不怕错　要有措

陈俊

同学们只有对“等可能条件下的概率”的概念理解透彻，才能正确解决与之有关的实际问题。现举例剖析，希望对同学们的学习有所帮助。

一、理清事件发生的随机性

例1 判断：在做抛掷一枚硬币试验时，小丽连续抛了20次，发现硬币落地后共有7次正面（国徽）朝上。小丽说：“我可以确定硬币落地后正面朝上的概率是[720]。”

【错解】正确。

【剖析】“连续抛了20次，发现硬币落地后共有7次正面（国徽）朝上。”这只能说明本次试验正面朝上的频率为[720]。只有当试验次数足够多时，频率值才趋近于概率值。正面朝上和反面朝上是等可能出现的。大量试验数据表明，正反面朝上的概率各占[12]。故小丽的说法错误。

例2 如果某种奖券的中奖概率为[11000]，那么买1000张奖券一定能中奖吗？

【错解】因为奖券中奖的概率为[11000]，那么买1000张奖券中奖的概率为[11000]×1000=1，所以买1000张奖券必有一张中奖。

【剖析】因为买1000张奖券相当于做1000次试验，而每次试验的结果都是随机的，即每张奖券可能中奖，也可能不中奖。由概率的意义可知，只有当买的奖券足够多时，中奖的奖券数与买的奖券的总张数之比才在[11000]左右摆动。因此，1000张奖券中可能没有一张中奖，也可能有一张、两张甚至多张中奖。故买1000张奖券不一定能中奖。

二、弄清事件发生的等可能性

例3 小明、小强和小文三人做游戏：抛两枚硬币，若出现的结果都是正面朝上，则小明赢；出现的结果都是反面朝上，則小强赢；出现一正一反朝上，则小文赢。这个游戏规则公平吗？为什么？

【错解】公平。因为结果要么都是正面朝上，要么都是反面朝上，要么就是一正一反朝上，所以三人赢的概率均为[13]。

【剖析】抛掷两枚硬币，朝上的面共有4种等可能的结果。其中，一正一反朝上的概率要比两正朝上和两反朝上的概率大。画树状图便可一目了然，如下图：

由树状图可知，P（两正）=P（两反）=[14]；P（一正一反）=[12]。所以小文赢的概率较大，此游戏不公平。

三、看清题目中条件的重要性

例4 在一个不透明的口袋里有四个完全相同的小球，把它们分别贴上标号1、2、3、4。小明随机摸出一个小球记下标号，然后不放回，再随机摸出一个小球，记下标号。两次摸出的球的标号之和小于5的概率是多少？

【错解】用枚举法分析，共有16种等可能的结果，分别为（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，4）。其中标号之和小于5的共有6种，概率为[616]=[38]。

【剖析】本题要看清“不放回”这个关键词，意味着两次摸出的球不可能是同一个。用列表法分析如下：

由表格可知，共有12种等可能的结果，其中标号之和小于5的结果共有4种，概率为[412]=[13]。

在解决概率问题时，我们若要避免各类常见错误的出现，就需要保持清晰的思考和正确的逻辑推理过程。只有认真审题，理清思路，才能得出准确、可靠的结论。

（作者单位：南京师范大学第二附属初级中学）