采用改进多目标灰狼算法的电力系统调度规划

肖 岚，温丽丽，赵 静，喻显茂

（1.国网四川省电力公司信息通信公司，四川 成都 610041；2.国网四川省电力公司，四川 成都 610041）

1 引言

计及经济、环境因素的发电调度问题（EED）是当前电力系统中重要的优化问题［1］，其目的是通过合理调度机组出力，达到发电成本、污染气体排放量等指标综合最优［2］，因此，EED问题可以归结为具有多个约束条件的多目标非线性优化问题［3，4］。

近年来，由于群智能启发式计算技术在不连续、非凸、不可导非线性领域具有较好的优化性能，粒子群算法（PSO）、蛙跳算（SFLA）等智能算法被逐渐应用于EED 问题，文献［1］采用混沌粒子群算法对多目标发电调度进行研究；文献［5］利用人工蜂算法求解多区域发电调度问题；文献［6］将混沌蝙蝠算法应用于电力系统经济调度领域；文献［7］采用改进的差分进化算法求解阀点加载效应经济负载调度问题；文献［8］利用免疫遗传算法实现虚拟电厂源-荷协调调度。上述研究工作取得了具有一定推广应用价值的成果，但是如何进一步提升智能优化算法全局收敛性能，是值得进一步研究的问题。研究表明，智能优化算法存在局部深度搜索能力不强，容易陷入局部极值［3］；对初始解较为敏感，个体进化学习对象选取缺乏理论支撑［9］；寻优精度精度不高，寻优能力不稳定等缺陷。

针对上述问题，这里构建基于发电燃料成本、污染气体排放量和节点电压偏移量的多目标EED模型，采用改进的多目标灰狼算法对EED问题进行求解，通过设计多度量自适应FCM算法对GWA 种群多样性进行聚类分析，根据聚类结果重新定义狼群层级结构和反向学习、变异进化策略，并证明改进后的GWA能够保持较好的种群多样性。对标准算例进行测试，仿真结果表明该算法具有优秀全局寻优能力，能够得到更好的Pareto前沿和折中解。

2 发电调度数学模型

2.1 EED多目标函数

设定电力系统含有N个发电机、M个系统节点，以发电燃料成本、污染气体排放量和节点电压偏移量等指标的建立多目标EED模型。

发电燃料成本 定义发电燃料成本函数f1(PG)为：

式中：PG=[P1…PN]，Pi—第i发电机台有功处理；

ai、bi、ci—发电机成本系数。

污染气体排放量 定义污染气体排放量函数f2(PG)为：

式中：αi、βi、χi、εi、λi—发电机污染气体排放相关系数。

节点电压偏移量 定义节点电压偏移量函数f3(U)为：

式中：U=[U1…UM]，Ui—PQ节点电压幅值；

—节点额定电压幅值。

约束条件 为保证电力系统安全运行，需满足功率平衡和运行约束条件，即：

式中：Q=[Q1…QN]，Qi—发电机无功出力；P'i、Q'i—节点有功、无功负荷；θ=[θ1…θM]，θi—节点电压相角；θij—节点i、j之间电压相角差值；Gij、Bij—电导和电纳；Sfi、Sti—系统电路始端和末端视在功率；L—系统电路数。

综上，EED多目标函数可以描述为：

式中：X=[θ U P Q]—函数变量；

g(X)、h(X)—等式约束和不等式约束。

由于EED问题属于多目标优化问题，求解式（6）得到结果为Pareto最优解集，决策者根据实际需求得到折中解即决策方案。

2.2 Pareto前沿和折中解

对于EED目标函数F(X)的解Xi、Xj，若：

称Xj被Xi支配，记为Xi≻Xj。对于解X*，若：

称X*为Pareto最优解，所有Pareto最优解组成的集合为Pa‐reto最优解集（前沿）ℵ(F(X))，记为：

采用权重决策方法［8］从ℵ(F(X))中选取折中最优解：

（1）对ℵ(F(X))进行规范化处理，得到规范化矩阵S=[sij]N×M（M、N分别为ℵ(F(X))规模和目标函数个数）。

（2）分别采用层次分析法和熵权法确定N个目标函数的主观权重集合ν=[ν1，…，νN]T和客观权重集合τ=[τ1，…，τN]T。

（3）在ν=[ν1，…，νN]T和τ=[τ1，…，τN]T的基础上，采用最小二乘法确定N个目标函数综合权重ω=[ω1，…，ωN]T：

（4）根据ω=[ω1，…，ωN]T得到Pareto最优解Xi*对应的综合评价指标集合ρ=[ρ1，…，ρi，…，ρM（]i=1，…，M）：

选取ρ中最小值对应的解为折中最优解XCO*。

3 改进的多目标灰狼算法

GWA［10］将狼群分为3级层次结构，通过模拟狼群进食行为，实现全局优化求解（GWA 基本原理参考相关文献，不再赘述）。狼群个体在进化过程中，选取目标函数值最好的狼作为学习对象，一定程度上提升了算法收敛速度，但是，这种基于目标函数值选取进化对象的操作忽略了种群个体空间信息，具有很大的盲目性。特别的，当种群最优解在局部极值附近时，算法很容易产生“早熟”现象，导致算法收敛精度不高。以图1为例，X2与X3目标函数值相同，但是空间位置不同，即X2、X3对进化个体X1的影响是不同的，因此，合理选取进化学习对象，对提升全局收敛能力具有重要意义，为此，这里设计多度量自适应FCM算法对种群空间特性进行聚类分析。

图1 种群空间信息对算法进化影响Fig.1 Effect of Population Spatial Information on Algorithm Evolution

3.1 多度量自适应FCM种群多样性分析

FCM 作为应用广泛的聚类算法之一，其实质是通过欧式距离‖xk-vi‖2度量数据样本xk与聚类中心vi的距离D(xk，vi)，并通过迭代计算聚类函数D实现数据分类。

式中：C—分类个数；n—数据规模；{xi}—隶属度矩阵；V={v1，…，vC}—聚类中心。

研究表明，对于孤点多、高维度负责聚类问题，可以利用高维映射函数Φ(x)替代欧式距离度量［11］，即D(xk，vi)=‖Φ(xk)-vi‖2。借鉴这个思路，这里选取H个高维映射函数(Φ1(x)，…，ΦH(x))对D(xk，vi)进行加权度量，即：

定义加权度量矩阵Ψ=[A1，…AH]T：

将式（13）、式（14）代入D，令∂J/∂μik=0，∂J/∂vi=0，有：

自适应分类 对于狼群种群，事先并不知道具体的分类个数，为此，提出自适应分类数确定策略：设置分类数C在[Cmin，Cmax]范围内依次执行多度量FCM操作，选取D取最小值时对应的C即为最佳分类数Cbest。

多度量自适应FCM实现过程可以描述为：

算法.多度量自适应FCM算法

输入：Cmax、Cmin、Tmax、Ψ、m、n

输出：Cbest、Ubest、Vbest

（1）对隶属度矩阵{xi}进行初始化。

（2）forC=CmintoCmax

（3）While（终止条件不满足）do

（4）｛

（5）根据式（15）计算V={v1，…，vC}，根据式（13）计算聚类目标函数J(U，V)，根据式（16）、式（17）计算新的隶属度矩阵U；

（6）｝

（7）更新最佳聚类目标函数目标值集合{J(U，V)}C=1，…，C；

（8）C←C+1

（9）end for

（10）输出结果，{J(U，V)}C=1，…，Cmax中最小值对应的C即为最佳分类数Cbest。

（11）returnCbest、Ubest、Vbest

3.2 改进多目标灰狼算法实现

提出改进多目标灰狼算法（Improved Multi-objective GWA，IMGWA），利用多核自适应FCM算法进行种群多样性分析，重新定义狼群层级结构，并定义反向学习和变异进化策略。t时刻，狼群种群Ζ(t)={Xi}有Q头狼，采用多度量自适应FCM对狼群进行聚类分析，得到Ct个分类(W1(t)，…，WCt(t))：

Wi(t)={Xj(t)}，i=1，…，Ct，∑‖Wi(t)‖=Q，‖Wi(t)‖≥0（18）式中：‖Wi(t)‖—分类Wi(t)中狼的个数。

依次对‖Wi(t)‖≠0的分类进行Pareto最优解判定操作，得到Wi(t)对应的Pareto最优解集ℵ(Wi(t))和折中解(t)。狼群层级结构 将狼群重新定义为领头狼层级Y1(t)、管理狼层级Y2(t)和跟随狼层级Y3(t)三个层级：

从式（19）、式（20）看出，领头狼层级由Ct个分类对应的折中解组成，管理狼层级由Ct个分类对应的Pareto最优解集除去折中解组成，剩余狼组成跟随狼层级。在追捕猎物跟新操作中，跟随狼层级中的(t)选取Y1(t)中的3 头狼进行更新：

反向学习 对Y1(t)、Y2(t)内个体执行反向学习操作，以=(x1，…，xi，…，xn)为例，根据式（24）逐维进行反向学习更新：

算法.IMGWA

输入：Q、Tmaxn、ω1、ω2、ω3

输出：Y1(t)

（1）算法初始化，1 →t；

（2）While（t≤Tmax）do

（3）｛

（4）利用多度量自适应FCM对种群进行聚类分析，对每个分类进行Pareto最优解判定；

（5）根据式（19）、式（20）对种群进行层级划分，分别根据式（21）、式（23）～式（25）、式（26）对不同层级狼进行更新操作，对违反约束条件的个体进行修正；

（6）更新种群信息。t←t+1

（7）｝

（8）returnY1(t)

3.3 IMGWA计算复杂度和种群多样性

IMGWA在每次迭代过程中，都需要执行一次多度量自适应FCM，其计算复杂度为T(Cmax-Cmin)HO(nQ)（T为最大迭代次数）；IMGWA种群初始化复杂度为O(nQ)；每次个体更新复杂度为O(nQ)，因此，IMGWA计算复杂度为：

由此可见，引入多度量自适应FCM很大程度的增加了算法计算复杂度。

为了证明IMGWA能够保持更好的种群多样性，定义多样性评价指标Θ(Ζ(t))：

式中：Xi=(xi1，…xin)—狼群Ζ(t)内的个体。

命题IMGWA具有良好的种群多样性。

显然，IMGWA群体多样性的期望值与(t)有关，由于引用多度量自适应FCM对种群聚类分析，狼群个体在进化时选择空间差异性更大的个体进行更新，使得IMGWA能够保持更好的种群多样性。

4 IMGWA优化EED模型实现

采用IMGWA 对EED 模型进行求解，每头狼Xi代一个可行解。IMGWA目标函数设置为EED多目标函数，Xi设置为EED函数变量，即：

Pareto最优解集规模控制IMGWA每次迭代后，对Y1(t)内个体进行Pareto最优解判定，得到t时刻Pareto最优解ℵ(t)，将ℵ(t)与外部Pareto最优解ℵ(F(X))进行Pareto最优解判定，并更新外部Pareto最优解。随着进化次数增加，ℵ(F(X))规模不断扩大，设置Pareto最优解集规模控制阀值‖ ℵ ‖max，当超过‖ ℵ ‖max，利用公式（34）逐个计算ℵ(F(X))内每个Pareto最优解的惩罚目标函数值F'(X)，并依次剔除惩罚目标函数值差的个体，直到满足‖ ℵ ‖max为止。

式中：λ1、λ2、λ3、λ4、λ5—惩罚系数。IMGWA 优化EED 模型实现示意图，如图2所示。

图2 IMGWA优化EED模型实现示意图Fig.2 Implementation Diagram of IMGWA Optimized EED Model

5 实验仿真

为进一步对比分析这里提出的改进多目标灰狼算法优化性能，分别采用经典单目标函数来验证该算法全局收敛能力，采用EED优化问题验证多目标实际优化问题求解效果。

5.1 经典测试函数仿真

单目标函数可以看作是多目标函数的特例，参考文献［12］，选取f1：Sphere 函数、f2：Ackley 函数、f3：Griewank 函数、f4：Rastrigrin函数进行试验仿真。IMGWA参数设置如下Q=350、Tmax=400、Cmin=5、Cmax=50、H=8、ω1=0.35、ω2=0.45、ω3=0.20。

多度量自适应FCM 性能验证 采用文献［13］提出的自聚类FCM 算法和文献［14］随机模糊聚类算法进行对比实验，选取不同迭代次数的IMGWA种群进行聚类分析，评价指标设置为聚类有效性指数VD［15］、聚类精度Ω：

式中：Mj—与xj异类数据集合；Ej—与xj同类数据集合。

VD值越小聚类结果越优。不同聚类算法性能对比，如表1所示。

从表1可以看出，对于高维复杂函数f2、病态复杂函数f4，无论是聚类有效性指数VD还是聚类精度Ω，这里聚类算法都要好于其它2种算法，特别的，对于病态复杂函数f4，这里算法聚类精度都在95%左右，比其它2种算法提高了约（11.9～56.4）%；VD降低了约（54.1～63.2）%。这表明，多度量高维映射函数的引入，有效提高了聚类算法对复杂数据的聚类能力，聚类效果更优。

不同智能优化算法对比实验 选取改进的布谷鸟优化算法（ICS）［9］、改进粒子群优化算法（IPSO）［16］进行对比实验。评价指标设置为最大值Ymax、最小值Ymin、均值-Y和运算时间YT。函数收敛曲线，如图3所示。评价指标对比结果，如表2所示。

表2 评价指标对比Tab.2 Comparison of Evaluation Indexes

图3 函数收敛曲线Fig.3 Function Convergence Curve

从图3、表2可以看出，收敛精度上，对于IMGWA、IPSO算法，两种算法都能够在收敛精度范围为找到3个函数的最优解，但是IMGWA收敛精度明显好于IPSO；对于ICS算法，能够得到f1、f2和f3全局最优解，但是无法得到f4全局最优解，并且收敛精度要差于其它两种算法。运算时间上，由于IMGWA迭代执行聚类分析操作，因此收敛时间要长于其它两种算法。不同智能优化算法对比实验，结果表明，通过引入多度量自适应FCM、重新定义狼群层级结构和设计反向学习、变异进化策略，有效提升了算法全局收敛精度，寻优结果更优。

5.2 EED算例仿真实验

选取IEEE30节点、6个发电机组的经典测试系统［1］来测试这里所提发电调度规划方案有效性。测试系统的总负荷为2.834pu，发电机组参数，如表3 所示。IMGWA 算法获取的EED模型Pareto前沿，如图4所示。

表3 发电机组参数Tab.3 Parameters of Generator Set

图4 IMGWA获取EED模型Pareto前沿Fig.4 IMGWA Obtains the Pareto Front of EED Model

从图4可以看出，IMGWA 算法获取的EED 问题Pareto 前沿延展性和均匀性都比较好，表明该算法能够很好地的优化EED问题，最终得到折中解(617.12，0.2012，0.017)。

为进一步对比分析IMGWA性能，采取NSGA-II多目标优化算法［17］和改进多目标布谷鸟搜索算法（IMCS）［18］对IEEE30节点和IEEE2736节点（系统参数设置参考文献［1］）进行对比试验，折中解对比结果，如表4所示。同等发电燃料成本下污染物排放量对比结果，如图5所示。

表4 折中解对比Tab.4 Comparison of Compromise Solutions

图5 同等发电燃料成本下污染物排放量对比Fig.5 Comparison of Pollutant Emissions Under the Same Power Generation Fuel Cost

从图5可以看出，在同等发电燃料成本下，对于不同测试算例，这里算法得到污染物排放量要好于其他两种算法。特别的，当发电燃料成本615-630（$/h）和1.25-1.305×10（6$/h）范围变动时，这里算法得到污染物排放量更有实际决策价值。从表4可以看出，对于不同测试算例，这里算法得到的折中解都能够支配其他两种算法得到的折中解，表明这里算法得到的Pareto前沿和折中解更具可行性和优越性。

6 结束语

对电力系统调度规划问题进行了研究，提出一种采用改进多目标灰狼算法的发电调度规划方案。通过引入多度量自适应FCM技术、改进灰狼智能优化算法和Pareto前沿规模控制策略，使得得到的电力系统调度决策方案更具有效性。下一步将重点围绕提高算法运行效率方面进行研究。