带着问题学 学出问题来
——“函数的概念”教学实录与反思

桂 弢

(江苏省清河中学 223001)

1 基本情况

1.1 授课对象

学生来自江苏省四星级高中普通班,基础一般,有一定的数学抽象、逻辑推理、数学建模及数学运算素养．

1.2 教材分析

所用教材为苏教版《普通高中教科书·数学(必修第一册)》,“函数的概念”是第5章《函数概念与性质》的第1节第1课时,第2课时是“函数的图象”．函数是本章的核心概念,也是中学数学中的基本概念．

函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型,函数法是解决众多实际问题的有效手段,故高中阶段十分重视对函数知识的学习．在概念定义上,着力于高视点下的认知,从描述性定义上升到公理化定义,不仅把函数看成是变量之间的一种依赖关系,还用集合与对应的语言来刻画函数．在内容学习上,除了将学习一般函数的普遍性质,还将学习幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等具体函数及其复合函数．在方法运用上,函数的思想方法将贯穿于整个高中数学课程．因此,教学中应重视知识的生成与发展教学,要引导学生从实际问题中抽象概括出函数的概念,体验从特殊到一般、再由抽象到具体的思维过程,感悟认识事物的一般推理方法,养成用函数眼光认识世界的意识．

教学目标 (1)理解函数的概念,体会函数是一种描述变量之间依赖关系的数学模型;(2)了解构成函数的三要素——定义域、对应关系和值域,会求一些简单函数的定义域和值域;(3)通过函数概念的学习,提升数学学科核心素养．

教学重点 函数概念的建构及概念辨析．

教学难点 对函数概念的理解．

2 教学过程

2.1 问题情境

师:在现实生活中,我们可能会遇到下列问题(多媒体展示),下面分别请同学读题．

生1:问题1“人口问题”．表1是1979—2014年我国人口数据资料表(年末),你能说出人口数与相应年份之间的关系吗?

表1 1979—2014年我国人口数据

师:你是竖着读的,说明它们有什么关系?

生1:对应关系．

师:很好!请下一位同学读第2题．

生2:问题2“自由落体问题”．一物体从静止开始下落,下落的距离y(单位:m)与下落时间x(单位:s)之间近似地满足关系式y=4.9x2．若一物体从静止开始下落2 s,你能求出它下落的距离吗?

师:下落的距离是多少?

生2:是……是19.6 m．

师:你是将2 s代入关系式心算出来的,很好!请第三位同学读第3题．

生3:问题3“气温问题”．图1为淮安市今冬某天24 h内的气温变化图．(1)上午6时的气温约是多少?全天的最高气温、最低气温分别是多少?(2)在什么时刻,气温为0℃?(3)在什么时段内,气温在0℃以上?

图1

师:请你回答．

生3:(1)上午6时的气温约是-1℃,全天的最高气温、最低气温分别是9℃,-2℃;(2)在 7时和23时,气温为0℃;(3)在(7,23)时段内,气温在0℃以上．

师:你是根据图1中横坐标与纵坐标的对应关系回答的,很好!

设计意图课本是最重要的学材,3个问题情境均来自于课本,这样做的目的是便于学生课后看书复习．另外,让学生读题也是指导其审题的过程,不要事事都由教师包办．

2.2 学生活动

师:恩格斯认为,数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学,上面3个问题的描述方法各不相同,但都涉及数量关系,故成为我们研究的对象．它们有什么共同特点?

生4:都含有两个变量,当一个变量的取值确定后,另一个变量的值随之唯一确定．这就是它们的共同特点．

师:让我们来看一看,第1个问题中含有年份与人口两个变量,年份确定后,人口数唯一确定;第2个问题中的两个变量是时间与距离,时间确定后,距离唯一确定;第3个问题也是如此．很好!在初中,这种依赖关系称为什么?

生4:函数．

师:非常好!有变量就应该有范围,范围通常会用什么来表示?

生5:区间……不对,应该是集合．

师:对．集合论是现代数学的基础,是数学不可或缺的描述工具．同学们能否站在集合论的高度,用集合的语言来阐述范围呢?就以人口问题为例,谁来说一说?

生6:两个集合:A={1979,1984,1989,1994,1999,2004,2009,2014};B={975,1 044,1 127, 1 199,1 258,1 300,1 335,1 368}．

师:很好!要表示函数,似乎还缺了什么?

生7:对应关系．

师:(追问)怎么对应?

生7:1979对应到975,1984对应到1 044,……,2014对应到1 368．

师:很好!上面的对应关系也可以说成:输入1979,输出975;输入1984,输出1 044;……;输入2014,输出1 368．这是与时俱进,与计算机语言一致．为了便于书写并与国际接轨,可以简记为1979→975,1984→1 044,…,2014→1 368．

这样,我们就可以用箭头图来清晰地表示这种对应关系(见屏幕,略)．可以看出,这种对应具有“一个输入值对应到唯一的输出值”的特征．其余两个问题也有这样的特征．

设计意图引导学生站在一个高度(集合论的高度),用新的视角(集合的视角)、新的语言(集合与对应的语言)来审视和描述旧的事物,这既是一种学习方法,也是一种研究方法．

2.3 意义建构

师:从特殊到一般是人们认识事物的一种常见推理方法．现在,假如你是数学家,你能用集合与对应的语言给函数下一个定义吗?请思考．(板书课题:函数的概念)

(先让学生独立思考2～3 min,后合作交流 2～3 min)

师:好,你心中的函数定义是什么样的呢?谁来说?没有人说?都不会?(进行激励)

生8:有两个集合A和B,对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有唯一的元素y和 它对应,那么就称这种对应为从A到B的一个函数．

师:(先记后问)有要补充的吗?

生9:集合A和B应该非空．

生10:对应关系可以用箭头来表示:x→y．

生11:应该交代x∈A,y∈B．

师:还有没有要补充的?没有?好,在同学们的共同努力下,新的函数定义已经产生了,只是它能行吗?让我们来看看课本又是如何定义的,请一位同学读一下．(屏幕显示)

生12:一般地,给定两个非空实数集合A和B,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的每一个实数x,在集合B中都有唯一的实数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A．其中,x叫作自变量,集合A叫作函数的定义域．若A是函数y=f(x)的定义域,则对于A中的每一个x(输入值),都有一个y(输出值)与之对应．我们将所有输出值y组成的集合{y|y=f(x),x∈A}称为函数的值域．

师:相较于同学们给出的定义,课本的定义只是多了一些名称和符号,这说明同学们还是很厉害的,有成为数学家的潜质．今后就应该这样来学习,在看书之前应有自己的思考,要带着想法、带着疑问学．为了能更深刻地理解函数概念,我们先看几个概念辨析题．

函数概念辨析(见屏幕):

(1)根据函数的定义,定义域中的任意一个x可以对应着值域中不同的y．( )

图2中能表示函数关系的是．

图2

(2)任何两个集合之间都可以建立函数关系．( )

表2是高一年级某次月考部分学科的年级均分,这种对应关系是函数吗?

表2 高一年级部分学科月考年级均分

(3)对应关系相同、定义域相同的两个函数就是同一个函数．( )

下面的说法对不对?

函数y=x2(x∈(0,+∞))与函数s=t2(t∈(0,+∞))是同一个函数．

(4)在函数的定义中,集合B是函数的值域．( )

(多选) 已知集合A={x|0≤x≤8},集合B={y|0≤y≤4},则下列对应关系中,可看作是从A到B的函数关系的是( )．

师:请同学来回答．

(师生互动略)答案:(1)×,①②④;(2)×,不是;(3)√,对,不对;(4)ABC．

师:通过对上面几个问题的辨析,我们对函数的认识是不是又有提高?谁来说说?

生13:A,B是非空的实数集合．

生14:实数x、实数y比元素x、元素y更具体．

生15:函数有三种表示:f:A→B,或f:x→y,x∈A,或y=f(x),x∈A．

生16:对应关系有方向性,是从A指向B,且y∈B．

生17:集合A是函数y=f(x)的定义域,但集合B不一定是函数的值域,值域是集合B的一个非空子集．

生18:一对一、多对一是函数,一对多、一对空不是函数．

师:同学们的看法很有道理!老师举双手赞成!老师也就顺便解释一个问题:为什么会用“函数”一词来表示这种对应关系呢?原来“函数”一词是由我国清朝数学家李善兰在翻译时创造的,另外像“代数”“方程”“细胞”等也都是他在翻译时根据自己的理解而创造出来的名词．怎么样,不简单吧?“函”的本意是盒子,这里的“函”是包含的意思．故函数就是y中有x,y包含x的意思,是不是很贴切?而f(x)中的f是函数的英文单词的第一个字母,今后还会用g(x),h(x)等来表示函数．

设计意图从特殊到一般,是人们认识事物的一种常见推理方法．通过让学生自主建构函数概念,以培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学建模素养．由于个体的差异,学生的认识还有深有浅,有快有慢．为了不让一个学生掉队,笔者在函数的概念形成后又安排了概念辨析活动．另外,也适时地渗透了一些数学文化知识．

2.4 数学运用

师:从抽象到具体是人们进一步认识事物的一种推理方法．现在,你能用刚才所学的知识解题吗?(限于篇幅,师生互动略)

例1(口答)判断下列对应是否为函数:

(2)x→y,这里y2=x,x∈N,y∈R;

(3)当x为有理数时,x→1,当x为无理数时,x→0．

例2(口答)下列各组函数表示同一个函数的是．(填序号)

(3)f(x)=2x+1与g(x)=2x-1．

例3求下列函数的定义域:

例4求下列函数的值域:

(1)f(x)=(x-1)2+1,x∈{-1,0,1,2,3};

(2)f(x)=(x-1)2+1;

(3)f(x)=x2+2x+3．

师:求函数的定义域应该注意什么?求值域呢?你能编几个这方面的题目吗?

设计意图4个例题是围绕函数的定义及三要素来设计的,目的是通过应用来巩固新知、发展数学核心素养．让学生自主编题,既是了解学生掌握新知的一种手段,也是引导学生开展数学学习的一种方式．

2.5 回顾与反思

请你总结(过程略):(1)这节课你学到了什么?(2)学了这节课你会解决哪些问题?(3)课后你准备再去研究哪些问题?

师:最后,老师谈谈自己对函数的理解．函数是什么?函数就是一种关系,一种对应关系,是连接两个非空实数集合的有方向的对应关系,是多对一关系或一对一关系,是一个输入值对应到唯一的输出值关系．是不是?

3 回顾与反思

3.1 教学立意

教什么?如何教?为什么要这样教?

本节课的课题是“函数的概念”．课堂教学设计了两条线:一条是知识线,按照“问题情境—学生活动—意义建构—数学运用—回顾反思”的逻辑顺序推进;另一条是认识线,按照“由特殊到一般—由表象到本质—由抽象到具体”的认知规律展开．两条线一明一暗,相辅相成,即在函数概念的学习中发展学科素养,在学科素养的提升中促进对函数概念的理解．

笔者最近一年走访过三所普通高中,发现非毕业年级都在用导学案上课,学校的要求也基本是“不预习不听课,不复习不作业”,至于如何预习,则要求不明或要求不严．

学生是如何预习的呢?由于导学案大都用的是电子版,很像复习课的学案,一开始就罗列定义、定理、公式、法则等知识点,故学生普遍的做法是先翻书查找这些知识点,然后按照导学案上的要求填写相关内容,接着就开始做题．至于这些知识点是怎么来的,则几乎无人问津．

教师又是怎么教的呢?不少教师一开始就是读导学案上罗列出来的知识点,遇到填空处就问一下学生,有时会解释一下(遇到比较繁难的一般就作罢,认为没什么意思,讲也是白讲).读完了,再让学生背一背,这样新知识教学就完成了,下面就进入讲题、做题环节．

重视结果轻视过程,腾出时间用于解题,将新授课上成复习课,这明显是一种填鸭式教学．对缺乏自觉性和主动性的学生来说,知识的获得就是靠死记硬背,而素养的提升就是靠大量刷题．一旦记忆出现障碍,又不清楚知识的来龙去脉,就很容易做错题,故这种教法很不可取．开展知识的形成过程教学、贯彻启发式教学思想、突出以学生发展为本才是王道,这就是本节课的教学立意．

3.2 教学反思

教学反思,反思什么?

(1)反思自己的“得”

本节课有哪些收获呢?

这是一节校内公开课,课前要花大量的时间去准备,课上要承受一定的压力,课后还会抱着一种忐忑不安的心情去接受同行们的评判．个人认为,能参与这项活动就是最大的收获,得到大家的肯定和督促是又一大收获．下面是一些同行的评课摘要:

师1:重视教材,研究教材,吃透教材;重视概念的形成过程教学,关注学生对函数本质的理解,注意发展学生的数学核心素养;启发式教学思想驾轻就熟、运用自如．

师2:3个问题情境的描述方法各不相同,有利于后面的教学;学生的参与度很高,能大胆发表自己的见解;老师善于表扬、激励学生;课堂结尾有新意,既结尾又没结尾,留有余韵．

师3:概念课能重视知识的形成过程教学,引导学生对函数的定义进行探究,从特殊到一般,从表象到本质,先抽象概括,再分解辨析,这有助于学生对函数本质的深刻理解．

师4:平时教学很难像这样一步步进行概念建构,值得我们学习．亮点有:①让学生自主建构函数概念;②教学生思维方法;③注意渗透数学文化;④教学过程张弛有度．

师5:能以学生为主体,让学生去发现问题并解决问题;立足学生的最近发展区,从初中的函数概念入手,引导学生自主探究、合作交流;教学理念新,立足新高考,注意培养学生的数学核心素养．我们平时的教学有刷题的嫌疑,值得反思．有一个小失误:在函数概念辨析(3)中,有一个不是函数,学生回答错了,老师好像没注意．

师6:由旧及新,由表及里,由浅入深,由特殊到一般,再由抽象到具体,引导学生去认识函数;注意把爱国主义教育渗透到课堂教学中去;总结新颖,学生在磕磕碰碰中得到提升,最后知道函数就是“一对一”关系和“多对一”关系．

(2)反思自己的“失”

上面几位同行的评课,不乏溢美之词,自己还需冷静思考,查找不足．

教学语言方面,对如何说话(快慢、高低、顿挫)关注不够,对如何提问缺乏精心设计,深沉有余而活力不足,偶尔才有激情迸发;教学手段方面,多媒体操作不够熟练,有两次切换出现了问题,课件制作也不够精致;教学节奏方面,有点前松后紧,课堂总结未能全在课内完成,拖了近1分钟．这些都需要今后加以注意．

(3)反思学生的“好”

本节课学生有哪些闪光点呢?

本节课有近半的学生参与了课堂发言,表现出了很高的学习热情;参与发言的学生多数精神饱满,声音响亮,口齿清楚,思维敏捷,表达流畅,给听课教师留下了很深的印象;有一些平时表现不起眼的学生也能主动发言,这完全超出了自己的预料．因此,个人认为任何时候都不要小觑学生,学生的潜能是巨大的,关键要看教师如何去组织教学．

(4)反思学生的“差”

本节课学生又存在哪些问题呢?

课后了解得知,有部分学生比较拘谨、胆怯,有疑问不敢问,会答的也不愿说;有部分学生数学抽象概括能力不强,还不能给函数下定义;有部分学生跟不上教学节奏,在理解和运用上还存在着一些问题．这些都提醒自己,在今后的教学工作中要认真落实“一个都不掉队”的教育理念,因材施教,适当开展一些分类指导和分层教学工作．