基于障碍函数内点法的防御武器配系部署建模与智能优化

宋晓程，李 陟，陈鹏飞，张 坤✉，邹 尧，贺 威

1) 北京电子工程总体研究所，北京 100854 2) 中国航天科工防御技术研究院，北京 100854 3) 北京航空航天大学宇航学院，北京 100191 4) 北京科技大学智能科学与技术学院，北京 100083 5) 北京科技大学智能仿生无人系统感知与控制教育部重点实验室，北京，100083

在现代化战争条件下，单独的防空兵器很难完成作战任务，只有建立有效的地面防空系统[1]，才能构成严密的防控体系网. 以协同作战能力为核心的海军一体化火力控制-制空[2]、陆军一体化防空反导[3]等防空武器系统也面临着高强度、高精度、多型一体化和全方位大纵深的饱和式空袭的挑战. 特别是在以阵地高隐蔽性为要求的现代化城市作战中，实际可进行武器部署的阵地十分稀缺. 为更加有效地保卫地面资产，确保在相应阵地武器部署下实现可保卫的资产价值最大化，亟需将防御武器进行优化部署，使得在有限作战条件下尽可能地发挥防御武器的效能.

随着攻防武器装备的快速发展，防御武器的有效防御面积与拦截面积也呈现出多变化、复杂化、不确定化的趋势，使得我方防御武器配系部署建模变得较为困难. 针对该问题，目前主要有三类建模方式. 第一类是从现有的拦截排序原则[4-6]出发建立的基于排队论的防御武器部署模型[7-9]. 例如，高建军等[7]结合现代空袭和反空袭特点，提出了防空武器系统目标拦截排序优化模型；高志刚等[8]将来袭无人机集群中的每个作战单元视为泊松流，构建了基于排队论的反无人机集群武器部署优化模型；赵鹏蛟与李建国[9]基于排队论给出空袭武器的突防概率计算模型，进而导出多型防空武器扇形部署优化模型. 第二类是防御武器系统组合部署模型[10-13]. 如唐子奇等[10]在建模时考虑了地面防空武器系统在环形、扇形、线形这三种典型布局[11]下的组合部署位置；吴家明[12]深入分析了杀伤区的特征值计算模型，建立了水平和垂直两个方向的地面防空系统混合部署位置模型[13]. 第三类是基于攻防任务或对象典型特征的防御武器部署模型[14-16]，如李相民等建立的防御武器系统低空补盲部署模型[14]，雷宇曜等[15]提出的基于子目标进化算法的要地防空武器系统优化部署模型，以及高志华等[16]设计的基于射击次数模型的防空武器系统阵地部署模型. 总的来说，第一类模型更适用于确定战场态势的场景，第三类模型针对的是典型任务或对象特征，尽管第二类模型应用范围更广，但考虑到不同类型和特性的来袭目标以及多元化的火力运用方式（如大气层外/内防御武器），相关的防御武器配系部署建模技术还有待进一步研究.

要实现防御武器系统的高效部署，除了依赖于有效的部署模型外，实时地完成武器系统的配置也是一大关键，这就要求对防御武器配系部署优化模型进行快速求解. 在优化问题求解方面，障碍函数内点法具有收敛速度快、适用性广的优势，在工程上得到了大量应用. 例如，在无线供电系统磁芯布局优化方面，钱思尧[17]基于内罚函数法确定了磁芯数量、长度和摆放位置的设计参数；在动力系统设计方面，周淑娟[18]研究了基于罚函数法的汽车动力传动系统参数优化匹配方法；施洋等[19]在传统的牛顿法中结合罚函数法，提出了一种航空发动机非线性方程组求解新方法；在网络优化方面，伦淑娴与胡海峰[20]设计了基于罚函数内点法的泄露积分型回声状态网的参数优化算法；杨霖等[21]结合罚函数算法配置了配电网电压波动最优模型；在导航与控制方面，贺姗与师昕[22]针对非线性不等式状态约束方程，提出一种基于内点法[23]的不敏卡尔曼滤波算法，引入障碍项近似化受约束目标函数，经过迭代快速搜索出非线性不等式状态约束问题的近似最优解；曾霞[24]针对障碍验证条件求解混杂系统模型计算复杂度高的问题，提出线性抽象的构造方法，避免了通过直接求解原系统障碍验证条件所造成的计算复杂度；滕游等[25]等针对具有控制量和可视性约束的机器人视觉伺服系统，采用内点法和图像反馈实现了视觉伺服预测控制. 虽然障碍函数内点法在上述诸多工程问题中得到了较好的应用，但由于防御武器配系部署优化的混合整数非线性、约束强耦合、变量规模大等特征，使得障碍函数内点法无法直接应用，极大地限制了防御武器配系部署优化模型的求解速度.

针对上述问题，本文进一步研究了防御武器配系部署建模与优化方法. 首先建立了考虑复杂目标来袭特性和多元化火力运用方式的防御武器配系部署模型，然后基于障碍函数内点法将防御武器最优部署问题转化为性能指标为凸函数的无约束优化问题，并设计了防御武器最优配置求解算法. 本文的主要创新点如下：

（1）充分考虑了来袭目标的不同类型、异构特性以及大气层内外防御的多元化火力运用方式，构建了一种防御武器配系部署动态模型；

（2）针对具有混合整数非线性、约束强耦合、变量规模大等特征的防御武器配系部署模型，提出了一种基于障碍函数内点法的防御武器最优配置算法.

1 问题描述

本文所研究的阵地武器部署问题中，假设多个保卫目标d1,d2,···,dM已经确定，目标周围可以部署的武器阵地z1,z2,···,zN已经确定. 每个阵地需满足一定的承载容量限制，其中阵地zj对大气层外防御武器承载容量限制为hmax(zj)，对大气层内防御武器承载容量限制为lmax(zj)，每个阵地最多部署的两种武器数量不能超过这个限制. 本文的优化目标是在有限的作战条件下，对阵地防御武器进行优化部署，追求可保卫的资产价值最大化，决策变量是确定阵地zj针对于资产di进行部署的大气层外防御武器数量h(zij)、大气层内防御武器数量l(zij). 防御武器的配系部署场景如图1 所示.

图1 防御武器配系部署模型Fig.1 Modeling of defensive weapon systems

保卫目标确定后，要使保卫目标处于阵地武器系统部署的有效防御区内. 假定对于保卫目标di, 阵地zj中部署的大气层外和大气层内武器防御能力函数分别记为fh和fl,其形式如式(1)所示. 进而得到，对于每个保卫资产目标di，具备防御能力的阵地武器系统集合. 另外，假设大气层外防御武器对一般目标的平均拦截概率kh，大气层内防御武器对一般目标的平均拦截概率为kl，大气层外防御武器的成本为Oh, 大气层内防御武器的成本为Ol，部署的防御武器总成本上限为Omax，本文考虑对每个保卫目标的打击武器只有一种.

基于上述变量的定义，定义优化目标函数及其约束条件如下：

约束条件为

2 基于障碍函数内点法的防御武器配系部署建模与智能优化算法

我方防御武器建模与部署优化本质上是一类对于目标函数的优化问题，其核心在于确定待优化的目标函数、边界条件以及约束条件，在确定上述基本优化模型之后便可以使用寻优算法对其进行优化求解.

2.1 防御武器配系部署建模

基于前文问题描述中的模型，可将目标函数转化为

对于Rij，若Rij=0 ， 则设置h(zij)=0 ， 且在后续计算中剔除该变量；对于Sij，若Sij=0 ， 则设置l(zij)=0，且在后续计算中剔除该变量；通过以上步骤剔除后的变量为h(zi,t(i,j))和l(zi,g(i,j))， 其中，t(i,j)和g(i,j)分别表示h(zij)和l(zij)中变量替换后的新下标.

约束条件为

指数函数是严格下凸函数，f0(x)是若干个正系数指数函数之和，因此f0(x)为严格下凸函数，可采用凸优化方法求解该问题的最优非整数解. 因此，先讨论求解该不等式约束最优化问题的非整数解.

利用障碍函数内点法，把不等式约束放进目标函数里，可将原问题的目标函数变为以下形式：

其中，I-是非正实数的示性函数，满足

本文采用示性函数I-的近似函数可知，当t越大时，越接近于I-(u).

约束条件为

2.2 防御武器配系部署优化求解

针对障碍函数内点法设计的优化问题（11），本文提出如下求解该优化问题的思路：首先，给定一个初值，求解子问题，得到一个局部最优解；其次，将得到的最优解作为t下一步迭代的初值，进一步求解新问题的最优解. 通过两个步骤的不断迭代，最终找到收敛的解，即为该问题的最优解x∗(t). 基于这两步迭代过程，设计的防御武器配系部署优化算法的详细步骤如下.

在该算法中，采用牛顿迭代法计算F(x)最小值所对应的局部最优解x∗(t)，本文给出如下的计算过程. 令F(x)=t f0(x)+ϕ(x)，那么可以得到迭代等式为：

其 中H(F)为F(x) 的Hessian 矩 阵， ∇F为F(x)的 梯度. ∇F中各元素可由下所示.

防御武器配系部署优化迭代算法：初始化：x t µ>1 ε>0 1．给定初始值 , ，调节参数 ，设置算法误差阈值运行：F(x) x∗(t)步骤1． 通过牛顿迭代法计算 最小值所对应的局部最优解步骤2． 运行如下迭代过程：b t <ε x∗=x∗(t)若 ，则令最优解t=µt否则 令 ，转到步骤1算法结束

H(F) 中各元素可由下式表示：

通过xn得到xn+1后，进一步基于牛顿迭代法进行迭代，计算出该t值下的最优解x∗(t). 进一步再增大t，继续迭代，直至满足误差要求b/t<ε，得到最终的解x∗，其中b为 不等式约束的个数， ε为误差阈值.

由于f0(x)为严格凸函数，整数最优解在非整数最优解的周围，通过回溯法遍历非整数最优解周围的所有整数解即可求得最优整数解，进而可以得到我方防御武器最优防御面积以及该条件下的部署.

3 阵地武器部署仿真分析

3.1 模型参数配置

假设有5 个保卫目标，各保卫目标的资产价值分别为 Valued1=3.34 ， Valued2=2.56 ， Valued3=2.51，Valued4=3.65 ，Valued5=5.67. 有4 个可进行防御武器部署的阵地，其中各阵地可部署的大气层内外防御武器最大数量分别为hmax=[5, 4, 6, 3]、lmax=[4,7, 2, 5]. 大气层外防御武器的杀伤概率为kh=0.85，武器成本为Oh=5.345. 大气层内防御武器的杀伤概率为kl=0.7 ， 武器成本为Ol=3.4944，防御武器的总成本上限为Omax=120. 此外，各阵地部署的大气层内外防御武器对资产的防御能力如表1 所示.

表1 各阵地部署的大气层内外防御武器对资产的防御能力Table 1 Defense capability of endo-/extra-atmospheric defense weapons deployed at various positions against different assets

3.2 仿真计算结果

3.2.1 最优非整数解

给定模型中各参数后，根据上文建立的优化模型得到具体的待优化目标函数与不等式约束.为更好地观察模型的优化性能，不考虑阵地针对于资产进行部署的武器数量需为非负整数的约束条件，分别采用障碍函数内点法结合牛顿迭代法（简称NT 或本文方法）、自适应梯度下降法（简称GD 或对比方法）求解不等式约束最优化问题的非整数解，具体结果如表2 所示.

表2 各阵地针对各资产部署大气层内外武器数量Table 2 Number of extra-/intra-atmospheric weapons deployed at each position for each asset

表2 为4 个阵地针对5 个保卫资产部署的大气层内外武器数量(h(zij),l(zij))分布情况. 根据表1给出的各阵地部署的大气层外防御武器、大气层内防御武器对资产的防御能力，对不具备资产防御能力的组合情况不进行武器部署，并将相应变量的值置为0. 最后，根据表2 给出的阵地武器部署情况可算出在本文所建立的优化模型下，基于文中提出的求解算法，保卫资产的总损失量为0.0036，剩余资产价值为17.7264，两种武器部署耗费的总成本为119.9999；基于自适应梯度下降求解算法，保卫资产的总损失量为0.00397，剩余资产价值为17.72603，两种武器部署耗费的总成本为118.8202；可见本文所提优化求解算法性能更优.

3.2.2 最优整数解

在解决实际问题时，需考虑到各阵地部署的武器数量要满足非负整数的约束条件，因此在仿真时需要实现求解变量的非负整数约束. 本文方法和对比方法求出的各阵地防御武器配系部署方案最优整数解如图2 所示. 图中，红色矩形表示本文方法下的部署方案，蓝色矩阵表示对比方法下的部署方案，纯色填充表示大气层外武器，条形填充表示大气层内武器.

图2 各阵地针对各资产部署大气层内外武器数量. (a) 阵地1；(b) 阵地2；(c) 阵地3；(d) 阵地4Fig.2 Number of extra-/intra-atmospheric weapons deployed at each position for each asset: (a) Battlefield 1; (b) Battlefield 2; (c) Battlefield 3;(d) Battlefield 4

图2 为4 个阵地针对5 个保卫资产实际部署的大气层内/外武器数量分布图情况，根据图中结果计算可知：本文方法可充分调动现有大气层内/外武器，该方法下保卫资产的总损失量为0.004，剩余资产价值为17.726，两种武器部署耗费的总成本为118.8202.

3.3 收敛性能分析

图3 显示了整个运算过程中不同时刻（t）下所需的牛顿迭代次数和对偶间隙变化情况. 可以看出，随着t值增大，所需迭代次数越小，对偶间隙越小. 当t>300 时，对偶间隙已经趋近于0，这说明对偶问题逐渐收敛为原问题，且收敛到最优解. 当t>100000 时，所需迭代次数趋于稳定.

图3 不同t 下所需牛顿迭代次数和对偶间隙变化情况. (a) 不同t 下所需牛顿迭代次数；(b) 不同t 下对偶间隙变化情况Fig.3 Number of Newton iterations required and the variation of the pairwise gap at different t: (a) number of Newton iterations required at different t;(b) the variation of the pairwise gap at different t

4 结论

本文针对防空任务中我方多阵地、多平台、多武器对抗条件下的有效防御武器配系部署建模和优化问题开展了研究，构建了一种有效的防御武器配系部署动态模型，可描述充分考虑来袭目标的不同类型、异构特性以及大气层内外防御的多元化火力运用方式；提出了一种基于障碍函数内点法的防御武器最优配置算法，能快速地求解具有混合整数非线性、约束强耦合、变量规模大等特征的防御武器配系部署模型，并通过数值仿真验证了本文所提出方法的有效性与优越性. 未来工作将基于本文考虑的敌我双方武器动态对抗博弈场景，增加敌我双方武器平台机动、伪装、突防等复杂行为的描述，丰富文中算法的应用范围.