能取得较好的控制效果,但对电刺激-关节运动的非线性模型进行了简化;陈盛勤[12]和Freeman[13]基于迭代学习控制了肘关节的运动,吴强等[11]考虑肌肉疲劳对控制精度的影响,提出了一种神经网络自适应滑模控制方法,跟踪系统未建模部分和参数误差,取得了较好的控制效果。文献[14,15]针对个体差异,分析了电刺激-关节运动的鲁棒控制,得到了系统稳定的线性矩阵不等式(linear matrix inequality,LMI)条件,但从仿真结果看,系统的过渡时间较长。

因此,面对复杂的非线性生物系统,如何设计非线性控制算法以有效处理人体肌肉疲劳带来的运动控制精度问题和患者个体差异的自适应问题一直是该领域的难题,目前依然缺乏系统化的设计方法和有效的处理手段。

模糊控制凭借其不依赖于控制对象精确数学模型的优势给复杂非线性系统的控制综合研究带来了新的契机,特别是Takagi-Sugeno(T-S)模糊理论的提出为利用成熟的线性系统理论知识研究复杂非线性系统成为可能。T-S模糊模型的主要思想是将输入空间分为若干个模糊子空间,在每个模糊子空间建立关于输入/输出的局部线性模型,然后使用隶属度函数将各个局部模型平滑地连接起来,形成一个全局的非线性模型[16-21]。T-S模糊模型正是凭借其具有的万能逼近性质和线性子系统后件为研究复杂非线性系统的控制问题提供了一套系统有效的解决办法。

患者个体差异带来的模型参数摄动问题,本文提出了一种基于T-S模糊模型的鲁棒跟踪控制方法,实现电刺激下膝关节运动的准确跟踪控制。通过引入期望轨迹,将跟踪控制问题转换为稳定性问题;基于Lyapunov稳定性理论,分析得到了系统稳定的充分条件,通过仿真验证,针对个体差异,本文提出的控制算法均可以准确控制关节运动。

2 电刺激-膝关节运动跟踪控制

以下肢膝关节运动为例,讨论膝关节在电刺激下的运动跟踪控制问题。

2.1 电刺激-膝关节运动模型

假设患者坐在高椅上,上身及大腿固定不动,踝关节与脚保持一定角度,可视作一个整体,则膝关节的运动可以看做是由两个刚性部分组成的运动系统:大腿和胫足复合体,如图1所示,该系统的平衡方程为[22](文中与角度θ有关的变量均随时间变化,为书写简洁,均省略后缀(t))

图1 膝关节电刺激示意图

(1)

刚性力矩Ms为

Ms=λe-Eθ(θ-ω)

(2)

式中,λ和E是指数项的系数,ω是膝关节弹性静止角。

肌肉受到电刺激产生的有效力矩Ma和电刺激的脉冲宽度(P)之间的关系是

(3)

其中G和τ为电刺激仪系统参数。

(4)

(5)

由于个体差异,胫足复合体模型中的参数具有不确定性,如表1所示,H1-H5各行表示5名健康者参数,P1-P3各行表示2名患者参数。可以看出,每名个体的参数都不完全一样,因此,要设计控制器,使得控制器对个体差异引起的控制对象的参数不确定性具有鲁棒性,是本文的主要工作。

表1 不同个体的模型参数[22]

2.2 T-S模糊模型

对于一类仿射非线性系统

(6)

其中x∈n为状态变量,u∈m为输入变量,f(x)和g(x)都为光滑非线性函数。采用扇区非线性方法,系统(6)可以精确表示为T-S模糊模型的形式,该模型主要是通过“IF-THEN”模糊规则描述非线性系统,每个模糊规则表示一个模糊子系统,整个模糊系统是每个模糊子系统的线性组合。考虑系统参数的不确定性,则系统的状态方程可写为

(7)

其中Ainom∈n×n为模型的标称系统矩阵,Binom∈n×m为模型的标称输入矩阵,ΔAi,ΔBi为系统模型中的不确定性矩阵。

第i个规则的表达形式为:

模糊规则i：

(8)

记z(t)=[z1(t),…,zp(t)]

(9)

(10)

不失一般性,假设系统的不确定性范数有界且具有如下结构

ΔAi=LaiδaiRai

(11)

ΔBi=LbiδbiRbi

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

将式(11)-(12)带入系统式(7),可得

(17)

(18)

模糊子系统为

(19)

(20)

(21)

记a22=-B/J,a23=1/J,a33=-1/τ,b31=G/τ,参数χ的标称值记χnom,则对于式(19)-(21),有

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

记参数χ的最小值和最大值记χmin和χmax,有0<τmin≤τ≤τmax, 0

a22nom=(a22max+a22min)/2,a23nom=(a23max+a23min)/2

a33nom=(a33max+a33min)/2,b31nom=(b31max+b31min)/2

(27)

有

Δa22=δ1(a22max-a22min)/2,-1≤δ1≤1

Δa23=δ2(a23max-a23min)/2,-1≤δ2≤1

Δa33=δ3(a33max-a33min)/2,-1≤δ3≤1

Δb31=δ4(b31max-b31min)/2,-1≤δ4≤1

(28)

令

ε1=(a22max-a22min)/2,ε2=(a23max-a23min)/2

ε3=(a33max-a33min)/2,ε4=(b31max-b31min)/2

(29)

(30)

(31)

(32)

则考虑个体差异的电刺激-膝关节运动模型可以表示为式(17)的形式。

2.3 基于T-S模糊模型的跟踪控制器设计

在上节建立的电刺激-膝关节运动模型的基础上,本节设计基于该模型的跟踪控制器,使得膝关节的角度能跟踪给定的运动轨迹。假设期望的运动轨迹为r(t),控制的目标是使得当t→∞时,y(t)-r(t)→0。本文引入虚拟变量,将跟踪问题转化为稳定性问题,定义期望轨迹xd(t),可以跟踪系统状态,跟踪误差为xe(t)=x(t)-xd(t),由式(17),其微分为

(33)

令

(34)

μ(t)为待设计的新的控制量。则

(35)

对于误差系统式(33),如果能设计控制量μ(t)使其稳定,即xe(t)→0(t→∞),即实现了x(t)→xd(t)(t→∞)。基于PDC方法[17],控制量μ(t)设计为

μ(t)=-Fhxe(t)

(36)

将式(36)带入式(35),得到闭环系统为

(37)

为得到原系统(17)的控制律,将式(34)重写为

(38)

其中,0n-m∈(n-m)×m表示零矩阵,B(x)m∈m×m是非奇异矩阵。同理,将Ah和xd(t)也进行相应的划分:

(39)

式(38)可以写为下面的形式

(40)

由式(37)和式(40),可以得到期望轨迹和控制律为

(41)

(42)

对于系统式(35),求得控制律式(36)后,可由式(42)求得原系统式(17)的跟踪控制律。为得到控制律,用到了以下推论。定理1给出了系统式(35)渐进稳定的条件。

推论[20]：对任意的常数1

(43)

定理1:对于含有不确定参数的系统(35),控制律(36)使其稳定的充分条件是存在正定矩阵P=PT>0,半正定矩阵Y0,实数α>1,使得对所有允许的参数不确定性,以下矩阵不等式成立

Ψii+(α-1)Y1<0

(44)

Ξij-2Y2<0,i

(45)

i=1,2,…,r,j=2,3,…,r,

其中

(46)

(47)

(48)

(49)

证明:将式(11)-(12)代入系统式(37),有

(50)

式中

Gij=Ai-BiFj

(51)

(52)

(53)

若上式中①标示的部分满足

+P(Gii+Hii+Gji+Hji)-2Q0<0

(54)

由推论1 有

(55)

对上式中②标示的部分满足,有

(α-1)Q0

(56)

由式(13)-(16),有

(57)

则

(α-1)Q0<0

(58)

利用Schur补引理,由式(58)可得定理条件式(43)。

类似地,可由式(54)得到充分条件式(45),这里不在展开。

定理得证。

定理1中的条件为双线性不等式,不能方便求解,为了得到系统(35)稳定的可行解,通过下面的定理将定理1中的条件进一步转化为LMI的可行解问题。

定理2:对于闭环系统(35),如果存在对称正定矩阵X=XT>0,矩阵Mi,半正定矩阵Q0,实数α>1,使得以下线性矩阵不等式LMIs成立

Φii+(α-1)Q1<0

(59)

Θij-2Q2<0,i

(60)

i=1,2,…,r,j=2,3,…,r,

其中

(61)

(62)

(63)

(64)

则系统(35)是渐进稳定的。反馈增益为

Fi=MiX-1

(65)

证明:对式(44)的左侧左乘右乘对角矩阵

(66)

有

T1ΨiiT1+(α-1)T1Y1T1

=Φii+(α-1)Q1<0

(67)

其中,X=P-1,Q0=P-1Y0P-1,Mi=FiP-1,式(59)得证。

同理,对式(45)左侧左乘右乘对角矩阵

(68)

式(60)得证。

定理得证。

3 膝关节跟踪控制仿真验证

为了验证上节所提控制器的有效性,在Matlab/Simulink平台下进行仿真。取胫足复合体的标称参数如表2所示,所有参数在标称参数的±20%摄动,可涵盖表1中不同个体的模型参数(注:健康者和患者λ参数范围较大,这里取P1组参数)。

表2 胫足复合体参数表

(69)

(70)

(71)

根据定理2,使用YAMIP工具[23]求解LMIs得到控制器增益为:

F1=[287.55 69.362 6.7586]

(72)

F2=[287.72 69.504 6.7399]

(73)

图2 膝关节角度跟踪曲线

图3 膝关节运动角速度曲线

图4 电刺激力矩曲线

4 结论

本文基于T-S模糊模型,研究了考虑患者个体差异时功能性电刺激下膝关节的跟踪控制问题。将患者个体差异描述为模型参数的不确定性,通过引入期望轨迹,将跟踪控制问题转化为稳定问题,得到了跟踪控制器存在的线性矩阵不等式条件。仿真结果验证了该方法的有效性。但本文尚未肌肉疲劳引起的外部干扰问题,也未进行实验验证,未来的工作会针对此问题进一步分析。