广义矩阵代数上的一类非线性局部可导映射

侯习武, 张建华

(陕西师范大学 数学与统计学院, 西安 710119)

1 引言与预备知识

近年来, 关于环和代数上各类局部可导映射的研究备受关注[1-11]. 例如: Hou等[1]研究了素环上的幂等元处可导映射; 孟利花等[2]研究了三角代数上的幂等元处非线性可导映射; Wong等[3]证明了上三角矩阵代数上的零点非线性可导映射可以写成内导子和可加导子之和; Wang[4]在阶数大于3的全矩阵代数上给出了零点非线性可导映射的具体结构; An等[5]对von Neumann代数上的Q点可导映射进行了刻画.受上述研究工作启发, 本文主要研究广义矩阵代数上的一类非线性局部可导映射.

设R是一个交换幺环,A是一个定义在R上含单位元的代数,Q是A中的一固定元,φ是A上的映射.若对任意的X,Y∈A, 映射φ(无可加性假设)满足

φ(XY)=φ(X)Y+Xφ(Y),

(1)

则称φ是A上的导子.进一步, 如果φ还满足可加性, 则称φ是A上的可加导子.若对任意的X,Y∈A且XY=Q时, 映射φ(无可加性假设)满足式(1), 则称φ是A上的Q点非线性可导映射.进一步, 如果φ还满足可加性, 则称φ是A上的Q点可导映射.

记上述Morita context为(A,B,M,N,ξMN,ζNM).集合

按通常的矩阵加法和下述乘法运算:

设1A,1B分别是A和B的单位元, 记

2 主要结果

引理1对任意的1≤i≠j≤2, 有:

1)φ(0)=0;

2)φ(Pi)=Piφ(Pi)Pj+Pjφ(Pi)Pi;

3)φ(Pi)+φ(Pj)=0.

证明: 取X=Y=0, 则φ(0)=0.取X=Pi,Y=Pj(1≤i≠j≤2), 则

0=φ(0)=φ(PiPj)=φ(Pi)Pj+Piφ(Pj)=Piφ(Pi)Pj+Pjφ(Pi)Pj+Piφ(Pj)Pi+Piφ(Pj)Pj.

从而

Piφ(Pj)Pi=0,Piφ(Pi)Pj+Piφ(Pj)Pj=0.

(2)

取X=Pi,Y=Pi(1≤i≤2), 则

φ(Pi)=φ(Pi)Pi+Piφ(Pi).

(3)

对式(3)等号两边同乘Pi, 可得

Piφ(Pi)Pi=0.

(4)

于是由式(2),(4), 有

φ(Pi)=Piφ(Pi)Pj+Pjφ(Pi)Pi,φ(Pi)+φ(Pj)=0.

证毕.

注1令U=P1φ(P1)P2-P2φ(P1)P1, 定义G到G的映射φ为φ(X)=φ(X)-[X,U].

由引理1可直接验证:

1)φ(0)=φ(P1)=φ(P2)=0;

2) 对任意的X,Y∈G, 且X,Y至少有一个是幂等元时,φ(XY)=φ(X)Y+Xφ(Y)成立.

引理2对任意的Xij∈Gij(1≤i,j≤2), 有φ(Xij)∈Gij.

证明: 对任意的Xii∈Gii, 一方面, 取X=Xii,Y=Pj(1≤i≠j≤2), 则

0=φ(XiiPj)=φ(Xii)Pj+Xiiφ(Pj)=φ(Xii)Pj.

(5)

另一方面, 取X=Pj,Y=XiiPi(1≤i≠j≤2), 则

于是由式(5),(6), 有φ(Xii)=Piφ(Xii)Pi∈Gii.

对任意的Xij∈Gij(1≤i≠j≤2), 一方面, 取X=Pi,Y=Xij, 则

φ(Xij)=φ(PiXij)=φ(Pi)Xij+Piφ(Xij)=Piφ(Xij).

另一方面, 取X=Xij,Y=Pj, 则

φ(Xij)=φ(XijPj)=φ(Xij)Pj+Xijφ(Pj)=φ(Xij)Pj.

于是有φ(Xij)=Piφ(Xij)Pj∈Gij.证毕.

引理3对任意的Xii∈Gii,Xjj∈Gjj,Xij∈Gij(1≤i≠j≤2), 有:

1)φ(Xii+Xij)=φ(Xii)+φ(Xij);

2)φ(Xii+Xji)=φ(Xii)+φ(Xji).

证明: 1) 对任意的Xii∈Gii,Xij∈Gij(1≤i≠j≤2), 一方面, 取X=Xii+Xij,Y=Pi, 则

φ(Xii)=φ((Xii+Xij)Pi)=φ(Xii+Xij)Pi+(Xii+Xij)φ(Pi)=φ(Xii+Xij)Pi.

(7)

另一方面, 取X=Xii+Xij,Y=Pj, 则

φ(Xij)=φ((Xii+Xij)Pj)=φ(Xii+Xij)Pj+(Xii+Xij)φ(Pj)=φ(Xii+Xij)Pj.

(8)

于是由式(7),(8), 有φ(Xii+Xij)=φ(Xii)+φ(Xij).

2) 对任意的Xii∈Gii,Xji∈Gji(1≤i≠j≤2), 一方面, 取X=Pi,Y=Xii+Xji, 则

φ(Xii)=φ(Pi(Xii+Xji))=φ(Pi)(Xii+Xji)+Piφ(Xii+Xji)=Piφ(Xii+Xji).

(9)

另一方面, 取X=Pj,Y=Xii+Xji, 则

φ(Xji)=φ(Pj(Xii+Xji))=φ(Pj)(Xii+Xji)+Pjφ(Xii+Xji)=Pjφ(Xii+Xji).

(10)

于是由式(9),(10), 有φ(Xii+Xji)=φ(Xii)+φ(Xji).证毕.

引理4对任意的Xii∈Gii,Xij∈Gij,Xjj∈Gjj(1≤i≠j≤2), 有:

1)φ(XiiXij)=φ(Xii)Xij+Xiiφ(Xij);

2)φ(XijXjj)=φ(Xij)Xjj+Xijφ(Xjj).

证明: 1) 对任意的Xii∈Gii,Xij∈Gij(1≤i≠j≤2), 取X=Xii,Y=Pj+Xij, 由引理2和引理3中2), 可得

2) 对任意的Xij∈Gij,Xjj∈Gjj(1≤i≠j≤2), 取X=Pi+Xij,Y=Xjj, 由引理2和引理3中1), 可得

引理5对任意的Xii∈Gii,Yii∈Gii,Xij∈Gij,Yij∈Gij(1≤i≠j≤2), 有:

1)φ(Xij+Yij)=φ(Xij)+φ(Yij);

2)φ(Xii+Yii)=φ(Xii)+φ(Yii).

证明: 1) 对任意的Xij∈Gij,Yij∈Gij(1≤i≠j≤2), 取X=Pi+Xij,Y=Pj+Xij, 由引理2和引理3中1), 可得

2) 对任意的X11∈G11,Y11∈G11,Y12∈G12, 由引理4中1)和引理5中1), 一方面有

φ(X11Y12+Y11Y12)=φ(X11Y12)+φ(Y11Y12)=φ(X11)Y12+X11φ(Y12)+φ(Y11)Y12+Y11φ(Y12).

(11)

另一方面, 有

于是由式(11),(12), 可得(φ(X11+Y11)-φ(X11)-φ(Y11))Y12=0.再由G12是G11的忠实左模和引理2知,

φ(X11+Y11)=φ(X11)+φ(Y11).

(13)

对任意的X12∈G12,X22∈G22,Y22∈G22, 由引理4中1)和引理5中1), 一方面有

另一方面, 有

于是由式(14),(15), 可得X12(φ(X22+Y22)-φ(X22)-φ(Y22))=0.再由G12是G22的忠实右模和引理2知,

φ(X22+Y22)=φ(X22)+φ(Y22).

(16)

于是由式(13),(16), 有φ(Xii+Yii)=φ(Xii)+φ(Yii)(1≤i≤2).证毕.

引理6对任意的Xij∈Gij(1≤i,j≤2), 有

φ(X11+X12+X21+X22)=φ(X11)+φ(X12)+φ(X21)+φ(X22).

证明: 对任意的Xij∈Gij(1≤i,j≤2), 一方面, 取X=P1,Y=X11+X12+X21+X22, 由引理3中1), 可得

另一方面, 取X=P2,Y=X11+X12+X21+X22, 由引理3中1), 可得

于是由式(17),(18), 有

φ(X11+X12+X21+X22)=φ(X11)+φ(X12)+φ(X21)+φ(X22).

证毕.

引理7对任意的Xii∈Gii,Yii∈Gii,Xij∈Gij,Xji∈Gji(1≤i≠j≤2), 有:

1)φ(XiiYii)=φ(Xii)Yii+Xiiφ(Yii);

2)φ(XijXji)=φ(Xij)Xji+Xijφ(Xji).

证明: 1) 对任意的X11∈G11,Y11∈G11,X12∈G12, 由引理4中1), 一方面有

φ(X11Y11X12)=φ(X11Y11)X12+X11Y11φ(X12).

(19)

另一方面, 有

于是由式(19),(20), 可得

(φ(X11Y11)-φ(X11)Y11-X11φ(Y11))X12=0.

再由G12是G11的忠实左模和引理2知,

φ(X11Y11)=φ(X11)Y11+X11φ(Y11).

(21)

对任意的X12∈G12,X22∈G22,Y22∈G22, 由引理4中2), 一方面有

φ(X12X22Y22)=φ(X12)X22Y22+X12φ(X22Y22).

(22)

另一方面, 有

于是由式(22),(23), 可得

X12(φ(X22Y22)-φ(X22)Y22-X22φ(Y22))=0.

再由G12是G22的忠实右模和引理2, 知

φ(X22Y22)=φ(X22)Y22+X22φ(Y22).

(24)

于是由式(21),(24), 有φ(XiiYii)=φ(Xii)Yii+Xiiφ(Yii)(1≤i≤2).

2) 对任意的Xii∈Gii(1≤i≤2), 由引理5中2), 可得

0=φ(Xii-Xii)=φ(Xii+(-Xii))=φ(Xii)+φ(-Xii),

进而有φ(-Xii)=-φ(Xii).

对任意的Xij∈Gij,Yji∈Gij(1≤i≠j≤2), 由引理3和φ(-Xii)=-φ(Xii), 可得

于是有φ(XijYji)=φ(Xij)Yji+Xijφ(Yji).证毕.

下面给出本文的主要结果.

定理1设G=G(A,M,N,B)是一个广义矩阵代数,M是(A,B)的忠实双边模,N是(B,A)的双边模,φ是G上的一个映射(无可加性假设), 如果对任意的X,Y∈G, 且X,Y至少有一个是幂等元时, 式(1)成立, 则φ是G上的可加导子.

证明: 对任意的X,Y∈G, 有X=X11+X12+X21+X22,Y=Y11+Y12+Y21+Y22, 其中X11,Y11⊆A,X12,Y12⊆M,X21,Y21⊆N,X22,Y22⊆B.由引理5和引理6, 有

再由φ的定义可知,φ是广义矩阵代数G上的可加映射.又对任意的X,Y∈G, 由注1、 引理4和引理7, 有

故φ是广义矩阵代数G上的可加导子.进而由φ的定义可知,φ是广义矩阵代数G上的可加导子.证毕.

推论1设G=(A,M,N,B)是一个(n-1)-无扰的广义矩阵代数,M是(A,B)的忠实双边模,N是(B,A)的双边模,φ是G上的一个映射(无可加性假设), 如果对任意的X1,X2,…,Xn∈G, 且X1,X2,…,Xn(n≥2)至少有(n-1)个是幂等元时,

(25)

成立, 则φ是广义矩阵代数G上的可加导子.

证明: 当n=2时, 由定理1知结论成立.假设当n=i-1(i≥3)时结论成立, 下证当n=i(i≥3)时结论成立.

因为对任意的X1,X2,…,Xi∈G且X1,X2,…,Xi至少有(i-1)个是幂等元时,

(26)

成立, 所以取X1=X2=…=Xi=I, 由(i-1)-无扰性可得φ(I)=0.再分别取X1=I和Xi=I, 有

(27)

(28)

于是由式(27),(28)知, 对任意的X1,X2,…,Xi∈G(其中X1=I或Xi=I), 如果X1,X2,…,Xi至少有(i-1)个是幂等元时, 式(26)成立, 则φ是广义矩阵代数G上的可加导子.进而可知当n=i(i≥3)时结论成立.证毕.

设H是复数域上的Hilbert空间,B(H)表示H上的全体有界线性算子,V是一个作用在H上的von Neumann代数,I∈B(H)是单位算子,Z表示V的中心,V′={T∈BH:TB=BT, ∀B∈V}为V的换位子.若Z=V′∩V=I, 则称V是因子von Neumann代数.

推论2设V是一个因子von Neumann代数,φ是V上的一个映射(无可加性假设), 如果对任意的X1,X2,…,Xn∈V, 且X1,X2,…,Xn(n≥ 2)至少有(n-1)个是幂等元时, 式(25)成立, 则φ是V上的可加导子.