基于GM(1,1)模型在超高温度场中的预测应用

朱 元

连云港市计量检定测试中心,江苏 连云港 222000

0 引言

《计量发展规划(2021—2035年)》中明确提出“针对复杂环境、实时工况环境和极端环境的计量需求,研究新型量值传递溯源方法,解决综合参量的准确测量难题”[1]。在实际的检测过程中经常也会遇到无法直接检测的问题,例如超高温、超高压等,这些问题一方面是由于本单位标准器测量范围无法达到,另一方面是因为整个计量行业还没有更好的标准设备来解决。针对这样极端的问题,本文提出了建立GM(1,1)模型来计算预测值,通过预测值和显示值比对来评价误差的大小。

关于预测方面的文献较多,主要集中在2个方面：基于时间序列的预测方法;在此基础上进行的算法改进[2]。一般时间序列是根据前面的数据序列预测后一个阶段的数据,为了提高预测的精度,结合其他算法进行改进,相关文献总结如下。杨金芳 等[3]提出了一种基于支持向量机的时间序列预测方法,预测煤气炉状况并且与BP神经网络相比较,显示出该方法的优势。Petrnio et al.[4]提出非平稳模糊时间序列(nonstationary fuzzy time series,NSFTS),该方法主要针对不平稳的数据序列,先将数据平稳化后再进行数据预测。针对季节性变化的数据序列,Sadaei et al.[5]提出了季节性的时间序列预测,将季节性周期变化数据通过差分变化再作预测。

总结上述的文献可发现如下缺陷。①对训练数据的个数和质量要求较高,针对数据波动较大或者周期性变化时,需要通过差分等方法进行数据平稳化处理。②常用的时间按序列预测法,例如ARMA、AR等模型在经过多步预测后,预测值会趋向于平均值,并且拟合效果欠佳[6]。为了克服上述弊端,GM(1,1)灰色预测模型提供了一种很好的思路,其具有建模数据少、预测效果好的优点,广泛应用于工程领域。

关于GM(1,1)模型以及改进的研究总结如下。吴岚怡 等[7]根据2020—2025年我国医疗保险基金的结余数据,建立GM(1,1)模型来预测后期医疗基金结余的变化趋势。鲁小波 等[8]利用2003—2010年这8年的快递行业总收入作为训练数据,通过GM(1,1)模型预测我国快递行业未来几年的收入状况。对于GM(1,1)模型的改进方法有2种：基于GM(1,1)模型背景值的改进;在残差的基础上再次建立GM(1,1)模型来补偿预测误差。祁琦 等[9]在改进GM(1,1)模型背景值的基础上预测了我国民航的货运量,与传统GM(1,1)相比,提高了预测精度。孙斌[10]在传统GM(1,1)预测模型的基础上进行偏差分析,建立残差修正模型,提高了边坡变形的短期预测精度。

1 方法和理论

1.1 灰色系统理论概述

灰色系统理论是一种基于不确定性和不完备性的系统理论,它的基本思想是将系统分为确定性部分和随机性部分,通过对随机性部分进行建模和预测,来实现对整个系统的预测。灰色系统理论包括灰色关联分析、灰色预测、灰色控制等方面,其中灰色预测是最为常用的一种方法。

灰色预测模型的建立包括建立灰色微分方程、确定模型类型、确定模型参数等,其中,建立灰色微分方程是灰色预测模型的核心,它是通过对原始数据进行累加、平均等处理,将原始数据转化为灰色微分方程的形式,从而实现对数据的预测。确定模型类型和参数是建立灰色预测模型的关键步骤,它需要根据实际情况选择合适的模型类型和确定模型参数,以提高预测的准确性。

1.2 模型的建立

灰色系统理论是由Deng[11]提出的,其主要思想是：将有限的数据通过累加的方式,研究变化后的数据内部关系,最后再将数据还原。假设有1组时间序列数据,定义为X,则：

X(0)={x(1),x(2),x(3),…,x(n)}

(1)

式中：x(k)≥0,k=1,2,3,…,n,且n≥4。

对式(1)进行一次累加,得到一阶累加生成算子(1-AGO),可以表示为：

X(1)={x(1)(1),x(1)(2),x(1)(3),…,x(1)(n)}

(2)

GM(1,1)可用单变量一阶微分方程表示为：

(3)

式中：a为发展系数;b为灰色作用量。

1.3 模型的求解

若要求解式(3),则需要知道a、b的值,因此,利用一次累加数据的平均值构造矩阵向量B和常数向量Yn,即：

(4)

Yn=(x(0)(2),x(0)(3),…,x(0)(n))T

(5)

根据式(4)～(5),可得到a、b的值,即：

(6)

将参数a、b带入式(3),利用最小二乘法求解整个方程,可得到方程解为：

(7)

最后,对公式(7)进行还原就可以得到预测值。

2 实例验证

2.1 结果预测

校准一台超高温的箱式电阻炉,其设定温度为1 500 ℃,实际检测能力为1 300 ℃,采用短时间的预测方法,在900、1 000、1 100、1 200以及1 300 ℃这5个温度点的校准结果如表1所示。

表1 校准结果

具体的建模过程如下(结果保留1位小数)。

步骤1：初始化原始建模原始序列得到的结果为895、993、1 095、1 186、1 285。

步骤2：原始序列的1-AGO生成,其结果为895、1 888、2 983、4 169、5 454。

步骤3：1-AGO生成序列的紧邻均值生成,其结果为1 391.5、2 435.5、3 576.0、4 811.5。

步骤4：计算灰色模型发展系数a和灰色作用量b,其结果为a=-0.08、b=881.17。

步骤5：得到预测的模型结果如下。

对步骤5的模型进行还原,可以得到最终的预测结果如表2所示。

表2 预测结果

计算得到整体的平均相对误差为：0.44%。得到的预测结果如图1所示。

图1 GM(1,1)温度预测

通过图1可以发现实际值和预测值基本重合,说明具有较好的预测能力。

预测后2步得到的结果为：1 403、1 525。可以认为该高温炉在1 500 ℃时的误差评估值为25 ℃。

2.2 模型的评价

为了验证预测模型的优劣程度,一般通过方差比(C)和小概率误差(P)来判断,具体如表3所示。

表3 模型精度等级

具体的计算过程如下。

计算原始序列的方差：

=137.6

计算残差的方差：

=2.8

由此可以得到：

P的计算公式为：

根据表3可知,模型的等级为优秀,具有较好的预测性。

2.3 模型的优化

为了使模型的预测效果更好,可以根据误差建立残差修正模型,其建立的模型可以表示为：

x(t)=GM(1,1)+δ

式中：GM(1,1)为2.1中建立的传统的模型,φ为残差修正模型。根据表2中的残差结果,建立残差模型步骤如下所示。

1)根据残差取绝对值建立起初始化序列为：

X(0)=(5.7,8.1,3.06,2.5)

2)对上述的初始序列作一次累加1-AGO生成序列为：

X(1)=(5.7,13.8,16.9,19.4)

3)欲求解参数a,b的值,需要构造的矩阵B和常数向量Yn,得到的结果如下所示：

4)将a,b的值带入到公式(3)中,得到一次累加的预测结果为：

得到的残差预测结果如图2所示。

图2 残差预测

将上述的残差模型还原后,预测后两步的残差结果为：1.0和0.5,将上述的结果和本文2.1中的预测结果25 ℃相加,最后得到该高温设备在1 500 ℃的误差评估值为25.5 ℃。

3 结束语

在计量检测过程中会面对标准器无法直接检测的极端情况,采用建立数学模型的方式来评估误差的大小将成为今后计量工作中的一种辅助决策手段。本文利用传统的GM(1,1)及其修正模型来预测设定值在1 500 ℃情况下高温炉的误差情况,最后计算得到误差的评估值为25.5 ℃。

灰色系统预测是一种基于灰色系统理论的预测方法,它可以在数据量较少、数据质量较差、数据不完整等情况下进行预测,具有广泛的应用价值。在实际应用中,需要根据实际情况选择合适的模型类型和确定模型参数,以提高预测的准确性。同时,还需要对建立的灰色预测模型进行评价,以确保预测结果的可靠性。