一种基于多卷保守混沌系统的伪随机信号发生器的设计及实现

贾红艳，李 伟，刘靖雯

(天津科技大学电子信息与自动化学院，天津 300222)

伪随机序列产生技术是集数学、计算机科学、电子与通信科学等诸多学科于一身的技术，该产生技术自20 世纪末至今一直是国内外的研究热点，并取得了大量的成果[1-2]。混沌系统的伪随机性、宽带功率谱、对初值敏感性等特性表明它能够有效地产生伪随机信号[3-6]。由混沌系统迭代产生的序列经量化和判决后可得到伪随机序列，其主要优点是具有良好的相关特性以及对初始条件和控制参数的敏感性，同时该伪随机序列便于产生和复制，因而可以取代传统的伪随机序列[7-11]。最初，基于混沌系统产生的伪随机信号通常由模拟电路产生，常用于保密通信研究。然而，模拟电路的元器件易受温度、外界磁场强度等因素影响，影响了伪随机信号的性能[12-14]。近几年，随着电子技术的快速发展，使利用数字电路设计伪随机信号发生器成为可能。现场可编程门阵列(FPGA)作为数字混沌电路的有效实现方法之一，能够很好地解决模拟电路中存在的问题[15-19]。目前，FPGA 被大量使用在通信设备上，通过FPGA 设计基于混沌系统的伪随机信号发生器，可以为保密通信提供新的物理模型[20-25]。另外，与单卷或双卷保守混沌系统相比，多卷保守混沌系统具有遍历性和复杂性好、伪随机性强，且混沌序列类似于均匀分布白噪声等优点，更适合用于保密通信[26-30]。因此，本文提出一种多卷保守混沌系统，在对其特性进行分析的基础上，利用FPGA 技术设计伪随机信号发生器，进一步丰富现有混沌系统模型与伪随机信号发生器种类。

1 多卷保守混沌模型

1.1 一种多卷保守混沌系统

基于现有哈密顿保守混沌系统理论基础，提出混沌系统模型，为

式中：x、y、z、w 为状态变量，a、b、c、d 为大于0 的参数。

改变参数d 的值可以控制系统相图涡卷中心点的位置。通过改变系统哈密顿能量的不变曲面拓展平衡点，理论上能够得到任意卷数的混沌流，但实际实施起来的难度随着卷数的增加而增大。因此本文选取固定参数a= 6、b = 4、c = 6、d = 1.2，绘制2 ×3六卷保守混沌流。

时，系统可以表示为

可以观察到系统 J ( x) 为反对称矩阵，即哈密顿能量的导数为

即，哈密顿能量为常数，说明系统(1)满足哈密顿能量保守。

进一步发现，系统的散度为

即，散度为零，说明系统(1)同时满足体积保守。

1.2 基本动力学特性

从数值角度研究系统的动力学特性，当系统哈密顿能量为常数即导数为零时，表明系统哈密顿能量保守。系统(1)哈密顿能量只与参数和初值有关，设定初值 x( 0) = y ( 0) = w( 0) = z (0) = 1.8时，计算哈密顿能量H ( x ) ≈-3.26。绘制系统(1)的哈密顿能量及其导数随时间t 的变化如图1 所示，可以观察到哈密顿能量为非零常数，哈密顿能量的导数为零，即系统(1)的哈密顿能量保守。

图1 哈密顿能量及其导数图Fig.1 Hamiltonian energy and its derivatives

为了进一步研究参数变化对系统动力学特性的影响。绘制 y( 0) = w( 0) = z (0) = 1.8时，系统的李雅普诺夫指数随 x (0)变化的图像，结果如图2 所示。其中，EL1、EL2、EL3、EL4分别表示x、 y 、 z 、 w 4 个状态变量的李雅普诺夫指数。可以观察到系统(1)最大李雅普诺夫指数大于零，即在相应初值条件下系统处于混沌状态，且李雅普诺夫指数关于x 轴对称，表明李雅普诺夫指数和为0。进一步从李雅普诺夫指数角度说明系统(1)相体积保守。绘制同等条件下系统(1)的分岔图，如图3 所示。

图2 李雅普诺夫指数图Fig.2 Diagram of Lyapunov exponents

图3 分岔图Fig.3 Bifurcation diagram

根据对系统的哈密顿能量、李雅普诺夫指数图与分岔图进行分析，当初值为(1.8，1.8，1.8，1.8)时，系统处于保守混沌状态，绘制系统的相轨迹图如图4 所示，可以观察到此时系统为分别沿x、y 方向的2 ×3 六卷保守混沌流。当初值为(0.3，1.8，1.8，1.8)时，系统处于拟周期状态，绘制系统的相轨迹图如图5 所示。

图4 初值为(1.8，1.8，1.8，1.8)时系统的相轨迹图Fig.4 Phase trajectory diagram of the system with initial values of(1.8，1.8，1.8，1.8)

图5 初值为(0.3，1.8，1.8，1.8)时系统的相轨迹图Fig.5 Phase trajectory diagram of the system with initial values of(0.3，1.8，1.8，1.8)

2 伪随机性测试

采用最具代表性且被普遍认可的美国国家标准技术研究所(NIST)SP800-22 测试标准进行伪随机性测试。该标准将理想的随机序列作为参考，在统计特性上从不同角度检验目标伪随机序列的偏离程度，其中包括15 项测试指标。15 项测试结果均用P 值表示，能通过测试的序列具有良好的伪随机性能。

所有测试均取显著性水平α= 0.01，测试序列15组，可定义通过率的置信区间为(0.970 2，1.009 8)。通常只有满足以下3 个条件时，才能通过测试：(1)每一项测试结果的 P 值都大于显著性水平(α= 0.01)；(2)测试序列的通过率位于置信区间(0.970 2，1.009 8)内；(3)P 值的分布应该服从均匀性分布。

数据测试结果见表1。通过表1 的各项测试结果数据可以看出，系统(1)的15 项测试的P 值均大于显著性水平(α= 0.01)，并且系统(1)的15 项测试的通过率均位于置信区间内，因此该系统满足条件(1)和条件(2)。15 组数据P 值均应服从均匀性分布，本文以非重叠模块匹配检验P 值为例进行验证，P 值分布的直方图如图6 所示。由图6 可以观察到非重叠模块匹配检验P 值的分布相对均匀，无分布差距比较明显的区间，即满足条件(3)。

表1 数据测试结果Tab.1 Test results for the data

图6 非重叠模块匹配P 值的分布Fig.6 Distribution of matching P-values of nonoverlapping modules

3 伪随机信号发生器物理实现

FPGA 具有非常丰富的运算单元，运算速度极快。目前，通过FPGA 技术实现连续混沌系统的方法主要包含两种。

(1)利用FPGA 特有的编程语言Verilog HDL、System Verilog、VHDL 对混沌系统进行描述，编写程序完成对混沌系统的物理实现。

(2)使用Xilinx 公司提供的System generator 技术或者Intel 公司提供的DSP-builder 技术，在MATLAB 的Simulink 开发环境下，从上述两项技术的软件库中调取现有的硬件模块，搭建离散化后的混沌系统模型。

第一种方法程序编写十分困难，且产生的混沌信号不能被其他系统模块直接调用，不利于后续再进行其他研究；第二种方法不需要太多的编程基础，容易实现。本文系统结构相对简单，不需要占用太多硬件资源，因此采用第二种方法对混沌系统进行物理意义上的实现，验证其物理可实现性且产生伪随机信号。在设计电路模型时，采用欧拉法对系统进行离散化。

式中：Δ T= 0.001，为离散采样时间；x ( n )、 y ( n )、z ( n )、 w( n )为当前时间的迭代序列； x ( n+ 1)、y( n+1) 、z( n+1) 、w ( n+1) 为下一周期的迭代序列。

对离散化后的系统进行物理仿真，在Simulink中搭建初值为(1.8，1.8，1.8，1.8)时系统的电路模型，如图7 所示。子模块1 的电路模型如图8 所示，子模块2、3 的电路模型如图9 所示。

图7 系统的电路模型Fig.7 Circuit model for the system

图8 子模块1的电路模型Fig.8 Circuit model for the subsystem 1

图9 子模块2、3的电路模型Fig.9 Circuit model for the subsystems 2 and 3

图7在示波器观察到随时间变化且无序的随机信号，截取其中一段y 信号波形图如图10 所示，同时观察到相轨迹图与数值分析结果一致，如图11 所示。

图10 通过示波器观察到的波形图Fig.10 Oscillogram observed by an oscilloscope

图11 通过示波器观察到的相轨迹图Fig.11 Phase trajectory diagram observed by an oscilloscope

4 结 语

本文提出一种保守混沌系统模型，该系统具有很好的遍历性与伪随机性，同时满足哈密顿能量守恒与体积守恒。通过NIST 测试验证了该系统能够产生符合3 个标准条件的伪随机信号。利用FPGA 技术设计了实现该系统的混沌电路，观察实验结果与数值仿真结果完全相同。本研究为混沌系统应用研究提供了一种新的保守混沌系统模型及伪随机信号发生器，进一步丰富了基于保守混沌系统的伪随机信号发生器的种类。