基于响应面法与MOGA算法的竹集成材榫接合椅子节点力学分析及优化

杨越淳,王雨凡,杨洋,张蕾,张仲凤*

(1. 中南林业科技大学,国家林业和草原局绿色家具工程技术研究中心,湖南省绿色 家居工程技术研究中心,长沙 410004;2. 东阳市家具研究院,东阳 322100)

我国是竹资源大国,竹林蓄积量及竹材产量均位于世界第一[1-2],竹材繁茂易生,具有采伐周期短、再生能力强、碳储量高等优势[3],是符合“双碳”目标的可持续发展绿色材料。随着竹材加工技术的不断进步,我国自主研发的竹集成材克服了竹材材质不均、壁薄中空等缺点,具有强度高、韧性好、尺寸稳定等特点[4-6],目前已逐渐应用于建筑、家具、产品等领域。竹集成材是具有中国色彩的复合材料,将其作为榫卯家具用材,有助于实现中国传统文化的现代转译。竹集成材材料特性与常用于制作榫卯家具的木材有别,因此将竹集成材用于榫卯家具需要先判断其可行性及适用性,并对竹集成材榫卯家具的安全性、结构有效性进行分析。

本研究借助竹集成材优良材料性能,基于榫卯结构特性,以竹集成材椭圆榫接合椅子为例,运用有限元法(FEM)进行椅子的静载荷及耐久性分析,探究竹集成材榫接合椅子及榫接合节点的力学特性,并运用响应面模型求解竹集成材T型椭圆榫接合节点榫卯尺寸与其最大等效应力、总形变和最小安全系数的关系。在对竹集成材榫接合节点尺寸配合的优化中,运用MOGA多目标遗传算法以形变最小化、安全系数最大化为优化目标,进行榫卯尺寸优化,为竹集成材榫接合椅子的榫卯尺寸设计提供科学依据及优化方法。

1 模型与方法

1.1 竹集成材榫接合椅子FEM模型

椅子是人们日常生活中使用频率相对较高的家具,因此对其进行受力分析至关重要。在椅子使用过程中,影响椅子质量或造成椅子损坏的因素有许多,如用材、零件尺寸、使用环境、使用方式等,其中零件尺寸会影响各零件间的受力状况,从而进一步影响椅子质量。本研究以竹集成材榫接合椅子为例,选用FEM分析方法进行椅子力学特性分析。FEM分析能够利用数学方法模拟真实的载荷工况,有效指导家具结构设计,提升家具结构有效性验证效率,实现无损检测,降低检测成本[7-8]。竹集成材榫接合椅子的FEM力学强度分析依据国家标准相关试验要求,进行椅子的静载荷及耐久性分析。

为科学有效地模拟竹集成材榫接合椅子及其结构在载荷作用下受到的应力、应变、形变等物理、力学影响,验证竹集成材用于榫接合椅子的可行性及结构稳定性,本研究运用计算机辅助建模方式建立竹集成材榫接合椅子参数化模型,消除椅子生产制造过程中的人工误差,提高分析结果的可靠性[9-10]。为保证分析方法的普适性,竹集成材榫接合椅子模型去除冗杂的装饰结构,仅保留榫接合椅子的基础造型,椅子所有节点运用椭圆榫进行接合。椅子模型由19个零件组成,共30个椭圆榫接合节点,椅子模型整体尺寸为540 mm(长)×560 mm(宽)×840 mm(高),椅子框架为35 mm×35 mm方材,椅背、座面、大边及抹头方材尺寸为35 mm×50 mm,椅子模型示意图如图1所示。其中,椅子框架榫接合节点椭圆榫尺寸设置为10 mm×20 mm×30 mm(榫头厚度×榫头宽度×榫头长度),35 mm×50 mm零件榫接合节点椭圆榫尺寸为10 mm×30 mm×30 mm(榫头厚度×榫头宽度×榫头长度),榫头宽度方向为过盈配合,过盈量为0.2 mm。

进行竹集成材榫接合椅子力学特性FEM分析前,应先测定竹集成材的弹性常数[11]。竹集成材是明显的正交各向异性材料,运用电阻应变测试法[12-14]进行竹集成材弹性常数测试。测试用竹集成材为福建南平生产的竹集成材方材,材料密度为0.75 g/cm3,含水率为8%～10%。通过竹集成材抗压试验,测定竹集成材抗压弹性模量EX、EY、EZ,及泊松比μXY、μXZ、μYZ;运用三点弯曲法进行竹集成材抗弯试验,测定竹集成材抗弯弹性模量MOEY,MOEZ,并根据试验所得抗弯弹性模量推导计算出竹集成材剪切模量GXY、GXZ、GYZ[15-16]。竹集成材抗压试验中,试件制备参考国家标准GB/T 1935—2009《木材顺纹抗压强度试验方法》,分别以竹集成材的顺纹方向(X)、垂直顺纹方向(Y)及厚度方向(Z)作为试件的长轴方向,截取每组6个尺寸为20 mm×20 mm×30 mm(长×宽×高)的试件。弯曲状态下弹性模量测试试件尺寸参考国家标准GB/T 1936.2—2009《木材抗弯弹性模量测定方法》,分别以竹集成材顺纹方向(X)为试件长度方向,截取尺寸为300 mm×20 mm×20 mm(长×宽×高)的垂直顺纹方向(Y)试件和厚度方向(Z)试件各6个,测定数据如表1所示。将椅子模型导入ANSYS Workbench软件中,并赋予模型以竹集成材材料属性,建立竹集成材榫接合椅子FEM模型。

图1 竹集成材榫接合椅子示意图Fig. 1 Schematic drawing of laminated bamboo lumber tenon chair

表1 竹集成材弹性常数测试结果Table 1 Test results of elastic constants of laminated bamboo lumber

1.2 椅子力学强度分析方法

在椅子的日常使用中,常因受力而发生形变、破坏等,通过FEM对其进行受力分析,能够科学有效地判断椅子的强度是否能够满足使用需求。对竹集成材榫接合椅子的静载荷分析参考GB/T 10357.3—2013《家具力学性能试验 第3部分:椅凳类强度和耐久性》规定,选用第4等级重载使用、频繁使用家具的试验水平标准,进行座面和椅背联合静载荷试验。限定2条椅子后腿底部与地面接触位置为固定约束,沿座面中心线在离座面前端100 mm处向下施加静载荷1 600 N,在椅背纵向轴线上椅背顶部向下100 mm处加载点施加静载荷500 N,同时加载10次,每次加载力保持10 s,加载示意图如图2a所示。

除静载荷分析外,对竹集成材榫接合椅子进行耐久性分析也是评价椅子结构安全、稳定的重要标准[8]。在椅子的耐久性分析中,不考虑空气含水率、地域性等外界环境因素,仅分析竹集成材榫接合椅子的力学耐久性。参考GB/T 10357.3—2013内容,选用第4等级重载使用、频繁使用家具的试验水平标准,进行竹集成材榫接合椅子整体耐久性分析试验。限定2条椅子后腿底部与地面接触位置为固定约束,沿座面中心线在离座面前端100 mm处向下施加载荷950 N,在椅背纵向轴线上椅背顶部向下100 mm处施加静载荷330 N,循环1×105次,加载示意图如图2b所示。

图2 座面椅背联合分析加载示意图Fig. 2 Schematic diagram of combined analysis of seat and back for a chair under loading

1.3 榫接合节点分析响应面模型

ANSYS Workbench FEM响应面模型的基本逻辑是通过选取合适的设计变量并确定设计点,以合理的采样和迭代进行数值分析并提取分析结果[16]。其中,Kriging响应面模型是一种基于随机过程估计方差最小的无偏估计模型,其基本思想是利用已知样本点函数值的线性加权求和来求解位置预测点函数值,本质是逼近输入变量与输出结果的关系曲线或响应面[17]。Kriging模型的基本表达式如下[18]:

(1)

选取椅子易损节点——T型榫接合节点为竹集成材榫接合节点力学特性研究对象,运用Kriging响应面模型求解竹集成材T型榫接合节点的榫卯尺寸与其最大等效应力、总形变和最小安全系数的关系。在前期研究中,对椅子的整体力学强度分析可知,椅子座面受力均匀分布在4条椅腿上,单个椅腿在竖直方向上受到的载荷为该方向所受载荷的1/4,即1 600 N的1/4,则单个椅腿在竖直方向上受到的载荷为400 N。因此,在椭圆榫力学特性FEM分析中,运用Design Modeler对竹集成材椭圆榫T型试件进行参数化建模,赋予模型竹集成材材料属性,选定竹集成材T型椭圆榫地面接触面为固定支撑,对T型榫接合试件模型施加向下载荷400 N,在距榫接合节点120 mm处进行加载,加载示意图如图3所示。

图3 榫接合节点加载示意图Fig. 3 Schematic diagram of tenon joint under loading

图4 椭圆榫尺寸配合图Fig. 4 Dimensions of oval tenon matching drawing

响应面模型搭建将变量设计为竹集成材椭圆榫榫头厚度a、榫头宽度b及榫头长度l,如图4所示,通过响应面分析求解出竹集成材椭圆榫T型试件在受力之后发生的最大等效应力、总形变以及最小安全系数。依据竹集成材基材尺寸设计竹集成材椭圆榫尺寸变量上限及下限,椭圆榫榫头厚度a尺寸范围取5～20 mm,榫头宽度b尺寸范围取20～35 mm,榫头长度l尺寸范围取10～30 mm,榫头宽度方向过盈配合,过盈量为0.2 mm。

1.4 榫接合节点尺寸优化方法

竹集成材椭圆榫接合节点优化以椭圆榫尺寸为优化方向,运用MOGA多目标遗传算法以椭圆榫榫头厚度a、榫头宽度b及榫头长度l为变量,以总形变最小、安全系数最大为优化目标。MOGA多目标遗传算法以生物自然竞争为优化原型,以目标函数为适应度控制个体的淘汰或生存,是具有全局优化性能并适用合并处理的优化算法[19-20]。竹集成材椭圆榫接合节点尺寸利用MOGA优化方法,通过交叉、变异对模型进行优化,搜索最优解,并利用验证点对候选点进行验证,优化流程如图5所示。

图5 优化流程Fig. 5 Optimization flow chart

2 结果与分析

2.1 竹集成材榫接合椅子FEM分析结果

竹集成材榫接合椅子座面椅背联合静载荷分析云图及结果如图6、图7及表2所示,由图表可知,椅子受到的最大等效应力为6.818 MPa,分布在座面大边与椅后腿榫接合点(图6a)。椅子发生的最大等效应变值为4.245×10-3,分布在扶手与椅后腿的榫接合点位置(图6b)。椅子整体发生的最大形变为4.433 mm,位于椅子靠背位置(图6c)。

竹集成材榫接合椅子耐久性分析中,椅子受到的最大等效应力为4.999 MPa,位于椅子扶手与椅后腿的榫接合点(图7a)。椅子发生的最大等效应变值为3.113×10-3,同样分布在扶手与椅后腿的榫接合点位置(图7b)。椅子整体发生的最大形变为3.251 mm,发生在椅子靠背位置(图7c)。

图6 竹集成材榫接合椅子静载荷分析应力、应变、总形变云图Fig. 6 Cloud maps of stress, strain and total deformation of laminated bamboo lumber tenon chairs

图7 竹集成材榫接合椅子耐久分析应力、应变、总形变云图Fig. 7 Cloud diagrams of stress, strain and total deformation for durability analysis of laminated bamboo lumber tenon chairs

表2 竹集成材榫接合椅子力学特性分析结果Table 2 Analysis results of mechanical properties of laminated bamboo lumber tenon chair

由竹集成材榫接合椅子的应力、应变云图中可以看出,在椅子受到外部载荷时,椅子整体框架产生的应力及应变较为明显。其中,榫卯节点处存在结构破坏的风险。通过FEM对竹集成材榫接合椅子进行静载荷及耐久性分析,能够为竹集成材榫接合椅子设计提供验证方法及优化方向。

2.2 椭圆榫接合节点响应面分析结果

基于Kriging响应面分析所得数据绘制输入变量与输出结果的3D响应面图,由图8变量与等效应力的响应面图可知,随着榫头厚度a及榫头长度l的增大等效应力减小,榫头宽度b对等效应力的影响不明显。由图9变量与形变的响应面图可以看出,随着榫头厚度a及榫头长度l的增大形变呈减小后增大的趋势。由图10变量与安全系数的响应面图可以看出,随着榫头厚度a及榫头长度l的增大安全系数也增大,榫头宽度b对安全系数的影响不明显。

设计变量对分析目标的影响程度及主次关系可由灵敏度分析得出,如图11所示,从左到右依次为椭圆榫尺寸对T型榫接合节点等效应力、形变及安全系数的影响。椭圆榫榫卯尺寸对T型榫接合节点力学强度的影响以榫头厚度a和榫头长度l为主,榫头宽度b对等效应力及安全系数的影响不显著。椭圆榫榫卯尺寸对等效应力的影响主次表现为榫头厚度a>榫头长度l,榫头宽度b影响不显著;榫卯尺寸对形变的影响主次表现为榫头厚度a>榫头宽度b>榫头长度l;对安全系数的影响主次表现为榫头厚度a>榫头长度l>榫头宽度b。

图8 变量与等效应力响应面图Fig. 8 Response surface diagrams of variable and equivalent stress

图9 变量与形变响应面图Fig. 9 Response surface diagrams of variables and deformation

图10 变量与安全系数响应面图Fig. 10 Response surface diagrams of variables and safety factors

图11 灵敏度分析Fig. 11 Sensitivity analysis

2.3 椭圆榫尺寸配合优化结果

在对竹集成材T型椭圆榫榫卯节点强度的优化中,以椭圆榫尺寸为优化方向,运用MOGA多目标遗传算法以形变最小、安全系数最大为优化目标。通过MOGA算法分析迭代,搜索出了3个候选点如表3所示,候选点椭圆榫尺寸配合分析得出的最大形变和安全系数较为相近,且形变较小。考虑加工生产精度的限制,优化结果选定为椭圆榫榫头厚度a=18 mm,榫头宽度b=20 mm,榫头长度l=27 mm。

对比竹集成材椭圆榫接合节点优化模型及初始椅子模型榫接合节点的形变及安全系数分析结果,如表4所示。经过MOGA算法优化竹集成材榫卯尺寸,椭圆榫的最大形变减少16.76%,安全系数增大40.64%,则表示优化后的竹集成材榫接合节点力学强度相较于初始模型有明显增强。

表3 椭圆榫尺寸优化候选点Table 3 Candidate points for size optimization of elliptical tenons

表4 优化结果与初始值对比Table 4 Comparison between optimization results and initial values

2.4 优化结果验证

为验证竹集成材椭圆榫接合节点配合尺寸优化结果的可行性与有效性,依据MOGA算法优化结果加工制作竹集成材榫接合试件,并进行实际试验验证。为保证试验结果有效,试验用材与竹集成材弹性常数测试用材为同一批材料,试件加工设备为MJ6128A精密推台锯、MZ1610方凿榫槽机、Z1390精密台钻等;试验设备为MWW-100A微机控制人造板万能力学试验机,以及辅助夹具、游标卡尺、直尺等。

图12 试验结果与FEM分析结果对比示意图Fig. 12 Comparison between experimental results and FEM analysis results

以竹集成材榫卯尺寸配合优化结果为试件加工尺寸,椭圆榫尺寸为18 mm×20 mm×27 mm(榫头厚度a×榫头宽度b×榫头长度l),制作6个试件。试件制作完成后,使用万能力学试验机测试竹集成材T型榫接合试件的抗弯强度,在距离榫接合节点120 mm处进行加载,设置加载上限为400 N,加载速度为10 mm/min。

在竹集成材榫接合节点尺寸配合优化结果有效性的验证中,对比试件受力后产生的位移h和FEM优化结果发生的位移s,计算相对误差,判断优化结果的有效性,如图12所示。通过对比试验分析,椭圆榫试件受力后产生的位移h平均值为11.65 mm,FEM优化结果发生的位移s为11.21 mm,即椭圆榫FEM优化结果与实际试验结果的相对误差为3.93%,相对误差较小,证明优化方法及结果有效。

3 结 论

将竹集成材作为榫卯家具用材,实现中国传统文化的现代转译。本研究通过探究竹集成材榫接合椅子及榫接合节点力学特性,搭建响应面模型求解竹集成材T型榫接合节点榫卯尺寸对节点力学强度的影响,并运用MOGA多目标遗传算法进行榫卯尺寸优化,为竹集成材榫接合椅子的榫卯尺寸设计提供优化方法及有效性验证。所得结论如下:

1)竹集成材榫接合椅子座面椅背联合静载荷分析所得最大等效应力为6.818 MPa,位于座面大边与椅后腿榫接合节点;最大等效应变值为 4.245×10-3,位于扶手与椅后腿的榫接合节点;椅子发生的最大形变为4.433 mm,分布在椅子靠背位置。椅子耐久性分析所得最大等效应力及最大等效应变值均位于椅子扶手与椅后腿的榫接合节点,分别为4.999 MPa和3.113×10-3;椅子整体发生的最大形变为3.251 mm,位于椅子靠背上端。

2)由竹集成材T型榫接合节点响应面分析结果可知,竹集成材椭圆榫接合节点的等效应力及形变随着榫头厚度a及榫头长度l的增大而减小,安全系数随之增大,椭圆榫榫卯尺寸对T型榫接合节点力学强度的影响以榫头厚度a和榫头长度l为主,榫头宽度b影响不显著。

3)运用MOGA多目标遗传算法进行竹集成材椭圆榫尺寸优化,以形变最小、安全系数最大为优化目标,结合优化候选点及实际加工情况,优化结果选取为椭圆榫榫头厚度a=18 mm,榫头宽度b=20 mm,榫头长度l=27 mm。相较于初始结果,椭圆榫最大形变减少16.76%,安全系数增大40.64%。且椭圆榫优化结果与实际试验结果的相对误差为3.93%,相对误差较小,证明优化方法及结果有效。