矩阵方程X-A*(R+B*XB)-tA=Q的Hermite正定解及其扰动分析

熊 昊, 罗显康, 黄玉莲

(1.宜宾学院 理学部, 四川 宜宾 644000; 2.国家税务总局宜宾市南溪区税务局, 四川 宜宾 644100)

0 引言

非线性矩阵方程是数值代数领域的研究热点之一, 广泛应用于控制理论、动态规划、随机过滤、梯形网络和统计学等领域[1-5]. 本文考虑非线性矩阵方程

X-A*(R+B*XB)-tA=Q

(1)

的Hermite正定解及其扰动分析, 其中0

近年来, 很多学者研究了矩阵方程(1)当B=I,R=0的情形, 对其Hermite正定解的存在性、迭代方法、扰动界和条件数的显示表达式等进行了系统讨论[6-10], 而对矩阵方程(1)类似情形的研究相对较少. 文献[11]构造出计算矩阵方程X+A*(R+B*XB)-tA=Q的Hermite正定解的不动点迭代和免逆迭代算法. 文献[12]推导出矩阵方程X=Q+AH(I⊗X-C)-1A的等价形式并应用牛顿迭代法进行求解. 文献[13]运用Thompson度量方法讨论了矩阵方程(1)的Hermite正定解并刻画了解的误差估计式. 在此基础上, 本文运用矩阵偏序讨论矩阵方程(1)Hermite正定解的存在性、解的性质及迭代方法, 并给出一阶扰动界, 推广和改进了近期的相关结果.

在此特别说明文中正定解均指Hermite正定解. 为方便讨论, 对于Hermite矩阵X和Y,X>Y(X≥Y)表示X-Y是正定(半正定)矩阵,Q>0(Q≥0)表示Q是正定(半正定)矩阵;A*表示复矩阵A的共轭转置;λ1(M)和λn(M)分别表示正定矩阵M的最大和最小特征值;σ1(N)和σn(N)分别表示矩阵N的最大和最小奇异值; ‖M‖表示矩阵M的谱范数.

1 正定解的存在性及上下界估计

本节给出矩阵方程(1)存在正定解的充分条件和必要条件,并对解区间上下界进行估计.

引理 1[3]若A>B>0(A≥B>0), 则当α∈(0,1]时, 有Aα>Bα>0(Aα≥Bα>0);当α∈[-1,0)时, 有0

引理 2[3]对任意的Hermite矩阵X,Y≥bI>0及t>0, 都有

定理1若矩阵方程(1)存在正定解X, 则

X∈[Q,Q+A*(R+B*QB)-tA].

证明因为X是矩阵方程(1)的正定解, 即

X=Q+A*(R+B*XB)-tA≥Q.

(2)

从而R+B*XB≥R+B*QB,再根据引理1可得(R+B*XB)-t≤(R+B*QB)-t,因此

X=Q+A*(R+B*XB)-tA≤Q+A*(R+B*QB)-tA,

(3)

联立(2)和(3)得

Q≤X≤Q+A*(R+B*QB)-tA.

定理 2若X+是矩阵方程(1)的正定解, 则

X+∈[Q+A*[R+B*[Q+A*(R+B*QB)-tA]B]-tA,

Q+A*(R+B*QB)-tA].

证明因为X+是矩阵方程(1)的正定解, 即

X+=Q+A*(R+B*X+B)-tA≥Q,

由定理1知

Q≤X+≤Q+A*(R+B*QB)-tA,

(4)

因此

R+B*X+B≤

R+B*[Q+A*(R+B*QB)-tA]B.

根据引理1得

[R+B*[Q+A*(R+B*QB)-tA]B]-t≤

(R+B*X+B)-t,

从而

Q+A*[R+B*[Q+A*(R+B*QB)-tA]B]-tA≤Q+A*(R+B*X+B)-tA=X+.

(5)

联立(4)和(5)得

Q+A*[R+B*[Q+A*(R+B*QB)-tA]B]-tA≤

X+≤Q+A*(R+B*QB)-tA.

定理3若矩阵方程(1)系数矩阵满足

则矩阵方程(1)存在唯一正定解.

证明定义映射

F(X)=Q+A*(R+B*XB)-tA,

Ω=[Q,Q+A*(R+B*QB)-tA].

显然Ω是一个非空闭凸集, 且映射F(X)在Ω上连续. 对任意的X∈Ω, 易知

R+B*QB≤R+B*XB.

由引理1得

(R+B*XB)-t≤(R+B*QB)-t,

从而

Q≤Q+A*(R+B*XB)-tA≤

Q+A*(R+B*QB)-tA,

即Q≤F(X)≤Q+A*(R+B*QB)-tA.

因此,F(Ω)⊆Ω.由Schauder不动点定理知,F(X)在Ω内存在不动点且满足X=F(X), 即矩阵方程(1)在Ω内存在正定解.

下面证明F(X)是Ω上的压缩映射, 对∀X,Y∈Ω, 显然X,Y≥Q, 那么

(R+B*XB),(R+B*YB)≥

(R+B*QB)≥λn(R+B*QB)I.

(6)

根据(6)和引理2得

定理4设X+是矩阵方程(1)的正定解, 则有X+∈[αI,βI],其中α,β是方程组

(7)

的解.

证明定义数列{αk}和{βk}如下:

先证明数列{αk}单调递增, {βk}单调递减. 由数列{αk},{βk}的定义,可知0<α0<β0.因此

假设αk≥αk-1和βk≤βk-1, 那么

因此, 对任意正整数k有αk+1≥αk和βk+1≤βk成立.

下面证明矩阵方程(1)的正定解X+∈[αkI,βkI](k=0,1,2,…).由定理1得

Q≤X+≤Q+A*(R+B*QB)-tA.

(8)

由Q≥λn(Q)I=α0I可知X+≥α0I.另一方面

(9)

联立(8)和(9)可知X+≤β0I,因此X+∈[α0I,β0I].假设X+∈[αkI,βkI]成立, 则有

推论1设X+是矩阵方程(1)的正定解, 则

X+∈[Q+A*(R+β·B*B)-tA,

Q+A*(R+α·B*B)-tA],

其中α,β是方程组

的解.

证明由定理4得αI≤X+≤βI,从而

R+B*·αI·B≤

R+B*X+B≤R+B*·βI·B,

那么

(R+β·B*B)-t≤(R+B*X+B)-t≤

(R+α·B*B)-t.

由于

X+-Q=A*(R+B*X+B)-tA,

则有

A*(R+β·B*B)-tA≤X+-Q≤

A*(R+α·B*B)-tA,

即

Q+A*(R+β·B*B)-tA≤X+≤

Q+A*(R+α·B*B)-tA.

2 求解矩阵方程(1)的迭代方法

考虑如下迭代:

(10)

关于迭代(10), 有以下结论.

X2k≤X≤X2k+1,

‖X2k+1-X2k‖≤q2k‖A‖2‖(R+B*QB)-t‖,

(11)

序列{Xk}由迭代(10)定义.

证明根据定理3知,矩阵方程(1)存在唯一正定解, 由迭代(10)和引理1易知

X1=Q+A*(R+B*QB)-tA≥Q=X0,

从而

(R+B*X1B)-t≤(R+B*X0B)-t,

那么

X0=Q≤X2=Q+A*(R+B*X1B)-tA≤

Q+A*(R+B*X0B)-tA=X1,

于是

X0≤X2≤X1.

(12)

由(12)和引理1知

X3=Q+A*(R+B*X2B)-tA≥Q+A*(R+B*X1B)-tA=X2,X3=Q+A*(R+B*X2B)-tA≤Q+A*(R+B*X0B)-tA=X1.

因此X2≤X3≤X1. 同理可得

X0≤X2≤X4≤X5≤X3≤X1.

假设对于正整数k有

X0≤X2k≤X2k+2≤X2k+3≤X2k+1≤X1.

(13)

那么对于正整数k+1有

X2k+4=Q+A*(R+B*X2k+3B)-tA≤Q+A*(R+B*X2k+2B)-tA=X2k+3,X2k+4=Q+A*(R+B*X2k+3B)-tA≥Q+A*(R+B*X2k+1B)-tA=X2k+2.

同理

X2k+5=Q+A*(R+B*X2k+4B)-tA≤Q+A*(R+B*X2k+2B)-tA=X2k+3,X2k+5=Q+A*(R+B*X2k+4B)-tA≥Q+A*(R+B*X2k+3B)-tA=X2k+4.

因此, 对∀k∈N+, 不等式(13)成立,序列{X2k},{X2k+1}单调有界且分别收敛于一个Hermite正定矩阵.

下面证明序列{X2k},{X2k+1}收敛于相同极限.

∀k∈N+, 有Q≤X2k,X2k+1,

显然

R+B*XkB≥R+B*QB≥λn(R+B*QB)I.

考虑如下范数

‖X2k+1-X2k‖=

那么

‖X2k+1-X2k‖→0(k→∞).

因此序列{X2k},{X2k+1}收敛并且有相同的极限, 即矩阵方程(1)的唯一正定解.

推论2由不等式(11), 易知矩阵方程(1)的正定解有上界

max(‖X2k+1-X‖,‖X-X2k‖)≤

q2k‖A‖2‖(R+B*QB)-t‖.

3 矩阵方程(1)正定解的扰动分析

考虑非线性矩阵方程

(14)

和它的扰动方程

(15)

则有

证明由矩阵方程(14)和它的扰动方程(15)得

故有

(16)

(17)

X≤Q+A*(R+B*QB)-tA≤Q+b-t‖A‖2I,

于是

(18)

由(16)-(18)式得

又由给定条件

即

那么

4 数值算例

本节通过数值例子验证本文理论成果, 说明其迭代算法的有效性和可行性. 以下结果皆用Matlab 2018b 编程计算. 在后面的实验报告中, 用k、Error和Time分别代表迭代次数、终止时的残差和计算时间. 算法停止条件为

Rk=‖Xk-A*(R+B*XkB)-t-Q‖≤

1.0×10-10.

例1非线性矩阵方程(1), 给定系数矩阵A,B,R,Q∈Cn×n及t=0.1.

试求矩阵方程X-A*(R+B*XB)-0.1A=Q的Hermite正定解.

解当n=5时, 经验证可知q=0.122 1<1, 由定理5可知存在唯一正定解, 考虑迭代算法 (10), 经过9步迭代得到矩阵方程的Hermite正定解

当n=100,500,1 000时, 计算结果如表1所示.

表1 例1迭代计算结果

例2非线性矩阵方程(1), 给定系数矩阵A,B,R,Q∈Cn×n及t=0.8.

试求矩阵方程X+A*(R+B*XB)-0.8A=Q的Hermite正定解.

解当n=5时, 经验证可知q=0.046 1<1, 由定理5可知存在唯一正定解, 考虑迭代算法(10), 经过7步迭代得到矩阵方程的Hermite正定解

当n=100,500,1 000时, 计算结果如表2所示.

表2 例2迭代计算结果

5 结论

非线性矩阵方程X-A*(R+B*XB)-tA=Q是Riccati方程的一类特殊情形, 本文应用矩阵偏序讨论了方程的Hermite正定解, 结合矩阵方程的特点构造了迭代格式(10), 并根据不动点定理证明了算法的收敛性. 本文是在指数t∈(0,1]的情况下进行讨论, 对于指数t>1的情形后期还可进一步探讨.