小波型框架和小波型Riesz基的一些扰动性质

张 磊，张建平，申 鹏

（延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000）

1952年，DUFFIN等［1］在研究非调和Fourier级数时引入了Hilbert 空间中框架的概念，然而并没有引起很大的反响。1986 年，DAUBECHIES 等［2］研究发现利用框架可以将L2(R)中的函数展开成类似标准正交基的级数，并且用框架研究函数时所需的条件要比用标准正交基宽松的多。因此，框架理论才开始蓬勃发展起来。在框架理论研究中，框架扰动是一个活跃的研究方向，它主要研究的是两个序列，若其中一个是框架，当另外一个序列与这个框架满足何种“接近”时，该序列也构成一个框架［3-7］。研究某一Hilbert 空间上具有特殊结构形式的框架是框架研究中一种重要的研究类型［8-9］。

小波型框架就是一种具有特殊结构形式的框架，其思想来源于小波理论。在小波理论中，一组基是由Hilbert空间H中的一个可数酉算子族和一个（或有限个）向量构成的。如果U是H上的一个酉算子，Ψ是与之对应的母小波，那么UΨ就是H的一组标准正交基，小波理论中研究的基就是这种形式。SHAMOOSHAK 在文献［10］中首次给出了小波型框架的定义，解释了其理论来源和构造结构并且探讨了其几个基本性质。文献［11］从小波型框架向量的角度出发，分两个方面对小波型框架的扰动进行了探讨，同时探讨了小波型框架中相似、补集、强补集、不相交、强不相交等的关系，推广了Hilbert 空间中关于具有特殊结构形式框架的扰动性质研究的已有结果。

本文在已有的框架扰动定理的基础上，从预框架算子的角度去刻画框架的扰动，研究了Hilbert 空间中具有特殊结构形式的小波型框架和小波型Riesz基的一些扰动性质，分别给出了小波型框架和小波型Riesz 基的2 系数以及3 系数扰动的新结果。从而推广了Hilbert 空间中关于框架扰动性质研究的已有结论。

1 基本概念及引理

本文中，J表示可数集或有限集，H表示可分的Hilbert 空间表示在H中的内积，由内积定义其上的范数为

定义1.1［12］设x={xj：j∈J}⊆H，如果存在常数A，B>0，使得对于任意的x∈H，有

则称x={xj：j∈J}是H中的框架，这里A、B分别称为框架x={xj：j∈J}的框架下界和上界。特别的，若A=B，则称x={xj：j∈J}是H中的紧框架。

若式（1）只有右半不等式成立，则称x={xj：j∈J}是H中的Bessel序列。

定义1.2［12］设{xj：j∈J}是H中的点列，{ej：j∈J}是H中的规范正交基。若存在H中的线性有界可逆算子U，使得对于任意的j∈J，都有xj=Uej，则称{xj：j∈J}是H中的Riesz基。

定义1.3［11］设U={fj：j∈J}是H中的有界算子列，h∈H，那么

1）如果Uh={fjh：j∈J}是H中的框架，且界为A、B，则称({fj：j∈J}，h)是H中的小波型框架，且界为A、B。

2）如果{fj：j∈J}是一列可逆算子且Uh={fjh：j∈J}是H中的紧框架，则称({fj：j∈J}，h)是H中的小波型紧框架。

3）如果{fj：j∈J}是一列可逆算子且Uh={fjh：j∈J}是H中的规范紧框架，则称({fj：j∈J}，h)是H中的小波型规范紧框架。

4）如果{fj：j∈J}是一列可逆算子且Uh={fjh：j∈J}是H中的规范正交基（Riesz 基），则称({fj：j∈J}，h)是H中的小波型规范正交基（Riesz基）。

引理1.1［13-14］设U：X→X是一个线性算子。若存在常数λ1，λ2∈ [0，1) 使得

则U是线性有界可逆算子，且对任意的x∈X有

框架算子有以下引理1.2所描述的性质。

引理1.2［15］设{xj：j∈J}是H中界为A、B的框架，算子是框架{xj：j∈J}的框架算子，那么

1）S是线性有界正定算子；

2）{S-1x：j∈J}是H中的框架，界为A-1、B-1，且它的框架算子是S-1；

3）对任意的x∈H，

且级数无条件收敛。

在文献［12］第七章第一节中给出了一个框架是Riesz基的等价条件。

引理1.3令{xj：j∈J}是H的一个框架。则以下条件等价：

1）{xj：j∈J}是H的一个Riesz基；

2 主要结果

定理2.1设f=({fj：j∈J}，h)是H中界为A、B的小波型框架，g={gjh：j∈J}是H中 的Bessel序列，Tf、Tg分别为f、g的预框架算子。若存在常数λ，μ≥0，使 得，并且对于任意的，有

证明由f=({fj：j∈J}，h)是H中界为A、B的小波型框架，Tf是其预框架算子，得

下面证明g={gjh：j∈J}的框架下界。由于f=({fj：j∈J}，h)是H中界为A、B的小波型框架，那么其框架算子有界可逆，而=是f=({fj：j∈J}，h)的对偶框架，并且其框架上界为考虑映射：

那么对于任意的x∈H，有

又因为Tf为其预框架算子，所以

再根据式（9），有

推论2.2 的证明过程可直接利用三角不等式和框架界以及Bessel序列边界的性质进行证明。

对比两个推论，可以发现，在推论2.2 中取λ=-1，便得到推论2.1。

定理2.2设f=({fj：j∈J}，h)是H中界为A、B的小波型框架，g={gjh：j∈J}是H中的Bessel 序列，Tf、Tg分别为f、g的预框架算子。若存在常数λ1，λ2，μ≥0，使得，并且对于任意的，有

小波型Riesz 基与小波型框架的扰动有着类似的扰动性质：

定理2.3设f=({fj：j∈J}，h)是H中界为A、B的小波型Riesz基，g={gjh：j∈J}是H中的Bessel序列，Tf、Tg分别为f、g的预框架算子。若存在常数λ，μ≥0，使得λ+1，并且对于任意的

证明对于上界的证明，可直接参照定理2.1证明，主要对下界进行证明。因为f是H中的Riesz基，且界为A，B，则对于任意的{cj}j∈J∈l2(J)，有

证明对于上界的证明，可直接参照定理2.2证明，主要对下界进行证明。因为f是H中的Riesz基，且界为A、B，则对于任意的，有