有关奇亏完全数的若干结论

张四保, 姜莲霞

(1.喀什大学数学与统计学院, 新疆 喀什 844000; 2.现代数学及其应用研究中心, 新疆 喀什 844000)

数论函数是数论中的一个重要内容,它是研究数论问题的一个重要工具.在数论中有着很多的函数,σ(n)就是其中的一个.对于正整数n,数论函数σ(n)定义为n的所有正因数(包括1与其本身)的和函数.由σ(n)产生了很多的数论问题,如完全数、亲和数、孤立数、亏完全数等．

若正整数n满足σ(n)=2n,则称n为完全数.到目前为止只找到51个偶完全数,而未找到奇完全数,奇完全数的存在性已成为数论中的难题之一[1].在奇完全数问题上,有着十分丰富的研究成果[2-3].对于正整数n,若存在正整数m适合σ(n)=σ(m)=n+m,则数对(n,m)被称为亲和数;反之,n被称为孤立数.亲和数和孤立数一直是数论中一个引人关注的课题[4],有不少的研究成果[5-6]．

若正整数n满足σ(n)=2n-d,则称n为亏度为d的亏完全数,其中d为n的正因数.特别的,d=1时,称n为殆完全数.亏度为d的亏完全数备受研究者关注,与此相关还有很多未解决的问题[7].文献[8]刻画了素因数个数不超过2的所有亏完全数的结构.文献[7]和[9]讨论了素因数个数为3的奇亏完全数的存在性问题,得到不存在素因数个数为3的奇亏完全数的结论.文献[10-11]讨论了素因数个数为4的奇亏完全数的存在性问题,给出了亏完全数的一些性质刻画.文献[12]讨论了素因数个数为5的奇亏完全数的存在性问题,给出了亏完全数的一些性质刻画.本文在相关研究文献的基础之上,讨论素因数个数为6的奇亏完全数的存在性问题,并给出奇素因数个数为6的奇亏完全数的一些性质刻画．

说明:本文所讨论的奇亏完全数不包括殆完全数;下文符号“|”均表示整除关系．

1 基本引理

2 结论及证明

(1)

定理2设n=3γ137γ2q3γ3q4γ4q5γ5q6γ6,其中γi满足γi≡0(mod 2),i=1,2,…,6,37

1)当q3=41,q4=43时,n不是奇亏完全数;

2)当q3=41,q4=47,q5=53,q6∈{59,61,67,71,73}时,n不是奇亏完全数;

3)当q3=41,q4=47,q5=59时,n不是奇亏完全数;

4)当q3=43时,n不是奇亏完全数．

证明若q3≥47,则

得出矛盾,于是q3∈{41,43}．

为了便于叙述,下文设d=3γ′137γ′2q3γ′3q4γ′4q5γ′5q6γ′6为n的素因数,其中0≤γ′i≤γi,且γ′i中至少有一数不等于0,i=1,2,…,6.同时,令

F(γ1,γ2,γ3,γ4,γ5,γ6)=

由式(1)可得,F(γ1,γ2,γ3,γ4,γ5,γ6)=G(γ1,γ2,γ3,γ4,γ5,γ6).

(2)

情况1当q3=41时,有n=3γ137γ241γ3q4γ4q5γ5q6γ6.此时,若q4≥53,则有

得出矛盾,于是q4∈{43,47}．

情况1.1当q4=43时,有n=3γ137γ241γ343γ4q5γ5q6γ6.此时,若q5≥67,则有

得出矛盾,于是q5∈{47,53,59,61}．

情况1.1.1当q5=47时,有n=3γ137γ241γ343γ447γ5q6γ6.此时,若q6≥127,则有

得出矛盾,于是q6∈{53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113}．

若d≥9,此时0≤γ′i≤γi,i=1,2,…,6,则有

得出矛盾．

若d=3,此时γ1-γ′1=1,γi=γ′i=0,i=2,3,4,5,6,则由σ(n)=2n-d可得

σ(3γ137γ241γ343γ447γ5q6γ6)=

5×3γ1-137γ241γ343γ447γ5q6γ6.

(3)

当γ1=2时,有σ(32)=13|σ(3237γ241γ343γ447γ5q6γ6).由式(3)可得13|5×3γ1-137γ241γ343γ447γ5q6γ6,这是不可能的．

当γ1=4时,有σ(34)=112|σ(3437γ241γ343γ447γ5q6γ6).由式(3)可得112|5×3γ1-137γ241γ343γ447γ5q6γ6,这是不可能的．

当γ1≥6,q6=53时,有

F(γ1,γ2,γ3,γ4,γ5,γ6)≥

显然,此时F与G的值与式(2)相矛盾．

当γ1≥6,q6=59时,有

显然,此时F与G的值与式(2)相矛盾．

当γ1≥6,q6=61时,有

显然,此时F与G的值与式(2)相矛盾．

当γ1≥6,q6=67时,有

显然,此时F与G的值与式(2)相矛盾．

当γ1≥6,q6=71时,有

显然,此时F与G的值与式(2)相矛盾．

当γ1≥6,q6=73时,有

显然,此时F与G的值与式(2)相矛盾．

当γ1≥6,q6=79时,有

显然,此时F与G的值与式(2)相矛盾．

当γ1≥6,q6=83时,有

显然,此时F与G的值与式(2)相矛盾．

当γ1≥6,q6=89时,有

显然,此时F与G的值与式(2)相矛盾．

当γ1≥6,q6=97时,有

显然,此时F与G的值与式(2)相矛盾．

当γ1≥6,q6=101时,有

显然,此时F与G的值与式(2)相矛盾．

当γ1≥6,q6=103时,有

显然,此时F与G的值与式(2)相矛盾．

当γ1≥6,q6=107时,有

显然,此时F与G的值与式(2)相矛盾．

当γ1≥6,q6=109时,有

显然,此时F1与G1的值与式(3)相矛盾．

当γ1≥6,q6=113时,有

显然,此时F与G的值与式(2)相矛盾．

综合情况1.1.1的讨论可知,当q5=47时,n=3γ137γ241γ343γ447γ5q6γ6不是奇亏完全数．

情况1.1.2当q5=53时,有n=3γ137γ241γ343γ453γ5q6γ6.此时,若q6≥97,则有

得出矛盾,于是q6∈{59,61,67,71,73,79,83,89}．

若d≥9,此时0≤γ′i≤γi,i=1,2,…,6,则有

得出矛盾．

若d=3,此时γ1-γ′1=1,γi=γ′i=0,i=2,3,4,5,6,则由σ(n)=2n-d可得

σ(3γ137γ241γ343γ453γ5q6γ6)=

5×3γ1-137γ241γ343γ453γ5q6γ6.

(4)

当γ1=2时,有σ(32)=13|σ(3237γ241γ343γ453γ5q6γ6).由式(4)可得13|5×3γ1-137γ241γ343γ453γ5q6γ6,这是不可能的．

当γ1=4时,有σ(34)=112|σ(3437γ241γ343γ453γ5q6γ6).由式(4)可得112|5×3γ1-137γ241γ343γ453γ5q6γ6,这是不可能的．

当γ1≥6,q6=59时,有

显然,此时F与G的值与式(2)相矛盾．

当γ1≥6,q6=61时,有

显然,此时F与G的值与式(2)相矛盾．

当γ1≥6,q6=67时,有

显然,此时F与G的值与式(2)相矛盾．

当γ1≥6,q6=71时,有

显然,此时F与G的值与式(2)相矛盾．

当γ1≥6,q6=73时,有

显然,此时F与G的值与式(2)相矛盾．

当γ1≥6,q6=79时,有

显然,此时F与G的值与式(2)相矛盾．

当γ1≥6,q6=83时,有

显然,此时F与G的值与式(2)相矛盾．

当γ1≥6,q6=89时,有

显然,此时F与G的值与式(2)相矛盾．

综合情况1.1.2的讨论可知,当q5=53时,n=3γ137γ241γ343γ453γ5q6γ6不是奇亏完全数．

情况1.1.3当q5=59时,有n=3γ137γ241γ343γ459γ5q6γ6.此时,若q6≥83,则有

得出矛盾,于是q6∈{61,67,71,73,79}．

若d≥9,此时0≤γ′i≤γi,i=1,2,…,6,则有

得出矛盾．

若d=3,此时γ1-γ′1=1,γi=γ′i=0,i=2,3,4,5,6,则由σ(n)=2n-d可得

σ(3γ137γ241γ343γ459γ5q6γ6)=

5×3γ1-137γ241γ343γ459γ5q6γ6.

(5)

当γ1=2时,有σ(32)=13|σ(3237γ241γ343γ459γ5q6γ6).由式(5)可得13|5×3γ1-137γ241γ343γ459γ5q6γ6,这是不可能的．

当γ1=4时,有σ(34)=112|σ(3437γ241γ343γ459γ5q6γ6).由式(5)可得112|5×3γ1-137γ241γ343γ459γ5q6γ6,这是不可能的．

当γ1≥6,q6=61时,有

显然,此时F与G的值与式(2)相矛盾．

当γ1≥6,q6=67时,有

显然,此时F与G的值与式(2)相矛盾．

当γ1≥6,q6=71时,有

显然,此时F与G的值与式(2)相矛盾．

当γ1≥6,q6=73时,有

F(γ1,γ2,γ3,γ4,γ5,γ6)≥

显然,此时F与G的值与式(2)相矛盾．

当γ1=6时,有σ(36)=1093|σ(3637γ241γ343γ459γ5q6γ6).由式(5)可得1093|5×3γ1-137γ241γ343γ459γ5q6γ6,这是不可能的．

当γ1=8时,有σ(38)=(13×757)|σ(3837γ241γ343γ459γ5q6γ6).由式(5)可得13×757|5×3γ1-137γ241γ343γ459γ5q6γ6,这是不可能的．

当γ1≥10,q6=79时,有

显然,此时F与G的值与式(2)相矛盾．

综合情况1.1.3的讨论可知,当q5=59时,n=3γ137γ241γ343γ459γ5q6γ6不是奇亏完全数．

情况1.1.4当q5=61时,有n=3γ137γ241γ343γ461γ5q6γ6.此时,若q6≥79,则有

得出矛盾,则q6∈{67,71,73}．

若d≥9,此时0≤γ′i≤γi,i=1,2,…,6,则有

得出矛盾．

若d=3,此时γ1-γ′1=1,γi=γ′i=0,i=2,3,4,5,6,则由σ(n)=2n-d可得

σ(3γ137γ241γ343γ461γ5q6γ6)=

5×3γ1-137γ241γ343γ461γ5q6γ6.

(6)

当γ1=2时,有σ(32)=13|σ(3237γ241γ343γ461γ5q6γ6).由式(6)可得13|5×3γ1-137γ241γ343γ461γ5q6γ6,这是不可能的．

当γ1=4时,有σ(34)=112|σ(3437γ241γ343γ461γ5q6γ6).由式(6)可得112|5×3γ1-137γ241γ343γ461γ5q6γ6,这是不可能的．

当γ1≥6,q6=67时,有

显然,此时F与G的值与式(2)相矛盾．

当γ1≥6,q6=71时,有

显然,此时F与G的值与式(2)相矛盾．

当γ1≥6,q6=73时,有

显然,此时F与G的值与式(2)相矛盾．

综合情况1.1.4的讨论可知,当q5=61时,n=3γ137γ241γ343γ461γ5q6γ6不是奇亏完全数．

综合情况1.1.1至情况1.1.4的讨论可知,当q4=43时,n=3γ137γ241γ343γ4q5γ5q6γ6不是奇亏完全数．

情况1.2当q4=47时,有n=3γ137γ241γ347γ4q5γ5q6γ6.此时,若q5≥61,则有

得出矛盾,于是q5∈{53,59}．

情况1.2.1当q5=53时,有n=3γ137γ241γ347γ453γ5q6γ6.此时,若q6≥83,则有

得出矛盾,于是q6∈{59,61,67,71,73,79}．

若d≥9,此时0≤γ′i≤γi,i=1,2,…,6,则有

得出矛盾．

若d=3,此时γ1-γ′1=1,γi=γ′i=0,i=2,3,4,5,6,则由σ(n)=2n-d可得

σ(3γ137γ241γ347γ453γ5q6γ6)=

5×3γ1-137γ241γ347γ453γ5q6γ6.

(7)

当γ1=2时,有σ(32)=13|σ(3237γ241γ347γ453γ5q6γ6).由式(7)可得13|5×3γ1-137γ241γ347γ453γ5q6γ6,这是不可能的．

当γ1=4时,有σ(34)=112|σ(3437γ241γ347γ453γ5q6γ6).由式(7)可得112|5×3γ1-137γ241γ347γ453γ5q6γ6,这是不可能的．

当γ1≥6,q6=59时,有

显然,此时F与G的值与式(2)相矛盾．

当γ1≥6,q6=61时,有

显然,此时F与G的值与式(2)相矛盾．

当γ1≥6,q6=67时,有

显然,此时F与G的值与式(2)相矛盾．

当γ1≥6,q6=71时,有

F(γ1,γ2,γ3,γ4,γ5,γ6)≥

显然,此时F与G的值与式(2)相矛盾．

当γ1≥6,q6=73时,有

F(γ1,γ2,γ3,γ4,γ5,γ6)≥

显然,此时F与G的值与式(2)相矛盾．

综合情况1.2.1的讨论可知,对于奇数n=3γ137γ241γ347γ453γ5q6γ6,当q6∈{59,61,67,71,73}时,n不是奇亏完全数．

情况1.2.2当q5=59时,有n=3γ137γ241γ347γ459γ5q6γ6.此时,若q6≥71,则有

得出矛盾,于是q6∈{61,67}．

若d≥9,此时0≤γ′i≤γi,i=1,2,…,6,则有

得出矛盾．

若d=3,此时γ1-γ′1=1,γi=γ′i=0,i=2,3,4,5,6,则由σ(n)=2n-d可得

σ(3γ137γ241γ347γ453γ5q6γ6)=

5×3γ1-137γ241γ347γ459γ5q6γ6.

(8)

当γ1=2时,有σ(32)=13|σ(3237γ241γ347γ459γ5q6γ6).由式(8)可得13|5×3γ1-137γ241γ347γ459γ5q6γ6,这是不可能的．

当γ1=4时,有σ(34)=112|σ(3437γ241γ347γ459γ5q6γ6).由式(8)可得112|5×3γ1-137γ241γ347γ459γ5q6γ6,这是不可能的．

当γ1≥6,q6=61时,有

显然,此时F与G的值与式(2)相矛盾．

当γ1=6时,有σ(36)=1093|σ(3437γ241γ347γ459γ5q6γ6).由式(8)可得1093|5×3γ1-137γ241γ347γ459γ5q6γ6,这是不可能的．

当γ1≥8,q6=67时,有

显然,此时F与G的值与式(2)相矛盾．

综合情况1.2.2的讨论可知,当q5=59时,n=3γ137γ241γ347γ459γ5q6γ6不是奇亏完全数．

情况2当q3=43时,有n=3γ137γ243γ3q4γ4q5γ5q6γ6.此时,若q4≥53,则有

得出矛盾,于是q4=47,则n=3γ137γ243γ347γ4q5γ5q6γ6.此时,若q5≥61,则有

得出矛盾,于是q5∈{53,59}．

情况2.1当q5=53时,有n=3γ137γ243γ347γ453γ5q6γ6.此时,若q6≥73,则有

得出矛盾,于是q6∈{59,61,67,71}．

若d≥9,此时0≤γ′i≤γi,i=1,2,…,6,则有

得出矛盾．

若d=3,此时γ1-γ′1=1,γi=γ′i=0,i=2,3,4,5,6,则由σ(n)=2n-d可得

σ(3γ137γ243γ347γ453γ5q6γ6)=

5×3γ1-137γ243γ347γ453γ5q6γ6.

(9)

当γ1=2时,有σ(32)=13|σ(3237γ243γ347γ453γ5q6γ6).由式(9)可得13|5×3γ1-137γ243γ347γ453γ5q6γ6,这是不可能的．

当γ1=4时,有σ(34)=112|σ(3437γ243γ347γ453γ5q6γ6).由式(9)可得112|5×3γ1-137γ243γ347γ453γ5q6γ6,这是不可能的．

当γ1≥6,q6=59时,有

F(γ1,γ2,γ3,γ4,γ5,γ6)=

显然,此时F与G的值与式(2)相矛盾．

当γ1≥6,q6=61时,有

显然,此时F与G的值与式(2)相矛盾．

当γ1≥6,q6=67时,有

显然,此时F与G的值与式(2)相矛盾．

当γ1=6,q6=71时,有σ(36)=1093|σ(3637γ243γ347γ453γ571γ6).由式(9)可得1093|5×3γ1-137γ243γ347γ453γ571γ6,这是不可能的．

当γ1≥8,q6=71时,有

显然,此时F与G的值与式(2)相矛盾．

综合情况2.1的讨论可知,当q5=53时,n=3γ137γ243γ347γ453γ5q6γ6不是奇亏完全数．

情况2.2当q5=59时,有n=3γ137γ243γ347γ459γ5q6γ6.此时,若q6≥67,则有

得出矛盾,于是q6=61．

若d≥9,此时0≤γ′i≤γi,i=1,2,…,6,则有

得出矛盾．

若d=3,此时γ1-γ′1=1,γi=γ′i=0,i=2,3,4,5,6,则由σ(n)=2n-d可得

σ(3γ137γ243γ347γ459γ561γ6)=

5×3γ1-137γ243γ347γ459γ561γ6.

(10)

当γ1=2时,有σ(32)=13|σ(3237γ243γ347γ459γ561γ6).由式(10)可得13|5×3γ1-137γ243γ347γ459γ561γ6,这是不可能的．

当γ1=4时,有σ(34)=112|σ(3437γ243γ347γ459γ561γ6).由式(10)可得112|5×3γ1-137γ243γ347γ459γ561γ6,这是不可能的．

当γ1≥6时,有

显然,此时F与G的值与式(2)相矛盾．

综合情况2.2的讨论可知,当q5=59时,n=3γ137γ243γ347γ459γ5q6γ6不是奇亏完全数．

综合情况2.1与情况2.2的讨论可知,当q3=43时,n=3γ137γ243γ3q4γ4q5γ5q6γ6不是奇亏完全数．

综合情况1与情况2的讨论,可得定理2.证毕．