例淡邻项作商思想在求离散函数最值中的运用

■山西省平定县第一中学校 李海明 李素波

在高中阶段,我们除了要研究连续性函数的最值,还经常会遇到一些离散型函数的最值问题,比如数列中的最值、二项展开式中系数的最值,以及一些离散型随机变量(超几何分布、二项分布)的概率的最值等。下面我们结合具体例子,来体会相邻两项作商思想在解决这些问题中的作用。

一、数列中的最值

例1若数列中的最大项是第k项,求k的值。

因为n∈N*,所以当2≤n≤4 时,an＞an-1;当n≥5时,an＜an-1,即有a1＜a2＜a3＜a4＞a5＞a6＞…,则数列{an}中的最大项为a4,故k=4。

评注:这里运用了相邻两项作商比较的方法,来判断数列{an}中的相邻两项an与an-1(n≥2)之间的大小关系,从而确定了数列的单调性,解决了数列的最值问题。当然也可以使用作差法,这里不再赘述。

二、二项展开式中系数的最值

例2已知的展开式中只有第6项的二项式系数最大。求:

(1)该展开式中所有有理数的项数;

(2)该展开式中系数最大的项。

评注:这里虽然知识背景换成了二项式定理,然而其展开式的各系数实质上依次构成了一个含有11项的有穷数列,仍然采用了作商法,解决其系数的最大值,进而求出系数最大的项。

三、超几何分布中的概率最值

例3(2023 年四省联考第20 题)一个池塘里的鱼的数目记为N,从池塘里捞出200尾鱼,并给鱼作上标识,然后把鱼放回池塘里,过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼,X表示捞出的500 尾鱼中有标识的鱼的数目。

(1)若N=5 000,求X的数学期望;

(2)已知捞出的500 尾鱼中15 尾有标识,试给出N的估计值(以使得P(X=15)最大的N的值作为N的估计值)。

解析：依题意,X服从超几何分布,其中N=5 000,M=200,n=500。

(2)由N≥500且N-200≥485,可得N≥685。

所以当N＜685时,P(X=15)=0;

四、二项分布中的概率最值

例4(2023 届山东省高三第三次学业质量联合检测第20题)某药厂研制了治疗某种疾病的新药,该药的治愈率为p,现用该药给10位病人治疗,记被治愈的人数为X。

(1)若X=8,从这10人中随机选2人进行用药访谈,求被选中的治愈人数Y的分布列;

(2)已知p∈(0.75,0.85),集合A={k|概率P(X=k)最大},且A中仅有两个元素,求E(X)。

分析：本题第(1)问考查超几何分布,与本文无关,下面仅分析第(2)问。

在涉及指数、阶乘、排列组合相关的问题时,相邻两项作商比较的方法要比作差更方便。同学们在高三复习阶段,应精选试题,将不同知识背景下但体现同一思想方法的内容对比学习,可帮助我们提高解题迁移能力,提升数学素养。