基于凸优化模型的FIR滤波器组设计

丁 逊,周 骏

(中国船舶集团有限公司第八研究院,南京 211153)

0 引 言

数字滤波器按照脉冲响应时域特性可分为有限脉冲响应(Finite Impulse Response,FIR)滤波器和无限脉冲响应(Infinite Impulse Response,IIR)滤波器,其中数字FIR滤波器[1]的特点是其输出仅取决于之前和当前的输入值,输入具有任意幅频分布的数字信号后,能够保证输出信号的相频特性仍然保持严格线性,因此广泛应用于测试技术、控制系统、信号处理、图像处理等领域。FIR滤波器常用的设计方法主要有频率抽样法、窗函数法和最优化设计法[2]:前两种方法分别从频域和时域角度出发,不能精确控制通带与阻带边界频率,通常通过提高滤波器的阶数来实现过渡带变窄,从而导致运算量加大;最优化设计法利用最小误差逼近作为设计思路,即通过一系列优化算法使得实际设计与期望设计的滤波器的幅度最大误差最小化[3]。本文以最小化滤波器输出的杂波功率为目标建立凸优化问题,类似于最小误差逼近思路。

本文主要针对带通滤波器组,在归一化后的频率范围内对杂波区和可用信号区进行频谱规划,对已规划的频谱分别建立满足约束条件的凸优化模型,从而将数字滤波器的优化设计问题转化为多参数的优化求解问题,利用凸优化算法来获取全局或近似全局最优解,即优化设计的滤波器系数。为了逼近理想带通滤波器的频率特性,通过在信号频谱规划内设计多组滤波器近似逼近频率特性,从而达到相应的滤波效果。该设计方法优点在于:一是可以根据先验杂波的频谱范围,适应性地调整信号频谱规划,从而改变滤波器组的频率中心,以覆盖变化的通带频率范围,抑制杂波的同时仍然保留相应的信号频率;二是针对滤波器组设计需求,快速批量生成滤波器组中每一个滤波器的系数,从而快速实现滤波器组的工程应用。

1 FIR滤波器及凸优化理论

1.1 FIR滤波器

FIR数字滤波器的频率响应可以表示为

(1)

其中:h(n)为滤波器系数;N为滤波器阶数。

h(n)值须在设计过程中确定,具有奇、偶对称两种情况,加上阶数N取值为奇偶两种情况,则线性相位FIR滤波器频率响应函数H(ejw)共有4种情况[4]。本文以阶数N为奇数分析前两类情况,后两类则分别对应阶数N为偶数的情况。第一类线性相位为

θ(ω)=-τω

(2)

其中:τ表示与ω无关的常数。

式(1)改写为

(3)

其中:sin[(τ-n)ω]为奇对称函数。

式(3)成立的条件是h(n)关于(N-1)/2偶对称,即要求

h(n)=h(N-1-n)

(4)

对于第二类线性相位,当θ(ω)=π/2-τω时,可得到

(5)

其中:cos[(τ-n)ω]为偶对称函数。

式(5)成立的条件是h(n)关于(N-1)/2奇对称,即要求

h(n)=-h(N-1-n)

(6)

由上述分析可以看出:冲激响应h(n)关于(N-1)/2对称的滤波器没有相位失真,这也表明具有线性相位特性的滤波器设计具有可实现方法。

1.2 凸优化理论

凸优化又称为凸规划,其基本的数学模型为

(7)

其中:f0,…,fm为凸函数,等式约束为仿射函数。

在实际工程优化中,可以根据凸函数的性质将优化问题转化为凸优化模型,对于凸优化问题的解,任意一个局部最优解同时也是全局最优解。解析表达式一般无法推导,通常通过数值法解决凸优化问题,其中应用较多的是内点法,目前已开发出强大的优化工具软件如CVX等[5],以实现与MATLAB的无缝衔接。

2 凸优化模型

2.1 杂波和信号频谱规划

(8)

其中:

(9)

(10)

同理可得气象杂波频谱Fm,则总的杂波频谱规划范围Fclut={Fg,Fm},相应的可用信号频谱规划范围Fsig为

(11)

2.2 滤波器组频率中心规划

(12)

(13)

2.3 凸优化数学模型

(14)

其中:SLBgf、SLBmf、SLBf为衰减值代表的幅度值;|·| 表示取模操作;

FSLBgc=exp(j2π·Fg·n),n=0,…,N-1

(15)

FSLBmc=exp(j2π·Fm·n),n=0,…,N-1

(16)

(17)

经过滤波器中心频率处的信号应当满足不衰减,同时根据具有线性相位FIR滤波器的系数性质,本文设计滤波器系数满足奇对称,建立以下等式约束:

(18)

(19)

滤波器优化设计的目标是最小化杂波输出功率,为此建立关于杂波输出功率最小化的优化模型。假设噪声强度为Pn,可得杂波联合噪声的协方差矩阵为

R=Rgc+Rmc+Rn

(20)

其中:Rgc为地物协方差矩阵;Rmc为气象协方差矩阵;Rn为高斯白噪声协方差矩阵,分别为

(21)

其中:

(22)

(23)

同理可得Mmc,其中Mn=diag(e),e为1×N维的单位向量,diag(·)以向量e中元素为对角线元素形成的对角矩阵。

优化目标函数为

(24)

其中:UHU=R;δ为较小的正数,作为收敛门限,通过不断最小化该收敛门限,来优化设计滤波器系数。

minimizeδ

subject to |U·h|-δ≤0;|FSLBgchT|-SLBgf≤0 ;

|FSLBmchT|-SLBmf≤0;|FSLBhT|-SLBf≤0 ;

(25)

针对上述优化模型,利用MATALB中的CVX软件求解凸优化问题。为了得到凸优化的解,在求解过程中往往要线性调整滤波器的主瓣宽度:

ML_w=ML_w+0.1/N

(26)

3 优化流程设计

根据给定的杂波区,按照最小化杂波输出功率优化设计滤波器组,具体流程如图1所示。首先输入杂波相关信息,即频率中心、谱宽和强度,由此得到杂波区和可用信号区的频谱规划;接着根据滤波器组数量对可用信号区完成滤波器组频率中心规划;然后对每个确定了频率中心的滤波器建立凸优化数学模型,通过步进增加主瓣宽度,在限定的主瓣宽度范围内利用CVX求解,是否有解决定着该频率中心下的滤波器设计能否成功;最后对设计完的每个滤波器进行频率响应的归一化操作,选取每个频点下最大的频率响应,得到滤波器组最大输出的频率响应,结合杂波区,检验设计的滤波器组能否满足杂波区的衰减抑制以及副瓣区的抑制,不满足的情况下重新设计滤波器组数量或杂波抑制度以及副瓣衰减。

图1 滤波器组凸优化设计流程

4 仿真结果及分析

假设只存在地物杂波,地物杂波归一化频谱中心Fgc=0,归一化谱宽Fgc_delta=0.01,强度Pgc=10,噪声强度Pn=1,地物衰减设计为SLBgc=-60 dB,滤波器副瓣衰减为SLB=-43 dB,归一化频率范围内采样点数Msam=1 000。设计结果如图2～4所示,其中图2(a)为归一化的地物杂波频谱在零频附近采样点的分布范围,图2(b)为地物杂波抑制滤波器组设计时可选的频率采样点分布范围;图3(a)为6组滤波器设计中心频率在归一化可选频率采样点上的分布情况,图3(b)为相应的6组滤波器频率响应设计曲线的杂波衰减、副瓣抑制以及频率响应覆盖情况;图4(a)为在地物杂波衰减60 dB、副瓣抑制43 dB设计要求下的8组滤波器频率响应曲线,图4(b)为在地物杂波衰减70 dB、副瓣抑制50 dB设计要求下的8组滤波器频率响应曲线。可以看出,本文方法可以根据滤波器组数量、杂波区衰减程度以及副瓣抑制度的改变动态实现滤波器系数设计。

(a)地物杂波区

(a)频率中心

(a)地物杂波衰减60 dB、副瓣抑制43 dB

5 结束语

本文通过频谱规划,以最小化杂波输出功率为目标,建立凸优化模型,利用CVX工具箱完成FIR滤波器组优化设计求解。根据假定的杂波信息以及满足要求的杂波衰减、副瓣抑制度可控地调整滤波器组数量和主瓣宽度,以实现满足要求的滤波器设计,可将优化设计的滤波器系数以文件配置的方式用于工程中,具有可移植性。