解三角函数最值问题的不同策略分析

于飞

【摘  要】  三角函数最值问题是高中数学三角函数主要内容的凝练，以填空或者选择题形式较为常见.求解三角函数最值问题有对应的策略，如利用函数的有界性、换元方法以及配方法对问题做出解答，掌握这些解题策略有助于学生把握解题思路，提升解题效率.本文结合例题对不同解题策略进行分析，具体介绍三种解答三角函数最值的方法与思路.

【关键词】  高中数学；三角函数；最值问题

1  利用函数有界性求解

利用函数有界性这一解题策略，实质上是指借助辅助角公式或恒等变换公式将问题相关解析式转化为类型的解析式，在已知区间内讨论变形后三角函数的单调性，继而得到最值大小.

解题思路为：①对问题所求的解析式进行分析，运用辅助公式和三角变换恒等式将其等价转化为，②求出变形后的定义域区间，讨论对应单调性，③根据单调性求得最值，也等价于问题所求最值.

例1  已知函数试求出应取何值时取最大值.

剖析  首先对解析式进行观察与分析，可利用公式和将原函数解析式中所含角度一致，然后借助辅助角公式对其变形得到.由于未对定义域做出特殊规定，故对应范围求得知，在具体范围内讨论的单调性，依照具体单调性即可推断得到函数的最值大小.

解  由题意可得，

，

因为，

所以当，

即时函数有最大值，

当时，函数取最大值，.

2  利用换元方法求解

求解三角函数的最值，也可利用换元法求解，解题关键在于引入变量对函数解析式进行简化，使其转化为更为熟悉的函数模型，再根据定义域求得最值.

运用此解题策略求解三角函数最值的具体步骤为：①引入变量对问题所求解析式进行等价替换，常见的换元方式有，，用新变量表示解析式，②根据已知条件得到新变量的范围，列出与函数相关的不等式或不等式组并解答，③所求的最值，等价于问题所求原三角函数的最值大小.

例2  已知函数，求函数的最大值.

剖析  原函数解析式中包含有两种三角函数形式，故可考虑运用换元简化该解析式.考虑对 用变量替换，进而用表示出原函数式，得到.求出的取值范围，在相关范围内求一元二次函数的最值，即可得到的最值大小.

解析  假设

联系，

可得，

所以，，

当，即，

.

3  利用配方法求解

配方法求解三角函数最值问题，也是常见的一种解题策略，主要对问题所求解析式进行配方，得到类似的解析式，进而在对应范围内求出三角函数的最值.

具体的解题思路为：①对问题有关解析式进行添项或减项进行配凑，得到形式的解析式，②根据已知条件求出或的范围，在对应范围内求出一元二次函数的最值，③所求的最值大小，即为问题所求三角函数的最值.

例3  求函数的最大值.

剖析  首先对解析式进行化简，运用倍角公式得到，此时可对解析式进行配凑，得到等价的函数解析式.由于问题为对做出限定，故可知，在对应范围内求解一元二次函数的最值，即可得到问题所求的三角函数最值.

解析  由二倍角公式化简可知

，

配方得，

因为 ，

所以时，即 时，

有最大值，.

故函数的最大值为.

4  结语

不同解題策略具有各自特点的解题思路，从上述例题的分析中不难得知这三种解题策略都要灵活运用恒等变换公式、辅助角公式以及一些常见关系等式.熟悉并掌握这些不同解题策略，是学生要保证解题正确率的重要前提，也是拓展学生解题思路的重要内容，应得到一定程度的关注与重视.

参考文献：

[1]陈永成.解三角函数最值问题的不同方法[J].高等教》，2020（06）：90-91.

[2]张玉芳，王健.基于导数的三角函数极值问题的解法[J].数学研究，2019，11（04）：77-83.

[3]谭建民，高晓兵.解三角函数最值问题的不同策略分析[J].数学教育学报，2018，31（03）：274-280.