涡流检测中检测线圈感应电动势的解析计算

辛楠

安徽公安职业学院，安徽合肥，230031

0 引言

涡流检测技术是常用的无损检测技术的一种，能在不破坏被测试体的情况下检测其可能存在的缺陷，因此得到广泛应用。1873年，麦克斯韦首次用数学表达式描述了电磁场理论，建立了完整又严密的电磁场基础，麦克斯韦方程组也是涡流检测的理论基础[1]。文献[2]和文献[3]在涡流检测解析计算方面做了很多研究，对于线圈正对导体平面的模型、线圈正对直角导体边缘的模型等均进行了解析计算方法的研究。文献[4]通过级数展开的方法计算了检测线圈正对导电平板时的瞬态涡流响应。

雷银照在时谐电磁场解析计算领域做了大量研究[5]。陈兴乐研究了放置在金属管道外的多匝鞍形激励线圈的涡流解析解以及探头线圈的感应电动势的数学表达式[6]，然后建立了圆柱形线圈位于圆盘状导体上方的模型，采用拉普拉斯逆变换的方法推导出涡流场的时域解析解，并根据结果提取了测量导体厚度的特征量[7]，后来，陈兴乐针对任意放置在金属管道外的激励线圈模型在脉冲涡流场下的时域解析解进行了计算[8-9]。文献[10]通过解析计算方法得到了涡流传感器的阻抗表达式，与仿真结果一致。

1 涡流检测模型的建立

如图1所示，本文中使用的线圈模型是一个激励线圈和一个检测线圈，激励线圈位于检测线圈正上方。将检测线圈与激励线圈分离，且激励线圈位于检测线圈的正上方，检测线圈靠近被测试体，检测线圈受到激励场的影响就会变小，而感生涡流变化对检测线圈的影响就会更明显地体现出来，平板导体相对于检测探头可以看作无限大。采用有限元仿真软件Maxwell进行涡流检测仿真分析，整个模型的参数如下：激励线圈内径为9mm、外径为15mm，检测线圈内径为2mm、外径为5mm，平板导体的尺寸为100mm×100mm×25mm，相对磁导率为1，金属导体电导率为1300000S/m，线圈均为铜制材料，提离距离0.2mm。

图1 涡流检测模型图

2 激励线圈矢量磁位的解析计算

要求解激励线圈放置在空中时的矢量磁位表达式，首先求解单匝线圈放置在空气中的矢量磁位表达式。如图2所示，线圈位于平板导体的几何中心，且平板导体与线圈都是轴对称的，所以整个系统是轴对称的。在分析计算时，选用柱坐标系，线圈的轴与柱坐标系的Z轴重合。单匝线圈会将导体上方空间区域分成上下两部分，将线圈上方的区域记为Ι，线圈下方、导体上方的区域记为Ⅱ，导体下方的区域记为Ⅲ。

图2 单匝激励线圈和平板导体

由麦克斯韦方程组可以推导出区域的矢量磁位表达式为：

上面考虑的是单匝线圈置于空气中时矢量磁位的表达式，假设多匝线圈的内外半径分别为和，设和分别为激励线圈的上下边界。多匝线圈可以近似地看作是单匝线圈在不同高度和半径处的线性组合，因此对于多匝线圈的矢量磁位表达式可以写作：

将式（1）代入式（3）中可得：

连立方程求解得到：

3 检测线圈感应电动势的解析计算

根据感应电动势计算公式，激励线圈在检测线圈中产生的感应电动势为：

将式（7）代入式（13）中可得：

此时，整个系统是均匀、线性且各向同性的，因此整个系统必定是满足叠加定理的。我们可以将导体想象成由无数个具有矩形截面的体电流元组成，而每一个体电流元都可以看作一个单匝线圈。取任意位置处的体电流元为研究对象，将其看作是单匝线圈，截面是一个矩形，设该截面面积为。体电流元的上方记作区域，体电流元的下方记作区域，根据上一节的式（1）和（2）可以得到该体电流元在区域和区域中产生的矢量磁位：

我们已经知道了体电流元在检测线圈中产生的矢量磁位分布，设该体积为的体电流元在检测线圈中产生的感应电动势为，根据感应电动势计算公式可得体电流元在检测线圈中产生的感应电动势为：

则整个导体在检测线圈中产生的感应电动势为：

检测线圈中总的感应电动势则为：

直接手工计算上式十分困难，本文采用的是python的Scipy模块和Numpy。由贝塞尔函数的递推性，将式（21）进一步展开为：

要计算导体内的涡流在检测线圈产生的感应电动势，需要对平板导体进行划分，由于涡流主要集中在导体近表面和中心的区域，因此可以选取半径30mm、深度20mm的区域为计算区域来划分体电流元，以径向为0.2mm、深度为0.2mm的间隔划分计算区域，则可以划分为150*100个体电流元，由于是以导体表面的中心点为坐标原点，所以 和 的取值范围分别为(0,30)、(-20,0)。理论上划分得越精细，算出来的结果也就越精确。将式（17）的涡流密度表达式代入式（24）可得：

于是，检测线圈的感应电动势经过数值计算得到的结果为：

检测线圈感应电动势的幅值为4.72mV，通过仿真计算得到的结果为4.9mV。而之所以存在误差，是因为我们在表达激励线圈的电涡流密度时，使用了近似的表达式，另外，在选择计算区域来划分体电流元时与实际情况也存在出入，造成了计算与仿真结果之间的误差。

4 结论

本文主要介绍了单匝激励线圈置于空气中时，线圈上下区域的矢量磁位表达式，再结合第一类与第二类边界条件得出导体部分的矢量磁位。将导体假设为由无数个可视为单匝线圈的体电流元组成，便可推导出体电流元在检测线圈中产生的矢量磁位表达式，根据感应电动势计算公式可得单个体电流元在检测线圈中产生的感应电动势，再对整个导体体积进行积分得到检测线圈的感应电动势的解析计算公式，并利用仿真验证了该积分解析模型的准确率达到了95%以上。