自回归分析法在建筑物沉降监测中的应用

张耀文 孙 豪 邹春红 苏淑娟 张振晗

(山东省地震局烟台地震监测中心站,山东 烟台 264000)

0 引言

建筑物变形监测和分析的重点是研究建筑物的空间特性和动态变化。目前采取的主要方法是周期性观测变形特征点，通过监测数据的筛选、处理分析和模拟计算，表征监测点变形量(例如沉降、位移等)与时间的函数关系，进而呈现建筑物变化规律。变形监测数据模拟方法较多，常用的有时间序列法、卡尔曼滤波、小波分析、回归分析法、神经网络等。

回归分析法是指根据数理统计原理，以大样本数据为基础，建立自变量与因变量之间的数学表达式，并以此预测后期因变量变化情况的方法。建筑物变形分析中，使用回归分析方法建立变形量与影响因子间的数学函数式，即回归方程，根据建立的回归方程分析建筑物的变形情况，并利用回归方程预报未来某时刻的位移量[1]。本文采用自回归模型(Autoregressive Model, 简称AR)对建筑物的特征点观测数据进行变形分析。自回归模型依据建筑物变形量与时间存在的函数关系，使用实时监测变形数据建立模型，通过模型阶数求解及F检验准确性，最终确定动态预报方程。

1 自回归分析模型最小二乘估计

1.1 自回归分析模型

模型的数学表达式:

xt=φ1xt-1+φ2xt-2+…+φpxt-p+at

(1)

Vt=φ1xt-1+φ2xt-2+…+φpxt-p+at-xt
t=p+1,p+2,…,N

(2)

矩阵形式为:

V=Xφ-Y

(3)

其中:

按最小二乘得自回归模型系数为:

φ=(XTX)-1XTY

(4)

1.2 自回归分析模型阶数P的确定

模型阶数P的确定,在时间序列分析理论中是随着自回归模型同时确定的,要借助于自相关函数和偏相关函数[3]。变形数据分析时,若采用AR模型,一般使用线性假设法确定阶数P。

线性假设法[4]的原理是:先设阶数为P-1,进行平差,求得其残差平方和EP-1,再设阶数为P进行平差,将求得的残差平方和EP,考虑自由度与P-1阶比较,如果结果差别并不显著,P阶不必考虑,即采用P-1阶为宜,其平差模型为在(2)式下再附加线性假设条件。

HP∶φP=0

(5)

联合(2)和(5)式平差,即为P-1阶模型,残差平方和EP-1=(VTV)P-1。若不计算(5)式,即是P阶模型,平差得EP=(VTV)。

作F检验统计量[5]:

(6)

选定显著水平α,查F分布表得分位值F(α,1,N-2P),如F>F(α,1,N-2P),则线性假设H0不成立,φP≠0,p阶与p-1阶模型有显著性差别应采用P阶,否则说明p阶与p-1阶没有显著性的差别。

2 应用算例

某市某楼盘,周围布设变形点16个,进行一系列沉降观测,观测周期为7天。本文对变形点(D8)进行自回归模型分析与预报。前12期数据作为自回归模型的建模和正确性检验的数据,求得动态预测模型后对后面的3期数据进行预测。D8点的原始观测数据列于表1。

表1 D8点原始沉降观测数据表 单位:mm

2.1 模型阶数p的确定

当P=1时,xt=φ1xt-1+at(t=2,3,…,12),求得E1=0.038 0。

当p=2时,xt=φ1xt-1+φ2xt-2+at(t=3,4,…,12),求得E2=0.030 3。

统计检验:

F(0.05,1,8)=5.32F

当p=3时,xt=φ1xt-1+φ2xt-2+φ3xt-3+at(t=4,5,…,12),求得E3=0.028 1。

统计检验:

F(0.05,1,6)=5.99F

检验结果表明p=3不显著,故应取模型阶p=2。

2.2 模型参数估计

由(4)式得:

自回归分析模型方程为:

xt=φ1xt-1+φ2xt-2=0.026 5xt-1+0.9728xt-2。

2.3 自回归模型分析与预报

根据最小二乘估计求的模型方程,对后面的3期数据进行预报计算。计算成果列于表2。自回归模型的计算值与实测值比较见图1。

表2 自回归分析模型预测值与实测值比较 单位:mm

预报结果显示,自回归模型预报精度较高,最小误差2mm,最大误差8mm,在建筑物变形监测数据处理中是切实可行的,预报误差具有一定的累积性,随着预报步数的增大,预报误差逐渐变大,因此,可以通过实时加入新的观测数据已修改模型。

图1 自回归分析模型残差表

由图1可知:自由回归模型的拟合误差在5mm以内,个别点最大为6mm,由于变形监测周期为7天,所以沉降速度小于1mm/d,这与建筑物实际的均匀沉降状态相吻合。而在15期的预测值,沉降速度超过2mm/d,主要原因在于其为三步预报过程,有前两期预报值的累积误差,需将前两期的观测数据加入自回归模型修正后,再计算预报值。以上数据表明,自回归模型是有效的用于建筑物沉降预测的模型,模拟结果符合建筑物的动态变形规律。

3 结 语

本文通过实例计算给出了自回归模型在建筑物变形监测数据处理中的全过程,证明了此方法切实可行,且精度较高。但在使用过程中有如下几点不足:

(1)自回归模型随着预报步数增加，精度逐渐下降，为提高预报精度，需及时增加新观测数据，重新计算模型，以提高短期预报精度。

(2)模型主要应用于线性数据处理，对非线性数据处理结果精度较低，若对非线性数据处理时，需前期对原始数据进行数据预处理，以提高数据处理精度。

(3)自回归模型计算过程中，实测数据相对较少，模拟过程具有一定的偶然因素，可通过后期大量监测数据进行验证。