用平行线之间的等积变形计算图形的面积

2023-11-21 10:48
数学小灵通·3-4年级 2023年11期
关键词:阴影平行正方形

邹 琴

(重庆市科学城明远未来学校)

小朋友,两条平行线之间的距离是处处相等的,例如图1中,直线AD 平行于直线EJ,AE=BG=CI=DJ。

图1

三角形AFH、三角形BFH、三角形CFH、三角形DFH的底都是FH,高分别是AE、BG、CI、DJ。因为三角形的面积=底×高÷2,所以通过计算可知,三角形AFH 的面积=三角形BFH 的面积=三角形CFH 的面积=三角形DFH的面积,即同底等高的三角形的面积是相等的。

我们在计算图形的面积时,可以应用平行线之间的等积变形,把题目由难变易、由繁变简,这是计算图形面积的一种重要的策略。

例题1图2 中,小正方形的边长是7厘米,大正方形的边长是10厘米。阴影部分的面积是多少?

图2

把三角形ACH 分为三角形ABH 和三角形BCH 两部分。运用直线BE和直线CD的平行关系,把三角形BCH进行等积变形,将C拉动到D(如图3),你会发现三角形BCH与三角形BDH同底(HB为底)等高(CB=DE),所以面积相等。求三角形ACH的面积可转化为求三角形ABD的面积。三角形ABD的面积=AB×CD÷2=7×10÷2=35(平方厘米),所以阴影部分的面积是35平方厘米。

图3

例题2已知长方形AEFD的面积是30 平方厘米(如图4),那么阴影部分的面积是多少?

图4

把三角形ABG 分为三角形AEG和三角形EBG 两部分,运用直线EF 和直线BC 的平行关系,把三角形EBG 进行等积变形,将B 拉动到C(如图5),你会发现三角形EBG与三角形ECG 同底(EG 为底)等高(BE=CF),所以面积相等。求三角形ABG 的面积可转化为求三角形AEC的面积。

图5

三角形AEC的底就是长方形AEFD的宽,三角形AEC的高BC等于长方形AEFD 的长AD,长方形AEFD 的面积=AE×AD=30(平方厘米),三角形AEC 的面积=AE×BC÷2=AE×AD÷2=30÷2=15(平方厘米),阴影部分的面积是15平方厘米。

例题3正方形BCDE、正方形ABFG 的边长分别是10 厘米、8 厘米(如图6),求图中阴影部分的面积。

图6

观察图6,你会发现线段AF、线段BD 都与线段AC 成45°角,可知直线AF与直线BD互相平行。运用直线AF与直线BD的平行关系,把三角形ADF 进行等积变形,将D 拉动到B(如图7),你会发现三角形ADF 与三角形ABF 同底(AF 为底)等高(DJ=BI),所以面积相等。求三角形ADF的面积可转化为求三角形ABF 的面积。三角形ABF 的面积=8×8÷2=32(平方厘米),所以阴影部分的面积是32平方厘米。

图7

小朋友,运用等积变形,可以巧妙解决面积计算问题,你学会了吗?

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