数学建模思想在概率论与数理统计课程教学改革中的应用

汉 巍

(兰州工商学院 大学数学教学部,甘肃 兰州 730101)

在高等教育由大众化教育跨向普及化教育的当前阶段,各学科培养目标悄然发生着变化。习近平总书记在2018年9月10日全国教育大会上强调,要在增强综合素质上下功夫,教育引导学生培养综合能力,培养创新思维。由此2020年开始的新文科、新工科、新医科、新农科的建设又在另一方面推动着各学科的改革。作为大学教育中处于通识教育的数学类课程的教学自然无可避免的应做出相应的改变。诚然,作为数学课程由于知识间的逻辑关系,其知识体系、教学内容不可能有较大的改变。但其教学理念和培养的能力都要相应的做出改变。

1 课程教学理念的改变

随着高等教育由大众化向普及化过渡,带来的是学生学习自主性与主动性的一定程度的下降,因此如何更好使学生融入到课堂中来,尤其是让文科生不产生畏难情绪的融入的数学课堂中来,就成为当前教学思想中最重要的改变点。应对这样的改变,以往的以教师为中心组织课堂传授知识的教学思想已经无法让学习主动性不够强且进入大学后缺乏高考压力的学生进入学习状态。这样的教学环境下教学的好坏已经不能靠教师的讲授水平的高低来决定。因此,必须充分地在现有的教学环境下考虑学生的因素,将学生的情况纳入进来,在课程设计的过程中更多的加入吸引学生学习兴趣,提升学生学习主动性的内容,将以教师为中心的教学思想转变为以学生为中心的教学思想。

2 课程培养能力的改变

随着高等教育由大众化向普及化过渡,带来的是专业由原有的专到现有的泛。多个专业采用同一种基础性课程,这就要求培养出的人才应在更大范围内甚至于跨专业具备解决问题的能力,具备综合利用所学知识解决现实问题的能力[1]。这样无疑将人才知识应用的能力的培养要求提升了一个档次。这种能力的培养不能仅靠大三、大四这两年专业知识的学习,或者可以断言仅有这两年的培养完全无法做到,这种能力应由更基础性的学习阶段培养起并贯穿大学学习的整个阶段。即这种能力的培养应由基础课等课程形成相应的萌芽,发展成一种思维模式,并在大三大四的专业课程的学习中应用该思维模式,边学习边应用,最终在大四毕业论文与毕业设计中综合化的体现出来。这就要求处于基础课程中的数学课程必须承担起这种能力的培养。

3 行之有效的教学模式及切入点

数学课程在面对当前的改变时,现有教学模式中最为有效的应属李江霞介绍的美国伍斯特理工学院在上世纪七十年代提出的“以学生为中心,以项目为驱动力,以结果为导向”的教学模式[2]。该教学模式认为应该把学生学习科学技术、生产管理思想的责任从教师身上转移到学生身上,让学生参与到实际的项目中去,在相应项目进行过程中了解数学、物理学、经济学、管理学的知识的作用进而学习相关知识,这样将极大的促进学生学习动力的激发。该教学模式在以上述教学理念下将学生的学习过程转化为以小组为单位,以具体的生活或工程问题为研究项目,通过研究项目完成对所学知识的整合,并在实践中发挥学生的潜力,提高学生的综合素质和能力,最后通过项目的结果对相关学习情况进行检验。上述教学理念在该校实施后,该校在2011年被评为全美学生优先考虑的前十的工程院校之一。

虽然该教学模式是一套涵盖了本科教学全过程的教学模式,但其对课程改造的思路完全契合了当下课程发展的要求,其对教学的改造的方式方法可以充分借鉴下来,即以实际问题解决作为课堂教学的结果,以学生主动探求解决实际问题所需的知识作为课堂教学的驱动力,以学生主动求知、教师进行引导与提供知识为课堂教学的主旨思想。由上可形成如下的教学改革思路:即在教学伊始,将实际问题呈现在学生面前,教师引导并辅助学生将复杂问题拆解成具体简单的问题,由学生对照自身知识体系寻找解决问题所需要的知识欠缺点,由教师提供知识,由学生将教师提供的知识在解决具体问题的过程中内化为自身的能力,在不断解决问题的过程中逐步构建起相应学科的知识体系,最终以实际问题的解决达成对学生能力的培养。

面对如上的教学方式改革,对于数学课程而言,将数学建模思想与方法融入到教学过程中将是一种切实有效的途径[3]。数学建模是根据实际问题抽象出数学模型,通过数学模型的求解解决实际问题的一个过程。数学建模的整个过程就是将一个具体问题细化分解,再将细化分解后的问题利用数学知识解决,并通过各个小问题的解决实现整体问题的求解。这当中问题的从小到大进行解决的过程实现了知识体系的建构。上述过程体现了从实际问题出发结合所学知识解决实际问题的过程[4]。通过这数学建模思想与方法融入教学可以直观地让学生体会到知识应用的方式方法,可以有效的达成能力的培养。

4 数学建模思想融入教学的着力点

将上述教学模式和教学思想融入日常教学必须建立在对于课程教学的改造上,那么选择一门合适的课程可以达到事半功倍的效果。在大学阶段所教授的三门基础的数学课程——微积分(高等数学)、线性代数、概率论与数理统计中,笔者认为概率论与数理统计课程是一个较为恰当的选择。之所以选择概率统计课程作为数学建模思想融入教学的首选目标,有着以下的原因。首先,虽然数学课程均是从实际中来,但就当前的教学状况来看,微积分需要引入极限这一思维方式,为各门课程打下基础,其作用更多的体现在工具性的一面上;而线性代数由于其代数学分支所带来的高度抽象化、离散化的原因,其知识体系高度抽象化,将实际问题转换成线性代数所解决的问题需要一定的抽象化过程,导致无法比较直观的展现出对于实际问题的解决过程。因此该两门课程不是数学建模思想融入课堂的良好选择,但可在课程中在针对适当的内容融入相关思想,如极值、方程求解的内容。其次,概率统计课程的诞生是来源于对于赌博这一实际问题的研究,而其后的随机变量、数字特征等概念也是为了解决数据量较大条件下对随机量刻画的问题,进而通过概率融合入统计学诞生了数理统计学,可见概率统计课程体系恰好体现着概率统计发展的整个过程,每一阶段都可以视作某一实际问题的解答过程。因此,概率统计课程自然成为了一种比较恰当的选择。

5 当前概率统计课程中数学建模思想的体现

在现有的概率统计教学中数学建模思想并非没有体现,但其体现非常稀少,仅仅在部分例题中出现一鳞半爪。现有教学的内容更多的还是在数学内容推导这个范畴内进行,从概念的引入到相关性质的推导,再到相关概念的简单应用。这样的教学方式从数学教学的角度而言没有问题,但如果引导不到位,经常会出现为了概念而概念的现象。学生学习时也仅是了解相关概念,进一步理解概念的性质,熟悉相关的应用。而这个应用也仅仅局限在这个概念本身上,缺乏前后联系。学生没有一个大的目的性作为驱动,往往造成的结果是学生学习到的知识是片面的,是就事论事的。这样的后果就意味着学生培养起的能力往往是微观化的,无法在复杂的实际问题中找到解决问题的线索,无法应用所学知识。而从学生学习体验而言随着学习的深入,前面的知识无法通过应用内化为自身知识基础,导致无法为后续知识提供基础,造成学习难度加大,学习效果不佳,学习挫败感较强,甚至出现无法理解所学知识的情况,进而放弃学习。

6 将数学建模思想融入概率统计课程的相关实践

对于数学建模思想融入概率统计课程,笔者进行了以下改革:

改革的总体思想为从实际问题入手,将实际问题拆解为一个又一个的小问题,分散在每一节课程的学习中,以问题解决为指引,推动学生思考与学习,最终在课程结束时解决总问题。

具体而言,即在课程开始将实际问题呈现在学生面前,如笔者提供的问题为公交车车门设计问题。即如何给出合适的高度既能保证绝大多数乘客进出车门不碰头,又保证材料最省。

在课程的第一节提出该问题后,分析车辆设计优化的两难问题即为了让所有人在通过车门时不受到阻碍而造成的车辆车顶过高,造成所需材料增加,而让车门变得低矮可以让车辆所需材料减少但乘客舒适度会降低。因此既要保证乘客的乘车舒适度又要兼顾车辆的成本,就将问题转化为如何确定车门高度让大多数乘客进出车门时不用低头的问题。在概率统计课程的教学中,首先,从最简单的问题入手,即讨论身高在一定区间内的单个及多个乘客在给定高度下不低头的可能性。这样通过乘车人的身高的无法预测性引出概率课程研究的对象-随机现象,进而展开对于随机事件的讨论。接着通过讨论乘客身高区间与车门高度区间的比较的可能性问题引出概率及概率的计算。在完成相关教学后,讨论乘客携带儿童进入车辆,分成抱小孩与领小孩两种情况,引出事件间的关系分成有影响的条件概率与无影响的独立性进行说明。以上可以完成概率论第一章的教学。完成教学后解决相关问题。对是否碰头给出初步解决。该部分的逻辑如图1所示。

在解决了第一个问题后,对第一个问题做递进式讨论,即讨论身高不确定条件下乘客在给定高度条件下不碰头的可能性。由于身高不确定,因此需要设定变量进行讨论,并讨论该变量所附带的变化规律。由此引出身高这个变量对应的随机变量这一问题,进一步分成单个人的身高、多个人的身高,身高在一定范围内多个人的整体身高的情况进行讨论,引出一维连续性随机变量、多维随机变量,一维离散型随机变量的概念。之后讨论如何确定身高的规律。通过讨论规律的形式、规律中关键参数的来源、规律中参数的确定、确定参数后正确与否的检验引出常见分布、期望与方差、参数估计、假设检验的内容。完成这些内容后解决递进问题的回答,让学生形成一套讨论问题的流程。该部分的逻辑如图2所示。

图2 身高不确定条件下乘客在给定高度下不碰头的可能性问题拆解流程图

最终将问题明确为确定车门高度使得乘客进出车门时不碰头的概率在90%以上,利用上一个问题的解决,由学生形成最终的解决方案,达到复习本门课程的目的。

在一学期的教学后,试验班成绩与全校平均成绩的对比情况如表1所示。

表1 实验班成绩与全校评卷成绩对比表

由以上数据可见该种教学方式较好的引发了学生学习的积极性,大部分学生可以较好的掌握知识,卷面成绩较高。虽然教学情况较好,但实验教学过程中仍有以下问题出现:虽然以问题的方式引发了学生的学习兴趣,但相关知识仍需要教师讲授,无法充分发挥学生的自主性,未让让学生自行探索,学生仍处于被动接受状态,教学效果仍不甚理想。

针对该情况笔者有如下设想:充分利用现有网络资源和线上优秀课程库。将学生分成小组,利用翻转课堂教学法,教师在第一节课将总问题进行拆解,形成相应的每一节的问题,学生利用课下时间学习相关知识,在课堂中与教师共同讨论汇报学习成果并解决该节相关问题,于课程结束时形成相关论文。这样的教学方式可以充分锻炼学生应用知识的能力,也更贴近实际问题解决的场景,但以上方式与传统教学模式差距较大,且需要学生有较为主动学习的能力,在有较好学习基础的学生中可以使用该方法,应有较为良好的效果。

7 结语

在当前的教育环境下,必须坚持“以学生为中心”的教学理念,应将课程转化成“以项目为驱动力,以结果为导向”的问题化教学形式。数学建模思想与方法融入当前数学课程教学是一种切实有效的途径,能直观有效的达成应用能力的培养。