让学习有必要，让学生想得到

夏继平

摘  要：“两角和与差的余弦公式”是高中数学教学的一个难点，主要表现在公式引入、公式推导两方面。在公式引入方面，从数学史的角度看，可通过求任意角的三角函數值；从高观点的角度看，可通过基本初等函数研究的一致性，即给出定义之后都要研究运算性质。在公式推导方面，可以引导学生：先探究基于锐角三角函数定义的平面几何方法，再推广到一般，探究基于任意角三角函数定义的解析几何方法，最后基于解析几何方法的构图，发散联想到向量方法，并注意其严谨性。

关键词：高中数学；两角和与差的三角函数；公式引入；公式推导

“两角和与差的余弦公式”是苏教版高中数学必修第二册第10章《三角恒等变换》第1节“两角和与差的三角函数”第1小节的内容。在听课过程中，笔者发现，教学这一内容时，“一个定理（公式），几项注意，大量练习”这样不重视知识理解、只关注解题训练（知识应用）的舍本逐末的“短平快”现象十分突出。这部分内容确实是高中数学教学的一个难点，主要表现在公式引入、公式推导两方面。本文试对其做一些分析，并寻找突破的方法。

一、公式引入的难点突破：依据数学史或高观点，让学习有必要

苏教版高中数学教材在“任意角的三角函数概念（包括同角三角函数关系和诱导公式）、三角函数的图像和性质”内容（必修第一册第7章）之后安排了“函数的应用”内容（必修第一册第8章）和“平面向量”内容（必修第二册第9章），才安排“三角恒等变换”内容。所以，教材先由周期运动叠加的三角函数刻画，引出sinx+cosx的计算（变形）问题；再由向量数量积的运算法则得到sinx+cosx=2cosx-π4，引出更一般的问题：cos（α-β）能否用α的三角函数和β的三角函数来表示？这样做，承接了面前的“平面向量”内容，也体现了平面向量的工具作用。但是，从三角函数研究的角度看，不够简单自然：由三角函数概念想到周期运动的叠加绕得比较远，而sinx+cosx的计算（变形）其实是cos（α-β）计算（变形）的逆问题。而且，这样引入没有解决“为什么先研究两角差的余弦，而不先研究两角和的余弦、两角差的正弦或两角和的正弦”的问题。

翻阅人教A版高中数学教材，发现其将“三角恒等变换”内容放在《三角函数》一章（必修第一册第五章）中，紧跟在“任意角的三角函数概念（包括同角三角函数关系和诱导公式）、三角函数的图像和性质”内容后。因此，教材从诱导公式出发，将其中的特殊角kπ2（k∈Z）一般化，引出两角和与差的三角函数计算（变形）问题，然后让学生先探究两角差的余弦公式，再用它推导其他公式。这样引入要简单自然一些，但是仍然没有解决“为什么先研究两角差的余弦”的问题。

对于两角和与差的三角函数的引入，我们可以从数学史和高观点（现代数学的“抽象结构”方法与体系）两个角度寻找必要性——知识产生与发展的逻辑与动力。

从数学史的角度看，三角学起源于天文学中的测量问题，而解决天文学中的测量问题需要求任意角的三角函数值。古希腊天文学家托勒密（C.Ptolemy，约100—170）在制作弦表（即求任意角的三角函数值）时，利用了相当于今天的两角和与差的正弦、余弦公式的结果，从而根据已知角的正弦、余弦值来求未知角的正弦、余弦值。［1］因此，两角和与差的三角函数可以通过求任意角（非特殊角）的三角函数值自然引入。

从高观点的角度看，数学中的很多概念（如数、式、向量、集合）都是运算对象——或者直接是运算对象，或者作为运算的结果是进一步运算的对象。对任何运算对象，给出它的定义之后，都要研究它的运算性质（运算法则或运算律）。这就是现代数学的抽象结构思想。基本初等函数都是由解析式表达的，作为运算的结果是进一步运算的对象，给出定义之后都要研究运算性质。比如，对幂函数f（x）=xα，由幂（指数）的运算性质可知（xy）α=xαyα、xyα=xαyα，即f（xy）=f（x）·f（y）、fxy=f（x）f（y）——可见，幂函数有“保持乘除运算不变”的功能（实际上，作为特殊幂函数四则运算结果的正比例函数还有“保持加减运算不变”的功能）。对指数函数g（x）=ax，由幂（指数）的运算性质可知ax+y=axay、ax-y=axay，即g（x+y）=g（x）g（y）、g（x-y）=f（x）f（y）——可见，指数函数有“变加减为乘除”的功能。对对数函数h（x）=logax，由对数的运算性质可知loga（MN）=logaM+logaN、logaMN=logaM-logaN，即h（xy）=h（x）+h（y）、hxy=h（x）-h（y）——可见，对数函数有“化乘除为加减”的功能。自然地，对三角函数f（x）=sinx，g（x）=cosx，h（x）=tanx，也应该研究相应的运算性质，即自变量加减乘除对函数值的影响（或者说自变量加减乘除与函数值加减乘除的关系）。当然，受到不同运算（解析式）本身意义（规则）的影响，有的函数只研究自变量的加减，有的函数只研究自变量的乘除。因此，考查三角函数的意义——有很明确的几何意义，很容易发现：只需要研究自变量的加减。由此，便可引入两角和与差的三角函数的研究。其实，这种引入方式也体现了《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》设置的“函数”主题（包括“三角函数”内容）下各种函数研究的一致性。

这里，需要指出的是，以上两种引入方式都没有说明应该先研究哪一种两角和或差的三角函数（这时，最自然的其实是先研究两角和的正弦函数）。对此，不应该强行规定，而应该让学生自主探究：推导（获得）两角和与差的三角函数公式时，可以让学生先分析公式之间的关系，发现只要获得一个“弦”的公式，就可能由它推出其他“弦”和“切”的公式，再尝试寻找最容易推出的“弦”的公式。

此外，值得一提的是，在高等数学中，相应的运算性质正是基本初等函数的公理化（形式化）定义。比如幂函数的严格（抽象）定义：如果函数f（x）满足对定义域内任意的α、β，都有f（αβ）=f（α）f（β），那么就称f（x）是幂函数。正弦函数和余弦函数的严格（抽象）定义也是基于两角和或差的正弦或余弦公式的。［2］

二、公式推导的难点突破：从平面几何方法到向量方法，让学生想得到

苏教版高中数学教材把α-β看成单位向量（cosα，sinα）和（cosβ，sinβ）的夹角，由向量数量积的定义和坐标表示，推出两角差的余弦公式。这一方法同样承接了前面的“平面向量”内容，也体现了平面向量的工具作用，并且非常简洁。但是，从三角函数研究的角度看，同样不够直接自然：虽然向量数量积的定义中有夹角的余弦，但是，求两角和或差的正弦或余弦时，怎么能一下子想到向量的数量积？特别是，向量数量积的定义中，只有余弦，没有正弦。此外，这一方法不够严谨，还要讨论α-β不在［0，π］范围内的情况。

翻阅人教A版高中数学教材，发现其利用单位圆上的点（cosα，sinα）和（cosβ，sinβ）之间的距离与（cos（α-β），sin（α-β））和（1，0）之间的距离相等，根据两点之间距离的坐标公式，推出两角差的余弦公式。这一方法是根据教材整体编排，在学生没学过向量的情况下给出的方法——也是苏教版高中数学教材补充的方法。这一方法同样存在不够直接自然的问题：由高中学习的任意角的三角函数的终边上点的坐标定义想到单位圆上的点不难，联系到点（1，0）发现两条线段相等则有些难度——需要教师引导。此外，如何发现由两点之间距离的坐标公式建立等量关系后化简可得两角差的余弦公式也是一个问题——毕竟没有直接求解cos（α-β）。

对于两角和与差的正弦与余弦公式的推导，笔者了解了相关的数学史，发现其大致经历了从平面几何方法（基于初中学习的锐角三角函数定义，可以推出四个公式）到解析几何方法（人教A版高中数学教材的方法，可以推出两个余弦公式）再到向量方法（苏教版高中数学教材的方法，可以推出两个余弦公式）的过程。

实际上，三角函数有很明确的几何意义，如直角三角形中边长的比值（其实是圆中弦长与直径的比值）、单位圆中的三角函数线（可分别看成半弦长、弦心距、切线长的数量）。用平面几何方法求解两角和与差的正弦与余弦，思路十分直接自然，很容易想到（虽然过程可能有点烦琐），因此，在教学中，可以引导学生先探究这种方法。不过，平面几何方法的问题在于限制在锐角（第一象限角）的范围，推广起来比较繁难，需要结合三角函数线或诱导公式，分多种情况讨论。对此，可以引导学生从任意角的三角函数的终边上点的坐标定义出发，逐步探究发现解析几何方法。至于向量方法，则可在教師的提示下作为补充，让学生与之前的方法比较，充分感受其简洁性，同时注意其严谨性。

首先，不难发现：无论是求两角和的三角函数，还是求两角差的三角函数，都涉及三个角，且其中一个角是另外两个角的和。这样，便可以把“两角和”与“两角差”统一起来看成一种情况——这也是模型思想的体现。然后，便可以从特殊到一般地探究多种推导方法。

（一）平面几何方法的探究

考虑三个角都是锐角的情况——这是从特殊性看问题，即特殊化这种重要解题思想的体现。这时，可将两个小角拼在一起得到大角，如图1所示。然后，可以在一条靠外的边上任取一点，向另一条靠外的边作垂线，从而构造出分别以大角和一个小角为一个锐角的两个直角三角形，如图2所示。接着，构造以另一个小角为一个锐角的直角三角形，有四种方式：如图3，过靠外边上的点作中间边的垂线、自身的垂线，过中间边上的点作靠外边的垂线、自身的垂线。利用图3中的任意一个图形，都可以推导两角和与差的正弦与余弦公式。其思路十分自然清楚：确定一条线段的长度（设为1），再逐步用已知的两个角的三角函数来表示图中的其他线段。

（1）

（2）

（3）

（4）

比如，在图3（1）中，设∠AOB=α，∠BOC=β，OC=1，则CD=sinβ，OD=cosβ，BD=CDtanα=sinβtanα，BC=CDcosα=sinβcosα，OB=OD-BD=cosβ-sinβtanα，AB=OBsinα=（cosβ-sinβtanα）sinα=sinα·cosβ-sin2αsinβcosα，所以sin（α+β）=AC=AB+BC=sinαcosβ-sin2αsinβcosα+sinβcosα=sinα·cosβ+cosαsinβ，cos（α+β）=OA=OBcosα=（cosβ-sinβtanα）cosα=cosαcosβ-sinα·sinβ，即得两角和的正弦与余弦公式。

再如，在图3（2）中，设∠BOC=α，∠AOB=β，OC=1，则CD=tanα，OD=1cosα，过点D作DE垂直BC于E，则DE=CDsin（α+β）=tanαsin（α+β），CE=CD·cos（α+β）=tanαcos（α+β），BE=DEtanβ=tanαtanβsin（α+β），BD=DEcosβ=tanαsin（α+β）cosβ，OB=OD-BD=1cosα-tanαsin（α+β）cosβ，AB=OBsinβ=1cosα-tanαsin（α+β）cosβsinβ=sinβcosα-tanαtanβsin（α+β），所以sin（α+β）=AC=AB+BE+CE=sinβcosα-tanαtanβsin（α+β）+tanαtanβsin（α+β）+tanαcos（α+β）=sinβcosα+sinαcos（α+β）cosα，cos（α+β）=OA=OBcosβ=1cosα-tanαsin（α+β）cosβcosβ=cosβcosα-sinαsin（α+β）cosα，代入化简可得两角和的正弦与余弦公式。

又如，在图3（3）中，设∠AOC=α，∠AOB=β，OB=1，则AB=sinβ，OA=cosβ，AC=OAtanα=cosβtanα，OC=OAcosα=cosβcosα，BC=AC-AB=cosβtanα-sinβ，CD=BCsinα=sinαcosβtanα-sinαsinβ，所以sin（α-β）=BD=BCcosα=cosαcosβtanα-cosαsinβ=sinαcosβ-cosαsinβ，cos（α-β）=OD=OC-CD=cosβcosα-sinαcosβ tanα+sinαsinβ=cosαcosβ+sinαsinβ，即得两角差的正弦与余弦公式。

还如，在图3（4）中，设∠AOC=α，∠BOC=β，OB=1，则……也能得到两角差的正弦与余弦公式。

这一思路下的具体方法很多，学生可以自由探究。在探究的过程中，学生能充分感受到“数学是自然的，数学是清楚的”（刘绍学语）。在具体方法的比较中，学生还能发现怎样使求解过程更加简洁。比如，最好设要求的角所在的直角三角形的斜边长为1，从而该直角三角形的直角边长就是要求的角的正弦与余弦。再如，求解过程的关键环节是用好构造第三个直角三角形时“补”或“割”出的小三角形——△BCD中的边角关系：图3（1）和图3（3）中的△BCD是直角三角形，处理起来比较方便；图3（2）和图3（4）中的△BCD不是直角三角形，处理起来就比较麻烦（要分割成两个直角三角形）；图3（1）中∠BCD=∠AOB，图3（4）中∠CBD=∠AOB，因此利用这两个图形时，不宜让∠AOB成为要求的角，即如果要推导两角差的正弦与余弦公式，应该设∠AOB=β；图3（2）中∠BCD=∠AOC，图3（3）中∠CBD=∠AOC，因此利用这两个图形时，不宜让∠AOC成为要求的角，即不宜利用这两个图形推导两角和的正弦与余弦公式。

一些学生甚至还能在简洁解法的基础上，发现更加直观的“无字证明”（把相关线段的长度表示直接标示在图上）。比如，图4就是基于图3（3），设∠AOC=α，∠BOC=β，OB=1得到的两角差的余弦公式的“无字证明”。

当然，若学生对具有一般性的符号表示（计算）感到抽象、困难，则还可以进一步特殊化，比如设α=45°，β=30°。其实，推导两角和与差的正弦与余弦公式的困难还在于没办法用特殊值探路，根据算出的结果猜想一般的情况，然后证明。比如，即使学生算出sin75°（cos15°）=6+24，cos75°（sin15°）=6-24，也很难猜出它们和sin45°、cos45°、sin30°、cos30°的关系。但是，取特殊值仍有探究价值：学生在结合图形（图3中的任意一个），利用已知角计算未知角的三角函数值的过程中，能体会到线段之间的关系以及求解的先后顺序。

（二）解析几何方法的探索

考虑完三个角都是锐角的情况后，教师可以引导学生尝试将它们推广到任意角。首先可以将不是“和”的两个角都限制在［0，2π）范围内——当某个角超出这个范围时，可以通过“+2kπ（k∈Z）”在这个范围内找到与其终边相同的角，它们所有的三角函数值都一样。这时，是“和”的角落在［0，4π）范围内，且是三个角中最大的。然后，可以在平面直角坐标系xOy中，以x轴的非负半轴为始边，通过旋转得到三个角的终边，进而得到三条终边与单位圆O的交点，则三个交点的纵坐标与横坐标分别是三个角的正弦与余弦。设x轴正半轴与单位圆的交点为P0，三个角从小到大终边与单位圆的交点依次为P1、P2、P3，则P3对应的角是P1对应的角与P2对应的角的和。

在圆中，（圆心）角之间的关系可以转化为弧之间的关系，但这样还是用不到三角函数。所以，考虑将（圆心）角之间的关系转化为弦之间的关系——弦长即端点之间的距离，可以用端点的坐标表示，这样便用得到三角函数了。但是，“一个角是另外两个角的和”并不等价于“一条弦是另外两条弦的和”。所以，要进一步分析角之间的直接相等关系。根据“得到两个正角的和可以将一个正角的终边逆时针旋转另一个正角的大小”，可以发现：如图5所示，P1对应的角（从OP0到OP1的角）等于P3对应的角与P2对应的角的差（从OP2到OP3的角），P2对应的角（从OP0到OP2的角）等于P3对应的角与P1对应的角的差（从OP1到OP3的角），它们是等价的，分别可以转化为弦之间的直接相等关系P0P1=P2P3和P0P2=P1P3。根据“得到两个正角的和也可以将一个正角的始边顺时针旋转另一个正角的大小”，可以作出P1、P2关于x轴的对称点P′1、P′2，则它们对应的角分别是P1、P2对应的角的相反角，从而发现：如图6所示，P3对应的角（从OP0到OP3的角）等于P1对应的角与P′2对应的角的差（从OP′2到OP1的角），等于P2对应的角与P′1对应的角的差（从OP′1到OP2的角），它可以转化为弦之间的直接相等关系P0P3=P′2P1=P′1P2。

由此，对三个角作出适当的假设，便可以通过将P0P1=P2P3、P0P2=P1P3、P0P3=P′2P1或P0P3=P′1P2用两点之间距离的坐标公式表示，化简得到相应的三角恒等变换公式。比如，在图5中，设P1对应的角为α-β，P2对应的角为β，则P3对应的角为α，由P0P1=P2P3，可得［cos（α-β）-1］2+sin2（α-β）=（cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2，化简即得两角差的余弦公式。再如，在图6中，设P1对应的角为α，P2对应的角为β，则P3对应的角为α+β，由P0P3=P′2P1，可得［cos（α+β）-1］2+sin2（α+β）=［cosα-cos（-β）］2+［sinα-sin（-β）］2，化简即得两角和的余弦公式。

在自由探究的过程中，学生能发现：必须表示出α-β或α+β的终边与单位圆的交点到P0（1，0）的距离，才能得到两角差或和的余弦公式。教师可以引导学生进一步思考：为什么这种方法得不出两角和与差的正弦公式？学生可以猜测：这和角的始边设定为x轴有关。由此，教师可以引发学生的直觉：如果把α的终边逆时针旋转π2，那么α-β和α+β的终边也逆时针旋转π2，于是利用诱导公式便可得到两角和与差的正弦公式。这样思考正弦公式的推导，可以帮助学生充分认识正弦与余弦之间的关系，并且培养学生的数学直觉。

（三）向量方法的补充

将三个角推广到任意角后，有了解析几何方法的构图（图5、图6），向量方法便容易引出了。一方面，教师可以引导学生回忆所学的知识中还有哪个（些）涉及正弦或余弦的；另一方面，教师可以引导学生观察图5或图6，思考有关的终边形成的角还可看成什么形成的角。学生可能想到向量数量积的定义涉及向量夹角的余弦，发现终边形成的角也可看成向量的夹角，从而嘗试利用向量数量积的定义和坐标表示，推导两角和与差的余弦公式。比如，在图5中，设P1对应的角为α-β，P2对应的角为β，则P3对应的角为α，向量OP2和OP3的夹角也为α-β，所以cos（α-β）=OP3·OP2|OP3||OP2|=OP3·OP2=（cosα，sinα）·（cosβ，sinβ）=cosαcosβ+sinαsinβ。再如，在图6中，设P1对应的角为α，P2对应的角为β，则P3对应的角为α+β，向量OP′2和OP1的夹角也为α+β，所以cos（α+β）=OP1·OP′2|OP1|·|OP′2|=OP1·OP′2=（cosα，sinα）·（cos（-β），sin（-β））=cosαcosβ-sinαsinβ。

这时，教师可以提醒学生：上述推导中，α-β或α+β一定是两个向量的夹角吗？这里的α-β或α+β的范围是什么？向量夹角的范围是什么？学生便能注意到：这里的α-β被限制在［0，2π）范围内，α+β则落在［0，4π）范围内，但是向量夹角的范围为［0，π］。怎么办？对此，苏教版高中数学教材的解释有些含糊：“由于余弦函数是周期为2π的偶函数，所以，我们只需考虑0≤α-β≤π的情况。”教师可以利用诱导公式做进一步解释：当α+βSymbolNC［2π，4π）时，通过“-2π”，即去掉多转的一圈（可以作图演示），使之落在［0，2π）范围内，即cos（α+β）=cos（α+β-2π）；当α-β或α+βSymbolNC@［π，2π）时，通过“2π-”，找到其组角［例如图7中的2π-（α-β）］，使之落在（0，π］范围内，即cos（α-β）=cos［2π-（α-β）］或cos（α+β）=cos［2π-（α+β）］。

参考文献：

［1］张益明，丁倩文.“两角和与差的余弦公式”：从历史中找价值、看证明［J］.教育研究与评论（中学教育教学），2018（6）：34.

［2］刘云章，马复.中学数学的现代思想［M］.北京：人民教育出版社，1986：15.