最小二乘法和Origin软件在牛顿第二运动定律验证实验的数据处理中的应用①

胡 丹, 尚宏伟, 李亚琴, 杨 癸

(滁州学院机械与电气工程学院,安徽 滁州 239000)

0 引 言

《大学物理实验》是高等学校工科专业和理科非物理专业的一门重要的基础课程,它不仅可以帮助学生加深对物理理论知识的理解,还可以培养学生的动手能力和团队精神。该课程在培养学生的创新思维能力、严谨的科学态度、适应科技发展的综合应用能力等方面具有其他实践课程不可替代的作用[1,2]。大学物理实验的学习通常包括以下几个环节:实验前准备、实验操作、数据处理与分析和实验报告撰写,其中数据处理与分析是大学物理实验中的关键环节之一,它不仅可以使学生清晰地观察到不同物理量之间的内在联系,加深对物理现象的理解,还可以提高实验的准确性和可靠性。由于实验测量的数据较多,如何正确、快捷地处理好实验数据,那么实验处理方法的选择就尤为重要。目前常用的实验数据处理方法有最小二乘法、图解法、逐差法、列表法等[3,4],尽管这些方法能够很好地处理实验数据,但仍存在着一些弊端如,处理过程繁琐、误差精度不高、耗费时间长等。随着信息化时代的到来,软件行业得到了快速发展,特别是功能强大的商业数据处理软件不断推出,学生很有必要掌握一些数据处理软件(如Matlab,Origin,Excel等)的操作方法,这不仅可以节省计算时间、提高计算准确度,还可以为以后的学习研究奠定坚实的基础[3-7]。

我校大学物理实验课程是以杨述武教授等人主编的普通物理实验(1)作为教材,该教材中的牛顿第二定律验证实验采用的实验数据处理方法是最小二乘法[8]。虽然这种方法能够提供精确的参数估计值,但它是以手工计算为基础的处理方法,存在着计算量大、易出错、耗费时间长等缺点,这在一定程度挫伤学生的学习积极性,使学生感到枯燥无趣,不利于大学物理实验课的顺利开展。美国公司OriginLab Corporation开发的Origin软件能够很容易解决上述问题。Origin软件是一款技术成熟的商业软件。它具有直观的用户界面、强大的数据分析功能(如图像处理、峰值分析、曲线拟合等)和多样化的图形绘制操作(如矢量图、极坐标图、饼图等),在科研、工业、教育等多个领域皆有广泛的应用。为了充分展现出Origin软件在实验数据处理和数据图形化等方面的优势,本文利用最小二乘法和Origin软件分别对牛顿第二定律验证实验的实验数据进行处理和分析,并对计算结果进行对比。对比结果发现,Origin软件对实验数据的处理结果与最小二乘法的计算结果高度一致,但Origin软件在数据处理过程中所体现出的简单、快捷、直观等优点,是最小二乘法所无法比拟的。

1 实验原理

1.1 速度测量

U形挡光片固定在滑块的顶端,其狭缝宽度为d,如图1所示。在实验过程中,挡光片和滑块一起在气垫导轨上滑行,当挡光片经过光电门时,数字毫秒计就会测出挡光片经过光电门的时间t,则其瞬时速度为:

(1)

1.2 加速度的测量

如图1所示,在气垫导轨上,设置光电门1和光电门2,它们与数字毫秒计相连接。两个光电门之间的距离为s。受到水平恒力作用的滑块(做匀加速直线运动)依次通过光电门1和光电门2,数字毫秒计就可以记录滑块通过这两个光电门的时间分别为t1和t2,则滑块的加速度为:

(2)

图1 验证牛顿第二定律的实验装置图

1.3 验证牛顿第二定律

由牛顿第二定律可知,当物体质量M一定时,该物体所受的合外力F和物体所获得的加速度a之间的关系式为:

F=Ma

(3)

实验系统如图1所示,滑块放在水平气垫导轨上,滑块和砝码通过细线相连挂在滑轮上,砝码、滑块和滑轮组成一个运动系统。此时,该系统所受到的合外力F为:

2 数据处理

2.1 实验数据记录

表1 测量黏性系数b的实验数据和相关参量的计算结果

在保持系统总质量M不变的情况下,改变砝码质量m2,即改变合外力F,记录在不同合外力F作用下,滑块通过光电门1和光电门2所需要的时间分别为t1和t2。根据公式(1)、(2)和(4),可得到相应合外力F作用下系统的速度υ和加速度a,详细实验数据如表2所示。

2.2 最小二乘法处理实验数据

用最小二乘法进行数据处理,首先令y=F,x=a,则原方程F=Ma,就变为y=A+Bx的形式。由表2的实验数据可得:

根据最小二乘法的计算公式[9],可得,

斜率:

截距:

-213.94;

相关系数:

2.3 Origin软件处理实验数据

自1992年Origin软件出现以来,该软件不断地更新和改进,现已推出多种版本。本文以Origin Pro 2016版本为例。实验数据的具体处理过程如下:

(1) 双击Origin软件图标,Origin打开并自动弹出一个默认的“workbook”数据表。在数据表的第一列输入加速度a的值,在第二列输入相应的合外力F的值,如图2(a)所示;

(2)用鼠标左键选中这两列数据并点击鼠标右键,然后依次选择“plot”,“symbol”,“scatter”按钮,如图2(b)所示;

(3) 用鼠标左键点击“scatter”绘图,得到a-F关系曲线,如图2(c)所示;

(4) 用鼠标左键点击工具栏中的“Analysis”按钮,并依次选择“Fitting”,“Linear Fit”,“Open Dialog…”,并用鼠标左键点击“Open Dialog…”,得到“Linear Fit”窗口,如图2(d);

(5) 用鼠标左键点击“Linear Fit”窗口的OK按钮生成线性拟合,再修改图2(c)的X轴、Y轴名称以及图注,就得到图3所示的结果。

表3 最小二乘法与Origin软件处理数据结果对比

表3对比了上述两种方法的数据处理结果。从对比结果中可以看出,Origin软件处理实验数据的结果与最小二乘法处理实验数据的结果几乎完全一致。

图2 Origin软件处理实验数据的操作过程

由牛顿第二定律可知,加速度a与合外力F之间的关系为正比例函数,即y=Bx,因此(a,F)图像应该是一条通过坐标原点的直线,但最小二乘法和Origin软件拟合的结果存在一个截距,这是因为在实验测量过程中忽略了滑轮阻力和测量黏性系数b引入的测量误差等因素造成的影响,但系统质量M的测量值与实际值的相对误差是在实验允许范围之内,仍然准确可靠。

图3 合力F与加速度a之间的关系

3 结 语

从牛顿第二定律验证实验的数据处理过程中可以看到,Origin软件与最小二乘法在获得实验结果方面表现出很好的一致性,这就表明了Origin软件在对牛顿第二定律验证实验进行数据分析和计算是完全可行的。此外,Origin软件所展现出的便捷性和直观性,是最小二乘法所无法企及的。因此,在大学物理实验中,除了常用的数据处理方法外,还可以借助科研软件Origin对实验数据进行分析和绘图,不仅可以提高处理数据的高效性和精确性,还可以提高学生的学习兴趣和科学素养、扩大学生的知识面,也为未来工作或继续深造打下了良好、坚实的基础。希望高等学校的大学物理实验教师能够在大学物理实验课中适当介绍一下Origin软件的操作流程和使用方法。