多载荷作用下转向构架结构可靠性评价分析

王景辉，李文涛，邱 阳

（1.渤海理工职业学院机电工程系，河北 沧州 061199；2.包头北奔重汽桥箱有限公司，内蒙古 包头 014000）

1 引言

如何将实际工程系统的物理模型转化为数学模型是构造功能函数的关键。为了解决这一问题，典型的模型有多项式响应面（Polynomial Response Surface，PRS）［1］、人工神经网络［2］、径向基函数［3］、支持向量机［4］等，其中PRS是应用最广泛的全局逼近方法，与其他模型相比，它不仅可以用简单的函数逼近代替实际复杂的仿真模型，而且可以直接得到函数表达式进行分析计算。鉴于响应面（Response Surface，RS）的优点，有学者对其进行了研究，提出了多级多项式响应面方法［5］、改进响应面［6］、迭代改进响应面［7］等。虽然这些方法对提高拟合精度和计算效率做出了一定的贡献，但模型的不确定性仍然被忽略。这些不确定性的物理模型中，不能准确地转化为数学模型，且计算误差引起数值不准确。对于结构不确定性的研究方法中，最常用的方法是蒙特卡洛仿真法（Monte Carlo Simulation，MCS）［8］，MCS方法满足精度要求的结果必须依赖大量的计算，计算效率低。文献［9］提出了一种改进的子集仿真（Subset Simulation，SS）方法，用于估计多种随机响应的小故障概率，该方法可以有效地解决多种随机响应的可靠性问题，但是只能解决随机变量相同的多重随机响应问题，并且在不同的工况下，失效模式和参数变量可能不同。

为此，提出了一种变载荷下转向架构架结构可靠性分析方法，建立了转向架构架的多项式响应面代理模型（PRS），考虑到计算误差和各工况的失效模式，对模型进行了修正（PRS-update模型），并用子集仿真（SS）方法计算了各工况下的失效概率，根据荷载工况间的相关性，采用单峰和双峰边界法计算了结构在变荷载工况下的失效概率。

2 考虑不确定性的代理模型的构造

可靠性分析的目的是求解结构的失效概率，通过多项式响应面（PRS）函数拟合设计参数与失效概率之间的对应关系。对于结构可变参数X，其PRS函数可以表示为：

式中：a0、ai、aii—未知系数，需要定义的系数数量为2n+1个。

在确定代理模型类型时，计算误差是影响模型不确定性的主要因素。这一因素与DOE方法和模拟数值模型有关。为了减少不确定性的影响，提高代理模型的精度，假设采样数据集E包含n个采样点，代理模型在每个采样点的预测偏差可以表示为：

式中：eik—代理模型在取样点kth处的预测偏差；fk—有限元在第kth点分析的实际响应值；yik—代理模型在第knh个点的预测值；n—取样点总数。假设预测偏差为服从正态分布的随机变量，其中可用极大似然估计法计算：

在式（2）、式（3）的基础上，代理模型的预测值可以表示如下

3 结构可靠性分析方法

3.1 单荷载工况的结构可靠性分析

当可靠性分析仅涉及一个功能函数时，可以在单一载荷情况下解决传统可靠性问题。由于子集仿真（SS）方法没有特殊要求，可以处理各种结构可靠性分析问题，例如蒙特卡洛仿真（MCS）。因此，通常将其作为故障概率的解决方法。子集仿真（SS）方法主要思想是通过自适应地引入中间事件将小故障概率转换为条件故障概率。如果中间故障事件满足嵌套关系（F1⊃F2…⊃Fm），则目标故障概率可以写为：

式中：F—目标失效事件，F=｛g（X）≤b｝；b—结构响应的临界值。

对于等式（5），条件概率P(Fi|Fi-1)的初始值通常是恒定的，一般取值范围为［0.1，0.3］，P（F1）可以直接通过蒙特卡洛仿真获得。

式中：{xk|k=1，2，…，N}—通过使用输入随机向量模拟联合概率密度函数q（x）生成的独立且分布均匀的样本；N—每层采样点的数量；IF1—指数函数。

为了有效地生成条件样本，采用基于改进的Metropolis-Hastings马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）仿真算法。如果在第i层仿真中使用的采样点为N，则第i层中条件概率的估计值可以表示为：

则获得目标失效事件的失效概率估计值为：

式中：N（Fi）—落入故障域的最后一层中的样本数。

3.2 变载荷工况下转向架构架结构的可靠性分析

对于变载荷工况的可靠性分析，这里将其视为结构系统的可靠性问题，在处理结构系统的可靠性时，需要识别失效荷载工况并计算相应的失效概率［10-13］，寻求一种更合理的结构体系可靠度计算方法，是分析变工况结构可靠度的关键。

如果在第i种载荷下的可靠概率为pri=P()，则失效概率为pfi=P(Ii)。在Cornell方法［8］的基础上，结合式（10）、式（11）可以得到了单峰边界结构系统的可靠概率为：

可以看出式（12）中没有考虑荷载工况之间的相关系数，根据相关性方程有：

在式（13）中，P(IiIj)≥P(IiIjIk)≥…，如果保留较大的项，方程可以变成：

如果两个荷载工况的失效概率为pfij=P(IiIj)，结合式（14）、式（15），可以得到出双峰边界结构系统的可靠度概率为：

如果荷载工况之间没有相关性，则可以用失效概率的单峰边界来计算结构在变荷载工况下的失效概率。若荷载工况存在相关性，则可以采用失效概率的双峰边界来计算失效概率。假设可靠性指标分别为βi和βj，则在3.1节中计算出的故障概率由可靠性指标表示，且相关系数为ρij，则单载荷情况下的失效概率可以表示为：

则两种载荷情况下同时失效的失效概率可以表示为：

4 工程实例

转向架构架是一个复杂的机械结构，由于材料特性、荷载变化、装配误差、测量误差和安装误差所引起的设计变量和参数的不确定性，影响了结构在各种荷载工况下的可靠性。因此，在设计阶段预测转向架构架在变载荷工况下的可靠性，对于判断设计是否满足要求具有重要的参考价值。

4.1 转向架构架的有限元分析及试验

转向架构架的几何模型，如图1所示。它由横梁、纵梁、牵引座等组成，钢板和一系弹簧座的材料为S355J2（H），横梁和牵引座采用Q345D，S355J2（H）和Q345D的屈服强度分别为355 MPa和345 MPa。根据UIC615-4 和EN13749 标准分别模拟直线运行、调车冲击和电机短路三种荷载工况下的受力情况［14］，转向架构架三种载荷工况情况，如表1所示。对转向架构架进行有限元分析，不同荷载情况下的应力等效云图，如图2所示。

图1 转向架构架几何模型Fig.1 Geometric Model of Bogie Frame

图2 转向架构架载荷工况下的有限元分析Fig.2 Finite Element Analysis of Bogie Frame Under Load Condition

表1 异常/特殊工况受力情况（KN）Tab.1 Stress Conditions Under Abnormal/Special Conditions（KN）

可以看出转向架三种工况下的最大等效应力值分别为297.77MPa、337.02MPa和303.19MPa。根据失效准则，计算出转向架构架的最大Von Mises应力小于相应材料的屈服强度，静强度满足设计要求。为了验证有限元分析的准确性，按照UIC 615-4-2003和EN13749-2011标准的要求进行实验，转向架构架应变片布置示意图，如图3所示。

图3 转向架构架应变片布置示意图Fig.3 Strain Gauge Layout of Bogie Frame

现场对转向架结构进行应变检测，仿真结果与检测结果比较，误差在10%以内，说明该仿真分析具有一定的可信性，如图4所示。

图4 转向架结构应变检测Fig.4 Strain Detection of Bogie Structure

4.2 转向架构架的多项式响应面模型

根据有限元分析结果，确定了不同工况下对最大应力影响较大的设计参数。采用ANSYS参数化设计语言APDL，以设计参数为输入变量，以最大应力为响应，建立转向架构架的设计参数与强度响应值之间的PRS代理数学模型。设计参数的范围，如表2所示。试验和响应的D-最优设计值，如表3～表5所示。

表2 设计参数统计特性Tab.2 Statistical Characteristics of Design Parameters

表3 工况1试验值和响应值的D-优化设计Tab.3 D-Optimal Design of Test Value and Response Value of Condition 1

表4 工况2试验值和响应值的D-优化设计Tab.4 D-Optimal Design of Test Value and Response Value of Condition 2

表5 工况3试验值和响应值的D-优化设计Tab.5 D-Optimal Design of Test Value and Response Value of Condition 3

由式（1）可知，用最小二乘法对表3～表5中的试验数据进行拟合，得到各工况对应的PRS代理模型。三种荷载工况的PRS函数如下所示：

PRS函数能够代表设计参数与强度响应值之间的关系。为此，这里对PRS函数进行了方差分析，F值和P值是评价函数显著性的主要指标。F值越大，说明显著性越好，相反，P值越小，说明显著性越好。三种荷载工况的PRS函数均显著，拟合精度较好。将表3～表5中的数据代入PRS代理模型，并通过式（2）计算响应误差值。对误差值进行拟合和检验，其概率分布特征分别为e1～N（0.0915，0.0233），e2～N（0.076，0.135）和e3～N（0.0494，0.325）。根据误差响应分析，荷载工况1和2的预测值较高，而荷载工况3的预测值较低。可以看出，模型计算误差的不确定性对计算结果有不同的影响。

4.3 变荷载工况下的可靠性分析

根据各荷载工况下的破坏准则和应力强度干涉理论，基于式（4）、式（19）～式（21），结构的功能函数可表示为：

式中：Z—荷载工况1 的功能函数；V—荷载工况2 的功能函数；

W—荷载工况3 的功能函数；e1—荷载工况1 的响应误差；

e2—荷载工况2的响应误差；e3—荷载工况3的响应误差。

采用子集仿真法（SS）分别求解式（22），得到了转向架构架在三种载荷工况下的失效概率，转向架构架在不同载荷工况下的累积分布函数图（CDF），如图5 所示。可以看出在条件概率p0=0.15、0.20、0.25和0.30情况下每个荷载工况的CDF图。比较的目的是通过对转向架构架采用不同的p0值来观察子集仿真（SS）方法的不同情况。对于荷载工况1，p0=0.10和p0=0.30的CDF 图与其他曲线有明显偏差，表明在这些条件概率下，失效概率的计算误差较大，相反，p0=0.20和p0=0.25的CDF图相似，因此它们被视为荷载工况1的备选条件概率。同样，在荷载工况2和荷载工况3中，p0=0.30的CDF曲线与其他曲线明显不同。通过比较CDF曲线，将p0=0.15和p0=0.25作为荷载工况2的备选工况概率，将p0=0.20和p0=0.25作为荷载工况3的备选工况概率。通过比较不同荷载工况下的CDF曲线，可以得到在不同荷载工况下，当p0=0.25时更准确的失效概率。

图5 转向架构架的CDF图Fig.5 CDF Diagram of Bogie Frame

因此，在本研究中，使用p0=0.25得到的失效概率来进行可变荷载工况下的可靠性分析。基于此，得出多项式响应面代理模型下（PRS）的三种工况的失效概率分别为0.0108、0.038和0.003；在考虑不确定性的多项式响应面代理模型下（PRS-update），得出三种工况的失效概率分别为0.011、0.037 和0.008。利用式（12）和式（16）计算变载荷工况下转向架构架结构失效概率的区间估计，通过蒙特卡洛仿真法（MCS）、考虑不确定性的多项式响应面代理模型（PRS-update）以及多项式响应面代理模型（PRS）计算的转向架构架单峰限值范围分别为（0.01052，0.01750），（0.01086，0.01754）和（0.012，0.01545），边界的宽度分别为0.00698、0.00668和0.00443。边界层中心分别为0.01401、0.01420和0.01373。通过比较发现，无论是边界宽度还是边界区间中心，PRS-update下的结果与MCS的结果更接近，说明考虑不确定性的多项式响应面替代模型（PRS-update）具有较高的计算精度。

在设计过程中，各种荷载工况之间有时存在一定的相关性，为此，采用式（16）、式（18）计算转向架构架在各载荷工况相关系数相同时的失效概率，转向架构架在变载荷工况下双峰边界的失效概率，如图6所示。可以看出随着相关系数的增加，失效概率呈下降趋势，且PRS-update的计算结果与MCS计算结果的误差很小，说明该方法具有较高的精度。

图6 变载荷下转向架构架的失效概率Fig.6 Failure Probability of Bogie Frame Under Variable Load

5 结论

本研究将多项式响应面代理模型应用在变载荷工况下转向架构架结构的可靠性分析上，为转向架构架设计阶段的结构可靠性分析提供了有效的工具。（1）在PRS模型的基础上，建立了转向架构架在变载工况下的功能函数，在此基础上提出了一种考虑不确定性因素的多项式响应面代理模型，避免了计算误差对结构响应的影响；（2）采用子集仿真（SS）方法计算其失效概率，将单峰和双峰边界引入转向架构架的结构可靠性分析中，通过与蒙特卡洛模拟（MCS）结果进行比较，验证了考虑不确定性多项式响应面代理模型具有良好的计算稳定性和计算精度；（3）在不考虑相关性的情况下，通过代理模型定量分析转向架构架在变载荷工况下的失效概率。同时发现在各载荷工况相关系数相同的情况下，转向架构架的失效概率随着相关系数的增大而减小。