参数依赖延迟的Gray-Scott 模型稳定性和分支分析

肖 越，马淑芳

（东北林业大学 理学院，黑龙江 哈尔滨 150040）

Gray-Scott 模型［1-2］是一种重要的反应扩散系统，起源于模拟自催化化学反应，其化学反应过程为

其中U，V为两种化学物质，V作为催化剂对自身生产起催化作用，P为一种惰性产物，不参与反应过程。该反应过程的无量纲反应扩散方程形式为

其中u(x，t)，v(x，t)分别表示在x点处t≥0 时抑制剂与催化剂的浓度，a表示入流率，a+b表示催化剂V的移出率，Du和Dv分别表示化学物质U，V的扩散系数。

迄今，已有许多文章从不同的角度对系统（1）进行了研究［3-12］。2009 年，Kyrychko 等［11］对系统（1）施加了延迟反馈控制项

其中f(u，v)=-uv2+a(1-u)，g(u，v)=uv2-(a+b)v，K为反馈强度，A为2×2 的控制矩阵。研究控制矩阵A取(ϕ是相位)等情况时，延迟反馈控制对系统（2）的时空斑图的影响。在每种情况下，在控制强度和时滞的参数空间中找到了稳定边界。在时空混沌的情况下，施加的控制既可以稳定均匀稳态，也可以导致平凡稳态和传播行波之间的双稳态。

此外，为了获得关于系统（1）的动力学的信息，研究者也对常微分系统进行了讨论。

系统（3）是系统（1）中Du=Dv=0 的情形。文献［12］研究了系统（3）对应的三次多项式系统在庞加莱盘中的相位图。相位图和相应的分岔图显示了这类系统的丰富性和复杂的动力学。

基于上述讨论，本文将研究如下形式的一类具有延迟反馈项Gray-Scott 模型：

其中，p＞0，τ＞0 表示延迟；K是常数，Ke-pτ表示延迟反馈强度。受过去历史记忆消退效应的启发，延迟反馈强度随着延迟τ的增加而衰减，当延迟τ趋于无穷时，反馈就消失。对于依赖于延迟的反馈控制研究也已取得了很多成果［13-16］。通过研究成果可以看出，参数对延迟τ的依赖性使得系统的动力学性质变的更加复杂。本文选择延迟τ和衰减率p作为分岔参数，将分析系统（4）产生Hopf 分岔和稳定转换的条件。

1 正平衡点的稳定性和Hopf 分支的存在性

经过计算，系统（4）存在三个平衡点，分别为

在平衡点E1处将系统（4）线性化，得

系统（4）的特征方程为

令λ=iω，分离实虚部，得到

令θ=ωτ，由于τ∈[0，+∞)，从而θ∈[0，+∞)。由式（7）可推得

化简得

解得

显 然，若K＜0，＞max(a，b)，有sinθ＞0，ω+＞0；若K＞0，＞max(a，b)，有sinθ＜0，ω-＞0。本文仅考虑K＜0，＞max(a，b)情况（K＞0，＞max(a，b)讨论方法类似）。

根据式（7），有

进一步，有

令θ=θ0+2nπ，n=0，1，2…，由于sinθ＞0，那么θ0∈(0，π)。

当τ=0 时，方程（5）变为

讨论τ＞0 的情况。由于θ满足式（12），且减小p的值或增大τ的值会导致θ的个数持续增加，这种变化同时也会引起Hopf 分支。由式（12）中p=p+的几何图，可以直观看到Hopf 分支的出现频率，如图1 所示，其中n=0，1，2，3 的情况分别由蓝色、橙色、黄色、紫色线条表示。根据图1 可得以下结论：

图1 式（12）确定的参数p 关于θ0 的值Fig.1 The values of parameter p versus θ0 determined by equation（12）

（1）若p＞，特征方程（5）不存在纯虚根，此时不产生Hopf 分支，系统（4）对所有的τ＞0 都是稳定的；

（3）若p=，特征方程（5）存在（2n+1）个纯虚根，这表明随着时延迟的改变系统（4）会发生（2n+1）次Hopf 分支。

对每个n，都能通过计算最大值。由式（12），有

而由式（9），有

结合式（13）与式（14），有

其中

讨论系统（4）的稳定性转换和Hopf 分支。对于给定的τ，假设方程（5）存在一组共轭根λ=α(τ)±iω(τ)。为了简单起见，定义τc=τn，ωc=ωn(n=0，1，2…)，此时有α(τc)=0 以及ω(τc)=ωc，对方程（5）关于τ求导，有

将式（11）代入式（16），化简得

同时，由于

结合之前的研究，可知系统（4）在τ=0 时是稳定的。当τ继续增大时，情况保持不变，直到对应一对实部为零的特征根的第一个临界值τ0的出现，此时系统开始由稳定变为不稳定状态，并在τ0处产生Hopf 分支；当τ继续增大到第二个临界值τ1时，系统由不稳定再次变为稳定状态。因此在(τ，p)平面内形成了一个稳定域，如图2 所示，阴影部分即为稳定域，并且在这个区域的边界上会产生Hopf 分支。

图2 当a=0.1，b=0.02，K=-0.5 时，系统（4）在(τ，p)平面上的Hopf 分支曲线Fig.2 Hopf bifurcation curves of system（4）in the (τ，p) plane for a=0.1，b=0.02，K=-0.5

2 数值模拟

令a=0.1，b=0.02，K=-0.5，p=0.1，此时平衡点E1=(u1，v1)=(0.174，0.688)。计算可知满足假设条件sinθ＞0，＞max(a，b)。基于前文研究，当τ=1 时，E1是稳定的，如图3 所示；当τ=2.514时，产生周期解，如图4 所示。此外，随着τ的继续增大，解将趋于常值平衡点E0。另外，根据文献［11］可知在远离图灵和Hopf 区域的参数范围内，系统总是以E0或E1结束。在图5 给出了τ=3 时，系统在E0处结束。

图3 当τ=1 时，系统（4）的时间序列曲线Fig.3 Time series curves of system（4）when τ=1

图4 当τ=2.514 时，系统（4）的时间序列曲线Fig.4 Time series curves of system（4）when τ=2.514

图5 当τ=3 时，系统（4）的时间序列曲线Fig.5 Time series curves of system（4）when τ=3

3 小结

本文研究了一类具有延迟反馈控制的Gray-Scott 模型，其中反馈控制强度为Ke-pτ。这种参数依赖于延迟的反馈控制，使得系统的稳定性以及分支分析变得更加复杂。研究给出了确定平衡点稳定条件的几何方法和解析方法，并讨论了该模型的Hopf 分支。主要结果如下：

（1）除时滞τ外，系统（4）的Hopf 分支强烈依赖于参数p，虚特征根的横截条件由参数p(θ)变化决定；

（2）在(τ，p)平面上作出了系统（4）的Hopf 分支曲线，并且标记出了稳定域（图2）；

（3）本文通过数值模拟的方法验证了当τ持续增大时，系统（4）会由稳定状态转为不稳定状态。