新课程背景下初高中数学教学的衔接研究
——从初高中“代数运算”衔接的角度进行分析

吴加火

(福建省大田县第一中学,福建 三明 366100)

在2022年印发的《义务教育阶段数学课程标准(2022版)》中延续了《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》所倡导的数学学科核心素养[1].数学运算作为核心素养的行为表现之一,具有整体性、一致性和阶段性的特征[2],各个阶段对运算能力的要求都有所不同,小学阶段主要以数的运算为主,初中阶段的运算还要求对数与式、方程与不等式、函数性质进行探讨,而高中阶段的运算对象具有多样性的特征,应用的领域也更加广泛,注重数学思维品质以及科学精神的培养.

数学运算是数学思维表现的基本形式之一,实数的运算和代数式、方程、函数中的各种运算为数学思维的运作提供了具体问题或思考素材,使初高中的数学学习可以融会贯通,都需要经历观察、猜想、归纳、实验与类比等,逐步揭示出事物的本质[3].如何将蕴含在初中数学知识中的数学思想方法提炼出来?如何在初中阶段就开始培养学生适应高中数学教学的学习习惯和思维方式?高中阶段又该如何将初中数学运算作为新知识教学的“生长点”?等等.关于初高中教学衔接的这些问题是值得我们深入思考和研究的.本文拟以“代数运算”为切入点,探究实现初高中数学衔接的有效教学途径和方法.

1 关于初高中代数式结构识别的对比

数学的运算符号具有高度的抽象性,要能深刻理解它的内涵需要让学生获得足够的数学活动体验[4].

在符号运算过程中,通过识别数学关系揭示符号运算的本质,并将发现的数学关系用符号表示出来,逐步形成归纳和演绎的数学思考方式.初中教材直观性强,课后习题变化小,内容坡度缓,足够多的例题有利于教师引导学生抽象出研究对象的关系,并用符号建立相应的数学模型[5].高中阶段的教材概念较多,使用的符号也多,有着严格的定义,又要求严格论证,之所以初高中脱节主要集中在数学学习过程中,学生只重视结论性知识的运用,而忽略结论推导中的过程性知识.

笔者在本县县域选取了多所初高中校,到各年级中抽取部分学生(生源分布在乡镇和城区,质量有高有低),以下是采用问卷调查的方式获得关于符号理解的调查结果.

能够说出“sinθ、cosθ、tanθ”所表示的边角关系,初中为43.5%,高中为56.7%;

从以上调查的部分结果可以看出:初高中生在理解运算符号的意义上存在一定的差距,初中的符号识别及运用法则进行计算相对较弱,高中生的相对较强.

2 关于初高中代数运算课程及教学的对比

高中阶段的数学代数运算是初中数学代数运算的延续,虽然内容有所不同,但基本运算思想还是共通的[6].

初中阶段,学生在七年级有了整式的四则运算、多项式与多项式相乘的铺垫,在八年级又经过将有理数系的扩充到实数系的准备,逐步过渡到九年级认知方程根与系数的关系,获得对方程本质的感悟,最后在高中阶段的函数与方程、解析几何等问题的解决中领悟“代数方法解决几何问题”的数学方法.

初中阶段中对负数意义的感悟可以从这两个角度:一是现实中具有相反意义的两个量;二是数学加减运算的封闭性[7].初中阶段对整式的乘法法则的解释是采用几何直观的方式,从观察示图、做一做、想一想逐步过渡到以演绎为主的推理,发现或构建数学符号结构中的几何意义,初步感悟数形结合的思想.

初中阶段是指数运算法则的推导及运用的准备和铺垫.高中阶段,在指对数运算的教学中,构建现实问题情境,从而引出对数运算的需求.这个过程突出了初高中数学代数运算的衔接关系,让学生感悟两种运算之间的可逆转换关系,然后运用类比特定对象的教学方式得到了对数的运算法则.这是对初中数学代数运算的进一步深化,既体现了从问题情境中抽象出核心变量及变量间的关系,并要求能用数学符号予以表达,也体现了初高中课程、教学衔接的发展与变化.

3 核心素养落实贯穿于初高中数学教学的整个过程

数学学科核心素养的培养过程是一个持续不断、前后联系的过程[8].初中阶段的数学教学要为发展学生数学学科核心素养打下一定的基础,储备一定程度的数学知识,积累一定的数学活动经验,创造有利于培养高中阶段数学学科核心素养的条件.新课程标准中提到:“通过经历独立的数学思维过程,理解概念和法则的发生与发展,合乎逻辑地解释或论证数学规律,经历数学‘再发现’的过程”[9].

3.1 在探究概念和法则的形成过程中落实逻辑推理、数学抽象素养

代数运算的主要内容是运算法则的形成与运用,为有效落实逻辑推理、数学抽象素养,可以采取归纳的教学方式.

3.2 在代数运算教学中发展数学抽象、数学运算和直观想象素养

实践表明,引导学生探究自然现象或现实情境所蕴含的数学规律,让学生经历逐级抽象的过程,可以发展数学抽象、数学运算和直观想象素养.对于一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系探究中,要着眼于对关系的理解,尽可能采用多种表达方式,比如图象语言、符号语言或者自然语言,让学生逐步认识到三者之间的内在联系.

3.3 在代数运算的综合运用的教学中培养学生初步的数学建模素养

初中阶段“代数运算”中包含的几个重要数学模型有:整式运算模型、分式运算模型、一元一次函数模型、抛物线模型等.高中阶段“代数运算”中包含的几个重要数学模型有:指数函数模型、对数函数模型、三角函数模型、数列模型等模型.教学中应让学生经历建模、求解、验证、反思完整的数学建模过程,逐步培养学生的数学模型观念[10].

初高中的衔接,即将学生在初中阶段已经积累的知识体系有机融入到高中阶段新的知识体系中,衔接的内容应结合数学建模这一核心素养的发展性、持续性和阶段性的特征.

4 写在最后

通过比较初高中课程、教学中关于代数运算的内在联系,初高中的数学知识之间有着逐级上升、由具体到抽象的变化过程.笔者认为,要有效实现初高中数学代数运算课程、教学的衔接应当注意以下几点.

4.1 注重代数运算课程内容的整体性和一致性分析

初高中代数运算课程内容具有整体性和一致性的特征,应分析课程内容的本质特征、相关内容的内在联系、关键概念及核心素养.算理是算法的理论依据,算法是算理的实践策略,强化算法和算理的理解,掌握正确的算理,形成合理的算法.

4.2 重视代数运算教学目标中核心素养的达成

教学目标要特别重视核心素养的达成,运算法则是代数运算的核心内容,在知识形成的发生、发展过程中促进学生数学推理和数学抽象素养的发展.

4.3 突出代数运算核心概念的深度学习

2022年版新课标指出:“聚焦核心概念的关键内容的深度学习,深刻理解掌握所学内容,形成相关的核心素养,……”“位值制、计数单位、相加、相等、运算律……”等这些数学运算的核心概念是中学数学知识的重要基础,是能将跨主题、跨学科内容联系在一起的有利工具,核心概念的理解要贯穿初高中数学运算教学的始终.

4.4 关注学生获得深度探究的代数运算活动经验

通过选择贴近学生生活实际的问题情境,帮助学生充分认识运算对象,提升转化能力和意识,经历观察、猜想、归纳、实验与类比等或者推理,将生活经验转化为数学活动经验,逐步发展数学抽象、直观想象、数学建模素养,提升抽象能力、建模能力和运算能力.