索末菲展开对二维电子气体费米能级求解的有效性分析

江翠，张莲莲

索末菲展开对二维电子气体费米能级求解的有效性分析

江翠1，张莲莲2

（1. 沈阳工程学院 基础教学部，辽宁 沈阳 110136；2. 东北大学 理学院，辽宁 沈阳 110819）

索末菲展开是固体物理学中讨论自由电子气体性质的重要方法，二维电子气体是金属自由电子气体的一个特例，目前受到了科研工作者的广泛关注．利用严格求解和索末菲展开近似求解两种不同方法对二维电子气体的费米能级进行了计算，同时对两种方法进行比对．分析发现，如果气体温度较低，索末菲展开近似引起的误差较小，阐述了索末菲展开方法的有效性和使用条件．该研究将对学生深入理解固体物理学中相关知识内容有所帮助．

索末菲展开；二维电子气体；费米能级

索末菲展开是固体物理学中金属电子理论一章用来讨论自由电子气体性质的重要方法[1-3]．借助该方法，可以得出金属中自由电子气体的费米能级、比热等物理量随温度的变化情况[4-6]，结果也得到广泛认可．而且，该方法也被广泛地应用到与量子统计有关的科研工作中[7]．因此，在学习金属电子理论的过程中，有必要深入分析索末菲展开的有效性，让学生从根本上理解和掌握这部分内容．

二维电子气体是金属自由电子气体的一个特例，原因在于其能态密度是不依赖能量而改变的常数．这直接导致了诸多有趣的现象发生，也吸引了科研工作者持续关注二维电子气体[8-10]．值得注意的是，由于能态密度为常数，因此二维电子气体的费米能级可以直接求解．很显然，对应的解析解可以作为讨论索末菲展开有效性的依据．基于这一思路，本文以二维电子气体为例，对索末菲展开的有效性做深入剖析．

1 理论推导

在求解金属电子气体费米能级的过程中，通常需要计算积分，即

求解则需要借助索末菲展开，具体为[2]

因此

其中

于是得到

实际上，对于二维金属电子气体，费米能级可以通过严格解析求解的方法得出，即

2 结果分析

图1 二维电子气体随温度的变化

图2 二维电子气体费米能级随温度改变的演化结果

综上所述，以二维电子气体为例，讨论了索末菲展开求解电子气体费米能级的有效性．通过将严格求解和索末菲展开近似求解两种方法进行比对分析发现，如果气体温度较低，索末菲展开近似引起的误差较小．因此，该方法求解二维电子气体的费米能级有效性得以显现．本文有助于对索末菲展开方法进行深入理解，为固体物理课程的学习提供一定的辅助作用.

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Validity analysis of Sommerfeld expansion in solving Fermi level of two-dimensional electron gas

JIANG Cui1，ZHANG Lianlian2

（1. Basic Education Department，Shenyang Institute of Engineering，Shenyang 110136，China； 2. School of Sciences，Northeastern University，Shenyang 110819，China）

Sommerfeld expansion is an important method in solid-state physics for discussing the properties of free electron gases．Two-dimensional electron gases，a special case of metallic free electron gases，have recently attracted widespread attention from researchers．Fermi level of two-dimensional electron gases was calculated using both rigorous numerical solutions and Sommerfeld expansion approximations，and a comparison between the two methods was made．The analysis found that if the temperature of the gas is low，the error caused by the Sommerfeld expansion approximation is small，thus elucidating the effectiveness and usage conditions of the Sommerfeld expansion method．This work will be helpful for students to deepen their understanding of relevant knowledge in solid-state physics．

Sommerfeld expansion；two-dimensional electron gas；Fermi level

O469∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2024.02.018

1007-9831（2024）02-0088-04

2023-07-31

江翠（1981-），女，吉林四平人，副教授，博士，从事低维介观体系电子特性研究．E-mail：jiangc@163.com

张莲莲（1980-），女，吉林通化人，副教授，博士，从事低维量子体系输运及性质研究．E-mail：38328265@qq.com