基于模型的分析与拓展 提升迁移能力
——以2023年湖北高考物理压轴题为例

戴伟纲

(苏州市吴江区盛泽中学,江苏 苏州 215228)

高中物理课程中涉及的物理规律都是最基础的规律,例如力的合成和分解的平行四边形法则是最基础的规律.对于受力平衡的问题,往往将三力平衡的问题建立起几种便于处理的次级模型,如适用直角三角形、相似三角形、正弦定理等情况,通过对次级模型的教学让学生能够掌握分析问题的方法.教师特别是在习题教学的过程中,通过对原始问题的分析,抽象出已知的物理模型,往往能够有事半功倍的作用.在教学过程中,对于次级模型的推导可以得到一些二级结论,再加以拓展应用,可以避免就题论题的低效教学,提升学生规律使用的迁移能力.以下就以2023年湖北高考物理卷压轴题为例,对次级模型的建立、拓展和应用做一些探讨.

1 次级模型的建立

如图1所示,空间存在磁感应强度大小为B、垂直于xOy平面向里的匀强磁场.t=0时刻,一带正电粒子甲从点P(2a,0)沿y轴正方向射入,第一次到达点O时与运动到该点的带正电粒子乙发生正碰.碰撞后,粒子甲的速度方向反向、大小变为碰前的3倍,粒子甲运动一个圆周时,粒子乙刚好运动了两个圆周.已知粒子甲的质量为m,两粒子所带电荷量均为q.假设所有碰撞均为弹性正碰,碰撞时间忽略不计,碰撞过程中不发生电荷转移,不考虑重力和两粒子间库仑力的影响.求:

图1 磁场及粒子示意图

(1) 第1次碰撞前粒子甲的速度大小;

(2) 粒子乙的质量和第1次碰撞后粒子乙的速度大小;

建立模型:

第(3)问两个物体碰撞后经过磁场圆周运动,再次在O点发生碰撞,需要再次用动量守恒定律和动能定理进行计算,并且是反复多次地进行碰撞,这个多次的碰撞应该存在一个普遍的规律,可以拆解出一个基本的模型.将该题第(3)问的两次碰撞的本质抽象出来,建立以下的次级模型:两个小球m1,m2先进行弹性碰撞,而后将碰后的m2速度不变地提到前面来再与m1进行弹性碰撞.如图2.

图2 碰撞示意图

2 对次级模型的分析

2.1 数学过程推导

两个小球的第1次碰撞:

两个小球的第2次碰撞:

解得v1″=v1,v2″=v2.这个解方程的过程是比较复杂的,可以利用原有的结论进行迭代,相应的计算量也是比较大的.

2.2 模型分析结论

经过数学推导我们可以看到,第2次碰撞之后,两个小球速度又变回了第1次碰撞前的状态.是不是能将这个作为一个结论,让我们把思维拓展一点,其实在两次弹性碰撞中间,都是遵循着动量守恒和动能守恒,两次的方程在形态上是一致的.从数学的角度来看,这两个方程应该只有两组唯一的解,那么第1次碰撞前后的两组速度就是反复碰撞过程的两组解.

3 次级模型应用的拓展

3.1 本模型的使用条件和基本物理情境

从上面的分析可以看到本模型碰撞必须为两小球都是弹性对心碰撞,第1次碰撞之后,两者又以碰后的速度进行碰撞,这个在次级模型推导的时候是做不到的,前面的小球不能够跑回来撞后面的小球,那就必须保证速度的大小不变能够让两个小球发生再次碰撞.

从前面的例题我们可以看到本模型的第一种适用条件:利用带电粒子在磁场中的回旋,让两个粒子回到同一个位置进行碰撞,注意题设条件中的两个粒子间库仑力的作用力,粒子本身的重力必须忽略不计,如图3.第二种适用条件是直接利用水平面上光滑的圆环使后面的小球能够发生反向追及,如图4.当然也可以在水平面上将这个环形的轨道做成其他形状的,还有其他的情况就不一一列举了.

图3 粒子回旋图

图4 粒子在圆环中运动图

3.2 本模型使用的简化推论

在本模型的建立中,用到的是最为普遍的情况,两者的质量不同,两者的动量不同,在实际问题的考查中,弹性碰撞中这么复杂的动碰动问题难度太高,往往会用简化版的模型,对于目前的模型,给定限制条件,可以做以下几个简化.

3.2.1 两个物体质量相同m1=m2

推论1:当两小球质量相同时,第1次碰撞v1′=v2、v2′=v1,两个物体速度发生互换,第2次碰撞速度换回来.

3.2.2 两个物体动量大小相同,方向相反,m1v1+m2v2=0

这个推论其实可以根据动量和能量守恒直接逻辑推得,因为动量守恒,两个物体速度是成比例关系的,相应的一个增大另一个也增大,因此碰撞前后只能是方向变化,大小无法改变了.

3.2.3 两个物体动量大小相同,方向相同,m1v1=m2v2

这个结论相对比较复杂,不适合作为最终的简化推论.

4 实际情境模型的应用

4.1 对于2023湖北高考物理压轴题第(3)问的思考

4.2 其他适用情境举例

(2019年全国高三竞赛)如图5所示,一个半径为R,水平放置的光滑圆形轨道上,有两个可自由运动的小球,其质量分别为m和M.现有一个质量可忽略的弹簧,将两小球分别顶在弹簧两端,用细线将小球压紧弹簧后捆绑在一起.细线烧断,弹簧弹出两球后自身跳出轨道.问题(1)(2)略.

图5 原题图

(3)若碰撞是完全弹性的正碰撞,问:两球在第1次发生碰撞后,又在何处发生第2次碰撞?

本题直接适用第二推论,碰撞时两小球的合动量为0,碰后各自以本身的速度进行反弹,最终第2次碰撞两球走过的路程和原来相同,所以必定还是在第1个碰撞点碰撞,两小球应当来回在这两点碰撞.

动量守恒定律在原教材(选修3-5)中作为选修部分内容,与各板块的内容结合较少,要求也比较低.作为物理学中的重要定律,随着新教材、新课程的全面实施,其地位也逐步地凸显出来,2023年全国乙卷、新课标卷、湖南卷、湖北卷等最后的压轴都是以动量定理,动量守恒碰撞为核心出题,对此部分内容的教学必定将成为今后高中物理教学的重点.在实际的教学中,涉及碰撞的题目非常多,我们要帮助学生建好模型,对于不同的情境让学生去解模、用模,培养学生的模型迁移能力.