基于灰色马尔科夫模型的广东春旱预测

梁秀兰，欧善国，潘蔚娟

（广州市气候与农业气象中心，广东广州 511430）

干旱是影响区域最广泛、发生最频繁、造成损失最严重的气象灾害之一，干旱灾害损失占气象灾害损失的50%［1］。每年3到4月上旬是春耕春播用水高峰期，一旦出现春旱，无论是北方的小麦还是南方的水稻，其正常生长都会被扰乱。因此，建立春旱年预测模型进行春旱预测，对农业生产及早做好防旱措施具有重要意义。

当前，全球范围内已研发很多事件发展趋势预测法，其中灰色理论预测法是其之一，其主要优点在于实现“小数据”不确定性问题的有效分析、评价和预测，但同时也存在对随机波动性较大数据难以预测的缺限；而马尔科夫模型因具有无后效性，即事物出现的状态只与其前一次的状态有关，可以弥补灰色理论预测的局限［2］。国内在干旱或者降水量预测研究方面，要么仅用灰色理论预测法［3］，要么仅用马尔科夫预测法［4］。而广东干旱研究主要集中于干旱过程识别、时空变化特征以及环流成因分析等［5-7］，而近年涉及干旱预测的科技论文仅有1篇，也是单独使用灰色理论预测法［8］。因此，本研究以具有代表性的广州春旱为研究对象，尝试将灰色理论预测法与马尔科夫预测法结合起来，探索用灰色马尔科夫预测模型提高广东地区春旱预测的精度，以期为干旱预测研究提供新的思路。

1 资料与方法

1.1 资料

选用1993—2022年广州5个国家气象观测站30年春季降水量资料求平均，建立广州市春季降水量变化序列，在此基础上根据气象干旱等级标准构建春旱灾变序列。

1.2 方法

1）建立气象春旱灾变序列。

判断干旱的指标有很多，其中年降水量可作为气象干旱指标之一。根据《气象干旱等级》（GB／T 20481-2017）［9］中气象干旱等级标准是依据降水量距平百分率≤-15%作为出现干旱的界线，即

其中，R为某年年降水量（mm）；¯R为多年平均年降水量（mm）；Rv为降水量距平百分率（%）。把符合干旱标准的年份挑选出来，定为干旱年，形成干旱灾变序列。春旱的标准及形成的春旱灾变序列也采用同样的方法解决。

2）应用灰色系统理论进行预测。

灰色模型的基本思想是累加生成。通过序列累加生成来弱化原始数据的随机性，将离乱的原始数据中蕴含的积分特性或规律充分显露出来，是挖掘不确定性信息演变规律与发展趋势的一种数据处理方法。GM（1，1）预测模型是最基本的预测模型，其建立过程如下：

①记：

②作一次累加生成序列：

③生成紧邻均值生成序列：

④建立差分方程：

⑤相应的白化微分方程为

⑦GM（1，1）相应的函数预测模型为

对其再作累减还原，得到原始序列X（0）的预测值，

得到还原成原始序列的预测模型为

3）灰色模型的精度检验。

通常采用相对误差大小检测法、后验差比检测法和小误差概率检测法这3种方法检验预测模型精度，精度分级见表1。

表1 预测模型精度分级

4）应用马尔科夫模型进行预测残差修正。

（1）划分状态区间。根据样本数量和相对误差范围，将灰色预测的相对误差分为n个状态区间，每个状态区间都可以表示成Ei＝［e1i，e2i］，其中e1i表示区间的最小值，e2i表示区间的最大值。

（2）计算状态转移概率矩阵。设fij为状态Ei经过k步转移到状态Ej的频数，fi为状态Ei出现的总频数，则状态转移概率矩阵从而得到状态转移概率矩阵P：

（3）计算状态转移概率向量。假设初始时刻的状态转移概率向量为A（0），那么状态转移概率向量A（k）为：

取概率向量中概率最大的状态。

（4）预测值的修正。已知所属状态Ei的状态区间，结合灰色预测值＾X（k），有灰色-马尔科夫模型预测表达式［10］为

其中，若实际值＜灰色预测值，则式（11）分母中符号取+；若实际值＞灰色预测值，则取-；若相等则不对其进行优化修正。

5）采用新陈代谢方法求预测值。

根据灰色系统理论的“新信息优先原理”，采用新陈代谢方法，将预测值作为新信息加入，剔除最早的数据信息，然后对下一时刻进行预测，提高模型的预测精度。

2 分析与检验

2.1 干旱灾变序列的建立

把1993—2022年广州春季降水量序列作原始数据，计算出广州春季30年平均降水量值；再参照年干旱标准，以春季降水量距平百分率≤-15%作为春旱标准筛选组成广州春旱年序列X（0）＝｛1995，1996，1997，1999，2002，2003，2009，2011，2018，2021，2023｝，共有11个数据。根据灰色系统理论的“新信息优先原理”，灰色预测最好的数据是选择最新的5～8个数据［11］。因此，本研究选取最近的｛2021，2013｝数据序列作为春旱预测模型测试集，而与测试集时间最接近的7个数据序列｛1997，1999，2002，2003，2009，2011，2018｝作为训练集用于构建模型。

2.2 干旱预测模型的构建

根据上述建模步骤，利用Matlab软件进行处理，得到GM（1，1）预测模型为

其中，a＝-0.001 8，b＝1 992.402 5，X（0）（1）＝1997。

2.3 预测模型模拟精度检验

根据式（12）得到1997—2018年广州春旱灰色模型模拟结果及精度检验结果，见表2。

表2 广州春旱序列灰色预测模型模拟结果

从表2运算结果可知，模型的平均相对误差e＝0.000 5、后验差比值C＝0.188 9、小概率误差P＝1，对照表1可知模型精度等级为1级（优秀），但预测值与实际值有一定的差距，所以可用马尔科夫优化该灰色模型进一步提高预测精度。

2.4 马尔科夫优化

由表2可得灰色模型预测结果相对误差区间为［-0.001 1，0.000 9］。将该区间划分为3个状态区间，分别为［-0.001 1，-0.000 4），［-0.000 4，0.000 2），［0.000 2，0.000 9］。春旱灾变序列状态划分如表3所示。

表3 广州春旱序列状态划分

根据式（12）可得马尔科夫优化转移概率矩阵为

对广州春旱灰色模型进行优化，根据式（11）计算出X（0）（2）-X（0）（7）的灰色-马尔科夫模拟值，并计算出平均相对误差、后验差比和小误差概率，计算结果见表4。

表4 广州春旱灰色-马尔科夫模型优化结果表

从表4可知，灰色GM（1，1）预测模型优化后的平均相对误差e缩减为0.000 1、后验差比值C缩减为0.062 9、小概率误差P为1。另外，从灰色模型、灰色马尔科夫模型预测模拟值和实际值对比曲线图（图1）可见，灰色马尔科夫模型预测较之灰色模型，其大部分数据点更接近实际值，数据走势和实际值的走势大致相同，更能准确反映数值波动。因此，用马尔科夫模型优化灰色模型可以提高模型预测精度。

图1 广州春旱发生年份实际值与模型计算值对比图

2.5 预测模型预测精度检验

根据马尔科夫模型的预报经验，选择距预测年份最近的4年作为预测基础年份，根据各年份的状态及转移步数计算累积转移概率，从而推出（8）的状态。经计算，（8）的可能状态为3，即状态转移概率向量为［0，0，1］。

根据式（11）计算出X（0）（8）的灰色-马尔科夫模拟值为2020.947 9，优化结果与实际值X（0）（8）＝2021相符。根据公式（9）得（9）的可能状态为1；同理得（9）优化结果为2022.005 5，表示2023年出现春旱，与实际值X（0）（9）＝2023基本相符，证明灰色-马尔科夫模型可用于春旱年份预测。

2.6 后续春旱预测

由于灰色GM（1，1）预测是根据前期变化规律对后期做模拟演变延伸预测的，因此不适用于长期预测。在实际应用中宜采用新陈代谢方法，即把旧序列｛1997，1999，2002，2003，2009，2011，2018｝更新为｛2002，2003，2009，2011，2018，2021，2023｝，按照上述方法求出X（0）（10）＝和（11）＝2031.703 7，故预测春旱年分别为2030和2032年。

3 讨论

传统的灰色GM（1，1）预测模型的模拟结果平均相对误差e＝0.000 5、后验差比值C＝0.188 9、小概率误差P＝1，模型精度等级为1级（优秀）。通过马尔科夫模型优化后，预测模型的平均相对误差e缩减为0.000 1、后验差比值C缩减为0.062 9。从灰色模型、灰色马尔科夫模型预测模拟值和实际值对比曲线图可以看出，灰色马尔科夫模型预测较之灰色模型，其大部分数据点更接近实际值，数据走势和实际值的走势大致相同，更能准确反映数值波动。因此，用马尔科夫模型优化灰色模型可以实现模型优化，提高模型预测精度。本研究用灰色马尔科夫预测模型进行广东地区春旱预测，是广东乃至全国干旱预测的一项创新探索。

GM（1，1）预测模型是灰色理论研究中最基本的预测模型，该建模对象仅为一条时序数据，通过挖掘蕴含在时序数据中的系统运行规律，实现系统发展趋势的预测。该模型因具有建模过程简单优点，是目前灰色预测模型应用最广的模型，但因其仅分析单一变量的变化规律，不能反映外部环境变化对系统变化趋势的影响，有较大的局限性。鉴于春旱的发生受多种因素的影响［12-13］，在后续的研究中，需要建立多变量的GM（1，N）模型进行关联预测，以期实现更精准的预测结果。