混合灰色关联和有限元法的铝合金三明治板轻量化设计

龚青山，吴东雨，张光国，孙章栋

（湖北汽车工业学院机械工程学院，湖北 十堰 442000）

1 引言

汽车轻量化技术是目前汽车行业关注的热点问题，而铝合金三明治结构具有质量轻、耐腐蚀、较好的力学性能，从而在汽车、高速列车上都得到广泛应用。三明治结构起源于仿生学，最早应用于航空航天领域，以铝为原料的三明治板在提高产品性能的同时又能大大降低成本。国内外学者对三明治夹层结构进行了许多研究。文献［1］通过有限元软件ABAQUS从数值模拟的角度对比了单层不锈钢板、波纹三明治板、管状交叉三明治板、方形蜂窝三明治板四种结构在爆炸冲击载荷下的性能，证明了相同重量下方形蜂窝三明治板防护效果最佳，并考虑脱焊缺陷下的抗冲击能力得出在工程实际中管状交叉三明治板具有良好的抗冲击与稳定性。文献［2］研究了管状三明治在静态压缩工况下的变形、能量吸收进行了数值仿真分析，并通过实现验证了仿真的正确性。结果表明在压缩过程中芯体横管的弯曲、纵管的压缩吸收了静载压力下的动能，保证了下板的承载压力较小。文献［3］基于蜂窝板等效参数模型，建立了考虑安装及胶层附加质量的有限元模型，通过正交实验筛选出设计变量，并基于响应面模型对蜂窝芯的密度及剪切模量进行参数优化，优化后的蜂窝模型满足航天器微振动分析的要求。文献［4］以民船上层建筑为对象，基于铝质夹层板对上层建筑局部进行轻量化代替性研究，利用有限元软件比较分析代替前后上层建筑力学性能。结果表明铝质夹层板能够有效减轻结构质量，并具有更好的力学性能。文献［5］对几种正多边形金属点阵格栅三明治结构在低俗冲击下的动态响应进行研究，总结各结构能量吸收性能的差异以及不同结构尺寸的三明治板的耐冲击性能。

目前对于三明治结构的研究主要集中于其力学性能的研究，由于三明治板的面板与芯层很薄，优化余量较小，因此关于三明治板轻量化设计方面的研究较少。这里设计出性能优良的轻量化三明治板用于货车防滑板，分别以I型、V型、U型芯层的铝合金板为研究对象，通过有限元分析得到不同芯层的铝合金三明治板最大应力以及最大位移，建立以质量、最大挠度、最大应力为变量的综合性能评价函数，并基于全局响应面法与可行方向法对性能较好的V型板进行尺寸优化，实现货车防滑板轻量化设计要求。

2 三明治板弯曲特性分析

三明治结构通常是由比较薄的面板与比较厚的芯层胶接而成。在三明治结构中，上下面板是主要的承载者，主要承受侧向载荷和平面弯矩，通常采用强度和刚度比较高的材料［6］；而夹芯则主要承受剪切力，同时起到减轻重量的作用，通常采用密度比较小的材料。这里采用铝合金三明治板代替传统的单层铝合金板对某货车防滑板进行设计。承受纯弯曲的三明治构件应力应变分布，如图1所示。

图1 标准宽度受弯曲载荷的三明治构件应力分布Fig.1 The Stress Distribution of a Sandwich Member With a Standard Width Subjected to Bending Load

而弯曲为此构件的主要载荷情况。以宽度为标准的弯曲力矩计算如下：

在该表达式中，也必须考虑不同的局部应力分布：

可得出抗弯强度为：

整理后可得出：

当t≪h时，可得：

式中：By—每单位宽度夹层结构弯曲刚度（N·m）；

EH—夹层结构面板材料弹性模量（N·m-2）；

EK—夹层结构芯层材料弹性模量（N·m-2）；

t—夹层结构上、下层面板厚度（mm）；

hk—夹层结构夹芯层高度（mm）。

3 铝合金三明治板芯层结构优选

3.1 铝合金三明治板模型建立

在满足公司整体尺寸要求以及保证芯层胞元密度一致的条件下，设计出I型、U型、V型的铝合金三明治板并进行对比分析，以得到力学性能较好的芯层结构。三种铝合金三明治板的整体尺寸为长L=940mm、宽B=400mm，高H=22mm、单胞尺寸，如图2所示。三种铝合金三明治板三维模型，如图3所示。

图2 三种铝合金三明治板单胞尺寸Fig.2 Three Kinds of Aluminum Alloy Sandwich Board Unit Cell Size

图3 三种铝合金三明治板模型Fig.3 Three Kinds of Aluminum Alloy Sandwich Board Models

3.2 静力学分析

这里研究的铝合金三明治板用于货车防滑踏板，如图4 所示。其主要作用是方便工作人员站立检修，由于结构主要承受静载，因此对三种芯层结构的铝合金三明治板进行静力学分析。基于上述模型的结构尺寸，利用有限元软件HyperMesh建立有限元模型。由于铝合金三明治板厚度仅为2mm且远小于其长与宽，因此全局使用5mm的一阶四边形壳单元划分有限元分析模型。铝合金三明治防滑踏板两端与车架固定连接，中心区域要求能够承载300kg的重力，因此在下板面与车架连接位置，即下板面两端距边缘80mm区域施加固定约束，并施加3000N载荷在上板面中心（250×400）mm区域，如图5所示。铝合金蜂窝板结构材料参数，如表1所示。

表1 铝合金材料属性Tab.1 Aluminum Alloy Material Properties

图4 货车防滑踏板Fig.4 Truck Anti-Skid Pedal

图5 铝合金三明治板有限元模型Fig.5 Finite Element Model of Aluminum Alloy Sandwich Plate

建立有限元模型并施加对应的约束与载荷，通过HyperMesh自带求解器进行求解，得到应力、位移云图，如图6所示。计算后得到不同类型铝合金三明治板质量、最大挠度、最大应力得到数据，如表2所示。为了对不同铝合金三明治板的承载能力进行衡量以及与后续优化结果进行比对，三明治板的弯曲刚度通过KB最大挠度ymax来衡量，最大挠度越小，则板的刚度越大。

表2 有限元分析结果Tab.2 Finite Element Analysis Results

图6 三种芯层铝合金三明治板的应力、位移云图Fig.6 Stress and Displacement Cloud Diagrams of Three Core Aluminum Alloy Sandwich Panels

3.3 基于灰色关联法结构优选

基于灰色关联法建立评价函数并通过评价函数大小来进行铝合金三明治板的结构优选。灰色关联法是一种多因素系统的分析方法［7］。用灰色关联度来描述系统之间关联度，最后得到不同系统之间主次大小关系的方法。在实际问题中根据评判目的选择一组参考序列，对各评价对象分别计算与参考序列对应元素的关联度，利用灰色关联法判断各评价对象（比较序列）与参考序列之间的关系，从而得到各因素之间的权重系数。

根据表2中不同类型铝合金三明治板质量、最大挠度、最大应力的数据建立起原始数据矩阵：

由于原始数据矩阵中的各数据量纲不同，所以要对数据进行初始化：

令第一组数据为参考序列X0=(1 0.914 0.878)，并计逐个计算被评价对象（比较序列）与参考序列对应元素的绝对值之差，公式为：

基于灰色关联分析法得到质量、最大挠度与最大应力之间的关联系数，取值范围为（0～1）。灰色关联系数公式为：

式中：δi(k)—比较序列与参考序列之间的灰色关联系数；ζ—分辨系数，取值在（0～1）之间，ζ越小则关联系数之间差异越大，通常ζ取0.5；Δmin与Δmax—被评价对象（比较序列）与参考序列对应元素的绝对值之差的最小与最大值，文中最大最小值分别为0与2.826。从而得到关联系数矩阵δij：

求关联系数平均值：

得到各因素之间的关联系数，并将其归一化得到质量、最大挠度、最大应力之间的权重，如表3所示。

表3 各因素关联系数及权重Tab.3 Correlation Coefficients and Weights of Various Factors

由各因素之间的权重与初始化后的数据矩阵建立综合性能的评价函数：

式中：a，b，c—质量、最大挠度、最大应力的权重；

fm，fd，fs—质量、最大位移、最大应力初始化后的数据。

从而得到不同芯层铝合金三明治板的评价函数大小，如表4所示。

由于评价函数是以质量、最大应力以及最大挠度为变量所构成，因此函数值越小综合性能越好。由上表可知，V型板的评价函数大小均小于其他两种铝合金板，因此基于上述V型板进行进一步优化。

4 铝合金三明治板结构轻量化设计

基于自适应响应面法与可行方向法对模型进行尺寸优化分析。将模型参数化，分别以板的上、下表面以及芯层厚度为设计变量并设置优化范围为（0～2）mm；为预留一定的安全范围，安全系数取1.5，则约束为最大应力不超过50MPa、最大挠度不超过2mm；优化目标为板的质量最小。优化问题的数学模型可表示为：

式中：T1—上板面厚度；

T2—芯层厚度；

T3—下板面厚度，如图7所示；

图7 优化变量Fig.7 Optimization Variables

σmax、δmax—静载工况下最大应力值与最大位移值。

4.1 基于全局响应面法的结构优化

响应面法是通过一系列确定性实验来用响应面函数近似隐士极限状态函数，通过合理地选取迭代策略和样本点，从而保证多项式函数能够在失效概率上收敛于真实的隐式极限状态函数的失效概率［8］。当真实的极限状态函数非线性程度不大时，线性响应面具有较高的近似精度。但是由于响应面法只是依靠初始样本点数据来构造响应面函数，并用数值方法来求得最优解集。如果初始样本点构造的函数精度不够，那么得到的最优解也不够精确。

全局响应面法（GRSM）是一种基于响应面法的优化方法，可以进行单目标或者多目标的优化［9-10］。这种算法是从初始值附近的随机点开始优化，每一步迭代过程都会基于全局采样算法产生一些新的设计点，因此可以兼顾局部搜索与全局搜索。在迭代中产生的设计点都可以并行求解，利用新产生的点进行自适应更新从而更好地拟合模型，具体优化流程，如图8 所示。基于全局响应面法得到目标函数迭代过程，如图9 所示。经过24 次迭代目标函数以及优化变量趋于收敛，最终的优化结果，如表5所示。

表5 基于全局响应面法优化结果前后对比Tab.5 Before and After Optimization Results Based on Global Response Surface Method

图8 GRSM优化流程Fig.8 GRSM Optimization Process

图9 基于全局响应面法的目标迭代过程Fig.9 Target Iteration Process Based on Global Response Surface Method

4.2 基于可行方向法的结构优化

可行方向法（MFD）是最早出现的用以求解约束优化问题的算法之一［11］。可行方向法可看作是由无约束下降算法的自然推广。该方法的基本思想是从当前的可行点出发，以一定的步长沿着目标函数下降可行方向进行搜索，求出使目标函数值下降的可行点，进而逼近最优点。可行方向法主要是选择搜索方向和确定步长两个方面。

式中：X(k)—第n步迭代设计变量的值；n—迭代次数；a—搜索步长；S—搜索方向。

对于搜索方向，要使得每一步设计变量的值都在可行域内，并且使得目标函数值下降。为了使目标函数下降快，应该保证梯度与搜索方向成钝角：

搜索步长a的选取主要考虑以下几种情况：沿着可行性方向进行以为搜索，使得minf(Xk+ak⋅Sk)，从而求出步长a，在约束边界上得到Xk+1；沿可行性方向碰到某个主动约束g1(Xk+ak⋅Sk)=0，求出步长a，并在边界上得到Xk+1；移动距离到达预先规定的极限并停止移动得到Xk+1。

基于可行方向法得到目标函数迭代过程，如图10所示。经过14次迭代目标函数以及优化变量趋于收敛，最终的优化结果，如表6所示。

表6 基于可行方向法优化结果前后对比Tab.6 Before and After Optimization Results Based on Feasible Direction Method

图10 基于可行方向法的目标迭代过程Fig.10 Target Iteration Process Based on Feasible Direction Method

4.3 优化结果

两种不同优化方法的优化结果，如表7所示。两者均可达到轻量化效果，在减轻重量的同时满足强度以及刚度的要求，但是使用可行方向法优化的迭代次数更少且最大应力与最大挠度均小于全局响应面法优化结果。

表7 两种方法优化结果对比Tab.7 Comparison of Optimization Results of the Two Methods

5 结论

这里以企业的实际需求为背景对铝合金三明治板轻量化设计展开研究：

（1）针对三种不同芯层的铝合金三明治板进行三维模型的建立，根据实际工况对其进行有限元分析。并基于灰色关联法建立了以质量、最大挠度、最大应力为变量的综合性能评价函数，综合评价得出V型芯层的铝合金三明治板性能较优。

（2）基于全局响应面法以及可行方向法对V型铝合金板进行优化设计，对比得出可行方向法在该结构优化中的迭代次数更少、运算效率更高。

（3）在满足强度以及刚度要求的条件下，优化后的V型铝合金三明治板质量减少了约29.5%，满足生产要求。